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1、 35典型例题分析AB薄膜d图3-5-1例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(ld/2)，肥皂液的表面张力系数为。解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在ld/2的情况下，线会形成长度为ABTTCD图3-5-2的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然式中为在弧线上任
2、取一小段所受的表面张力，指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r，与x轴的夹角均为方，显然而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样所以因此说明对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180计算，已知水银密度，水银的表面张力系数。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？图3-5-3分析：取圆饼侧面处宽度
3、为x，高为h的面元S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。S两侧表面张力可认为等值反向的。解：由于090,有 例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓和则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和 KB图3-5-4图3-5-5B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡
4、和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为，A泡和B泡的半径均为。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B泡的形状大于半
5、球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当时，A泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。解：(1)见上面的分析。(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有解得r=3.04cm例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平 图3-5-6面上原子间距为m，若石墨的密度为，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)解：显然应根据晶格模型进行研
6、究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，石墨中的原子数是个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是晶胞的底面积是 说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5
7、-7所示。假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为，纸板重为mg，大气压为，水的密度为，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？dFOFR图3-5-7图3-5-8图3-5-9解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9则是俯视平面图。设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为l，则它受力如下：f附着层水对凹面的表面张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为，方向垂直于l水平向外。和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作
8、用力，方向沿圆周切线方向，大小为，两力合力大小为F液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为(其中为大气压，p为内部水压强)。mg图3-5-10在受力平衡的条件下应有得 如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有即 p是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为，原来装水后空气层厚度为h，则 进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即，体积，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d(即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为，压强就变为，由玻意耳定律得 把代入可求得板重为mg时，水层最大厚度 由式可得将式代入即可得到极限情况
9、下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d值代入了。说明当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于)与水、板重之和。然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。2-3 热力学第二定律231、卡诺循环物质系统经历一系列的变化过程又回到初始状态，这样的周而复始的变化
10、过程为循环过程，简称循环。在P-V图上，物质系统的循环过程用一个闭合的曲线表示。经历一个循环，回到初始状态时，内能不变。利用物质系统(称为工作物)持续不断地把热转换为功的装置叫做热机。在循环过程中，使工作物从膨胀作功以后的状态，再回到初始状态，周而复始进行下去，并且必而使工作物在返回初始状态的过程中，外界压缩工作物所作的功少于工作物在膨胀时对外所做的功，这样才能使工作物对外做功。获得低温装置的致冷机也是利用工作物的循环过程来工作的，不过它的运行方向与热机中工作物的循环过程相反。卡诺循环是在两个温度恒定的热源之间工作的循环过程。我们来讨论由平衡过程组成的卡诺循环，工作物与温度为的高温热源接触是等
11、温膨胀过程。同样，与温度为的低温热源接触而放热是等温压缩过程。因为工作物只与两个热源交换能量，所以当工作物脱离两热源时所进行的过程，必然是绝热的平衡过程。如图2-3-1所示，在理想气体卡诺循环的P-V图上，曲线ab和cd表示温度为和的两条等温线，曲线bc和da是两条绝热线。我们先讨论以状态a为始点，沿闭合曲线abcda所作的循环过程。在abc的膨胀过程中，气体对外做功是曲线abc下面的面积，在cda的压缩过程中，外界对气体做功是曲线cda下面的面积。气体对外所做的净功就是闭合曲线abcda所围面积，气体在等温膨胀过程ab中，从高温热源吸热，气体在等温压缩过程cd中，向低温热源放热。应用绝热方程
