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1、精品论文餐厅运营的数学模型毛永飞 1,21 中国科学院电子学研究所，北京(100190)2 中国科学院研究生院，北京(100049) E-mail：摘 要：本文针对餐厅的运营过程建立了一个多目标规划的数学模型，从而把日常的餐厅运营过程转化为数学处理过程。在建模时，采用加权的方式对顾客的满意度进行量化，即规定 每位顾客的满意度为其等待时间的倒数，并由此推导出了满意度的计算公式。把顾客用餐不 能间断作为约束条件，并推导出了约束条件的数学形式。在此数学模型中，建立了两级目标 函数，第一级目标函数为“所有顾客的总满意度最大”；第二级目标函数为“各顾客的满意 度尽量平衡”。在模型求解时，通过对两个目标函
2、数进行加权求和，从而将多目标规划的数 学模型转化为单目标规划的妥协模型, 方便求解计算。此数学模型能够本着最优的原则来管 理和调节餐厅的运营过程，同时能够方便地统计餐厅运营过程中的各项数据。本文给出了模 型的数学推导过程和计算机程序实现方案。关键词：数学模型；满意度；多目标规划 中图分类号：O221.引 言数学建模作为数学科学技术转化的主要途径1，已广泛应用于科学实验、工程技术、生 产生活的诸多领域，发挥的作用日益扩大。近年来，数学建模的方法不断应用到商业与服务 业领域，考虑到顾客的偏好所起的决定性作用2，一些关于顾客的抱怨率3、满意度3,4的数 学模型被提出。本文也提出了一种顾客满意度的数学
3、模型。具体来说，本文是以顾客的满意 度为目标，为整个餐厅的运营过程建立了一个多目标规划的数学模型。在求解多目标规划模型时，有许多成熟的算法诸如 Pareto 多目标遗传算法5、随机多目 标可接受分析6等，但考虑到算法的收敛性和计算的复杂度，以及本文所针对的具体对象， 在模型求解方面本文采用了加权求和的方式将多目标转化为单目标进行处理。本文所要解决的主要问题是为餐厅的运营过程建立一个数学模型，并用此数学模型来求 解出最合理的厨师做菜顺序，以使所有顾客的总满意度最大，并使各顾客之间的满意度尽量 平衡，同时模型还要能够统计餐厅运营过程中的各项数据。在建模过程中，本文做了一些必 要的假设与数学近似，对
4、多项因素进行了数学量化，并最终把日常的餐厅运营过程转化为数 学处理过程。2.模型的数学推导2.1 模型假设 (1)满意度权系数为等待时间的倒数； (2)所有顾客的各项参数都是相同的； (3)厨师不能同时做两盘菜，必须完成一盘菜后才能开始做下一盘菜；(4)可能有一群顾客在一起聚餐，本文将此一群顾客视为一个顾客处理；(5)厨师做好一个菜与顾客开始食用此菜发生在同一时刻，不计中间的时间差；(6)顾客用餐不能间断，在顾客食用完一盘菜之前，厨师必须把该顾客的下一盘菜制作好。- 7 -2.2 符号规定Ci (i = 1, 2, 3 ) 表示第 i 号顾客；D j ( j = 1, 2, 3 ) 表示第 j
5、 种菜；Qij (i = 1, 2, 3 , j = 1, 2, 3 ) 表示第 i 号顾客所点的第 j 种菜的数量，取0表示不点；Aj ( j = 1, 2, 3 ) 表示制作第 j 种菜所花费的时间（分钟）； E j ( j = 1, 2, 3 ) 表示食用第 j 种菜所花费的时间（分钟）； Wi (i = 1, 2, 3 ) 表示第 i 号顾客的等待时间（分钟）；Pj ( j = 1, 2, 3 ) 表示第 j 种菜的单价（元）；Bi (i = 1, 2, 3 ) 表示第 i 号顾客的消费金额（元）；M i (i = 1, 2, 3 ) 表示第 i 号顾客的满意度；X k (k = 1,
6、 2, 3 ) 表示厨师要制作的排序为 k 的菜；M i 表示所有顾客满意度的数学期望； 表示所有顾客满意度的方差；C 表示元素为 Ci 的行矩阵；D 表示元素为 D j 的列矩阵；Q 表示元素为 Qij 的矩阵；A 表示元素为 Aj 的列矩阵； E 表示元素为 E j 的列矩阵； W 表示元素为Wi 的行矩阵； P 表示元素为 Pj 的列矩阵； B 表示元素为 Bi 的行矩阵；M 表示元素为 M i 的行矩阵；X 表示元素为 X k 的行矩阵；m 表示顾客的总数，即为 i 的最大值；n 表示所有菜的种类数，即为 j 的最大值；l 表示所有顾客所点菜的数目总和，即为的 k 最大值；S 表示所有
7、顾客的总满意度；F 表示顾客最喜爱的菜；H 表示顾客最不喜爱的菜；T 表示厨师的工作时间（分钟）；SUM 表示餐厅的销售额（元）。2.3 模型建立定义函数 f (r, i) ，其含义为“为第 i 位顾客所上的第 r 盘菜在厨师做菜排序表中排在了第 f (r, i) 位”，为了表述方便，令f (i) =f (1, i)(1)定义函数 h( x) ，其中 x 代表菜名，h( x) 代表制作此种菜所花费的时间，显然有，Aj = h(D j )定义函数 g ( x) ，其中 x 代表菜名，g ( x) 代表食用此种菜所花费的时间，显然有，E j = g (D j )顾客点的菜的数目等于厨师要做的菜的数
8、目：(2) (3)mnl = Max(k ) = Qij(4)i =1M i 表示所有 M i (i = 1, 2 m) 的均值，则：1 mj =1M i = M im i =1(5) 表示所有 M i (i = 1, 2 m) 的方差，则：m 2 =Mi =1i M i (6)等待时间即为制作排序靠前的所有菜的时间之和：f (i )1Wi = k =1h( X k )(7)顾客的满意度定义为等待时间的倒数：11M i =Wi总满意度为各顾客满意度的和：mm 1f (i )1k =1mh( X k )1(8)S = M i = W= f (i )1k(9)i =1iiik =1h( X )顾客
9、用餐不能间断，即为顾客制作好第 r 盘菜的时刻，必须早于顾客食用完前 r 1盘菜 的时刻：r 1Wi + g ( X f ( v ,i ) ) v =1顾客消费金额的计算公式：f ( r ,i ) h( X k )k =1n，（1 r Qij ）(10)j =1厨师工作时间的计算公式：nBi = Qij Pjj =1(11)mnT = Qij Aj(12)餐厅销售额的计算公式：i =1j =1mmnSUM = Bi = Qij Pj(13)统计顾客最喜爱的菜的算法：i =1i =1j =1for ( j = 1, j n, j + +) ifmm(Qij = = Max(Qij )elsei