12、 和 得 所以 0V1V4V2V3VT1T2图2-3-1卡诺热机的效率我们再讨论理想气体以状态a为始点，沿闭合曲线adcba所分的循环过程。显然，气体将从低温热源吸取热量，又接受外界对气体所作的功W，向高温热源传热。由于循环从低温热源吸热，可导致低热源的温度降得更快，这就是致冷机可以致冷的原理。致冷机的功效常用从低温热源中吸热和所消耗的外功W的比值来量度，称为致冷系数，即，对卡诺致冷机而言，。有一卡诺致冷机，从温度为-10的冷藏室吸取热量，而向温度为20的物体放出热量。设该致冷机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取的热量是多少？令，则。每分钟作功，所以每分钟从冷藏室中吸热。232、热力学第
13、二定律表述1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。表述2：热量不可能自动地从低温物体转向高温物体。在表述1中，我们要特别注意“循环动作”几个字，如果工作物进行的不是循环过程，如气体作等温膨胀，那么气体只使一个热源冷却作功而不放出热量便是可能的。该叙述反映了热功转换的一种特殊规律，并且表述1与表述2具有等价性。我们用反证法来证明两者的等价性。pV图2-3-2假设表述1不成立，亦即允许有一循环E可以从高温热源取得热量，并全部转化为功W。这样我们再利用一个逆卡诺循环口接受E所作功W(=)，使它从低温热源取得热量，输出热量给高温热源。现在
14、把这两个循环总的看成一部复合致冷机，其总的结果是，外界没有对他做功而它却把热量从低温热源传给了高温热源。这就说明，如果表述1不成立，则表述2也不成立。反之，也可以证明如果表述2不成立，则表述1也必然不成立。试证明在P-V图上两条绝热线不能相交。假定两条绝热线与在P-V图上相交于一点A，如图2-3-2所示。现在，在图上再画一等温线，使它与两条绝热线组成一个循环。这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转变为功，即=1，并使周围没有变化。显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线不能相交。233、卡诺定理设有一过程，使物体从状态A变到状态B。对它来说，如果存在另一过程，它不仅使物体进行反向变
15、化，从状态B回复到状态A，而且当物体回复到状态A时，周围一切也都各自回复到原状，则从状态A进行到状态B的过程是个可逆过程。反之，如对于某一过程，不论经过怎样复杂曲折的方法都不能使物体和外界恢复到原来状态而不引起其他变化，则此过程就是不可逆过程。气体迅速膨胀是不可逆过程。气缸中气体迅速膨胀时，活塞附近气体的压强小于气体内部的压强。设气体内部的压强为P，气体迅速膨胀微小体积V，则气体所作的功W，小于pV。然后，将气体压回原来体积，活塞附近气体的压强不能小于气体内部的压强，外界所作的功不能小于pV。因此，迅速膨胀后，我们虽然可以将气体压缩，使它回到原来状态，但外界多作功；功将增加气体的内能，而后以热
16、量形式释放。根据热力学第二定律，我们不能通过循环过程再将这部分热量全部变为功；所以气体迅速膨胀的过程是不可逆过程。只有当气体膨胀非常缓慢，活塞附近的压强非常接近于气体内部的压强p时，气体膨胀微小体积V所作的功恰好等于pV，那么我们才能非常缓慢地对气体作功pV，将气体压回原来体积。所以，只有非常缓慢的亦即平衡的膨胀过程，才是可逆的膨胀过程。同理，只有非常缓慢的亦即平衡的压缩过程，才是可逆的压缩过程。在热力学中，过程的可逆与否和系统所经历的中间状态是否平衡密切相关。实际的一切过程都是不可逆过程。卡诺循环中每个过程都是平衡过程，所以卡诺循环是理想的可逆循环卡诺定理指出：(1)在同样高温(温度为)和低
17、温(温度为)之间工作的一切可逆机，不论用什么工作物，效率都等于。(2)在同样高低温度热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于可逆机，即。下面我们给予证明。设高温热源，低温热源，一卡诺理想可逆机E与另一可逆机，在此两热源之间工作，设法调节使两热机可作相等的功W。现使两机结合，由可逆机从高温热源吸热向低温热源放热，其效率。可逆机所作功W恰好提供给卡诺机E，而使E逆向进行，从低温热源吸热，向高温热源放热，其效率为。我们用反证法，先设。由此得，即。当两机一起运行时，视他们为一部复合机，结果成为外界没有对这复合机作功，而复合机却能将热量从低温热源送至高温热源，违反了热力学第二定律。所以不可能。反之，
18、使卡诺机E正向运行，而使可逆机逆行运行，则又可证明为不可能，即只有=才成立，也就是说在相同的和两温度的高低温热源间工作的一切可逆机，其效率均为。如果用一台不可逆机来代替上面所说的。按同样方法可以证明为不可能，即只有。由于是不可逆机，因此无法证明。所以结论是，即在相同和的两温度的高低温热源间工作的不可逆机，它的效率不可能大于可逆机的效率。234、热力学第二定律的统计意义对于热量传递，我们知道，高温物体分子的平均动能比低温物体分子的平均动能要大，两物体相接触时，能量从高温物体传到低温物体的概率显然比反向传递的概率大得多。对于热功转换，功转化为热是在外力作用下宏观物体的有规则定向运动转变为分子无规则
19、运动的过程，这种转换的概率大，反之，热转化为功则是分子的无规则运动转变为宏观物体的有规则运动的过程，这种转化的概率小。所以，热力学第二定律在本质上是一条统计性的规律。一般说来，一个不受外界影响的封闭系统，其内部发生的过程，总是由概率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态数目少的宏观状态向包含微观状态数目多的宏观状态进行，这是热力学第二定律统计意义之所在。例1、某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率。(1)夏天室外温度恒为，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于()(牛顿冷切定律)，比例系数A。试用，和A来表示(
20、2)当室外温度为30时，若这台空调只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20。(3)冬天，可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20。分析：夏天，空调机为制冷机，作逆向卡诺循环，从室内吸热，向室外放热，对工作物质作功。为保持室温恒定，空调器从室内吸热等于室外向室内通过热传导传输的热量。冬天刚好相反，空调器为热机，作顺向卡诺循环，从室外吸热，向室内放热。为保持室温恒定，空调器向室内的放热应等于室内向室外通过热传导传输的热量。解：(1)夏天，空调器为制冷机，单位时间从室内吸热，向室外放热，空调器的平均功率为P，则。对可逆卡诺循环，则有，。通过热传导传热，由得因空调器连续工作，式中 ， (2)，而所求的是时对应的值，记为，则解得。(3)冬天，空调器为热机，单位时间从室外吸热，向室内放热，空调器连续工作，功率为，有，由热平衡方程得：=若空调器连续工作，则当冬天室外温度最低为1.74，仍可使室内维持在20。