10、=1D j F ；i =1统计顾客最不喜爱的菜的算法：D j F ；for ( j = 1, j n, j + +) ifmm(Qij = = Min(Qij )elsei =1D j H ；i =1D j H ； 在建立数学模型时，考虑如了两个目标： a、所有顾客的总满意度最大； b、公平分配，各顾客的满意度尽量平衡 。 第一级目标函数（所有顾客的总满意度最大 Max = S ）：mMax = M ii =1第二级目标函数（各顾客的满意度尽量平衡 Min = ）：(14)2m Min =Mi =1i M i (15)通过对以上两个目标函数进行加权求和后得到的新的目标函数：（ 、 分别为各级目
11、标函数的权值，其中 0 ， 0?YESy(n)y(N)?NOYESN=n；NO完成遍历排序?YESXk=第 N 个排序；开始图 1 程序流程图较高，而排序的复杂度较低，本文选择了方案一，其程序流程图如图 1 所示。4.结论本文给出了餐厅运行的数学模型，包括此模型的数学推导过程和程序实现方案。此数学 模型能够计算出最合理的厨师做菜顺序X k ，以使顾客的等待时间最短。此数学模型不但 能够保证所有顾客的总满意度最大，而且能够本着公平的原则，使不同顾客间的满意度尽量 平衡。此数学模型为规划模型，流程清晰，便于数学推导和程序实现，便于模型的升级和改 进。参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊数学模型M北京：
12、高等教育出版社，20032 袁林，王永县，朱涛面向复杂标的物的投标决策模型J清华大学学报(自然科学版)，2006，46（12）：205320563 申跃基于满意度的顾客抱怨模型研究D北京：清华大学工商管理系，20054 张亚明，张文文，潘芳模糊数学在饭店顾客满意度评价理论中的应用J商业研究，2006，6（471）：17185 赖红松，董品杰，祝国瑞求解多目标规划问题的 Pareto 多目标遗传算法J系统工程，2003， 21（5）：24286 Tommi Tervonena, Henri Hakonenb and Risto LahdelmabElevator planning with st
13、ochastic multicriteria acceptability analysisJScience Direct，2006，26(4)：3523627 刘宝碇，赵瑞清，王纲不定规划及应用M北京：清华大学出版社，2003The Mathematical Model of the RestaurantMao Yongfei1,21Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing (100190), China2Graduate University of Chinese Academy of Sciences, B
14、eijing (100049), ChinaAbstractIn this paper, a multi-objective planning model is proposed for the restaurant, which can translate the operation of the restaurant into a mathematical process. In modeling, we use weighted manner to quantify the satisfaction of customers and define that a customers sat
15、isfaction is the reciprocal of his waiting time. The constraint of this mathematical model is that the customer can not be interrupted while dining. In this mathematical model, two objective functions are established: the first-class objective function is “greatest total satisfaction”, while the sec
16、ond-class objective function is “the balance between all customers satisfaction”. To facilitate the solution and computation, we sum up these two objective functions in a weighted manner to turn a multi-objective planning model into a single compromise programming model. This model can be in the bes
17、t principles to manage and regulate the operation of the restaurant. Meanwhile, it is convenient to calculate the statistical data during the operation process of the restaurant. In this paper, the mathematical derived process of the model and the approach of the computer program to achieve the model are introduced.Keywords: mathematical model; satisfaction; multi-objective planning