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1、第7 卷第4 期 2 0 0 6 年 8 月 空 军 工 程 大 学 学 报( 自 然科学版) J O U R N A L O F A I R F O R C E E N G I N E E R I N G U N I V E R S I T Y ( N A T U R A L S C I E N C E E D I T I O N ) V o l . 7 N o . 4 A u g . 2 0 0 6 F it z H u g h 一N a g u m o 神 经 元 模 型 非 闭 下 响 应的 随 机 共 振 ( 1 . 西安交通大学 西安7 1 0 0 5 1 ) 张广军 ,2 ， 徐
2、健学 ， ， 王相波 “ ， 航天航空学院机械结构强度和振动国家重点实验室，陕西 西安 宏“ 0 0 4 9 ; 2 空军工程大学 理学院， 陕西 摘 要: 研究了当F i tz H u g h - N a g u m o ( F H N ) 神经元模型在弱 信号激励下只有闲上振荡响应时的 随机共振。研究结果表明: 随着F H N神经元模型的分岔参数的增加， 发生了一个由两个吸引子( 阂 上振荡和阂下振荡) 变化到一个吸引子( 间上振荡) 的分岔; 当F H N神经元模型的分岔参数位于分 岔点的右边时， 在弱信号激励下系统的响应只有阂上振荡存在， 此时在外噪声或者内噪声的调制 下， 系统响应的
3、能量向 输入信号频率处集中， 而信噪比随噪声强度的变化曲线呈现出单峰曲线， 随 机共振发生了， 并且此时随机共振发生的 机制是由于系统运动在分岔点左右三个吸引子( 两个在 分岔前一个在分岔后)之间的跃迁而产生的。 关键词: 随机共振; 吸引子; 非间下响应; 跃迁 中图分类号: 0 3 2 4文献标识码: A文章编号: 1 0 0 9 一 3 5 1 6 ( 2 0 0 6 ) 0 4 - 0 0 7 9 一 0 3 大量的研究发现神经元在信息的编码与传递过程中可以通过随机共振对噪声环境中的弱信号进行放 大， 研 究发 现 发 生H o p f 分 岔的F H N 神 经 元 模型 在 分岔
4、发生 前川和 分岔 发生 后 2 在外噪 声的 作 用下发 生了 随机共振。而在非线性动力系统工作的环境里， 除了存在外部的噪声外， 还存在内噪声， 如热噪声等， 内噪声 对系统的分岔参数产生干扰， 使之发生随机变化。文献【 3 , 4 研究了当F H N神经元模型的分岔参数在 H o p f 分岔点的左侧， 系统的响应只有阑下振荡的响应时， 在内噪声的作用下， 系统的随机共振。我们的研究 发现: F H N神经元模型的分岔参数增加到一定的 程度时， 系统的响应只有幅值很大的闭上振荡存在， 但其与 输人弱信号的相关性很弱。此时， F H N神经元模型对弱信号的检测机理尚不清楚， 因此， 本文重
5、点研究了 F H N神经元模型在非阂下响应的随机共振极其发生的机理。 F H N 神经元模型的分岔特性 参考文献【 2 ， 周期激励的F H N神经元细胞的数学模型为 f e d v / d t = ” ( ” 一 “ ) ( 1 一 ” ) 一 L d w / d t = 。 一 d w一 b + r s i n ( ,(i t ) 变量。 为快变的膜电压变量， 。 为慢变的恢复变量。 在本文中我们取e = 0 . 0 0 5 , d = ( 1 ) 1 . 0， 尽= 7 . 5 ， a= 0 . 5 。如果变量， 正向穿越放电阂值、= 0 . 5 时， 即认为发生了放电。对于没有激励的F
6、 H N模型， 有不动点 ( v o , w o ) ， 其中%是方程v , ( v , 一 a ) ( 1 一 v a ) 二 、一 b 的实根， 。 。 = 、一 b 。 由参考文献【 1 , 2 可知， b 0 . 2 6 2 3 时， 系统有一稳定的极限环和一个不稳定的平衡点。 F H N神经元细胞模型在有弱信号激励时的动力学特性与参数b 和激励的幅值r 均有关系， 以b 为分岔 参 数和以r 为 分岔 参数 对其分岔特 性 进行 研究都是可 行的， 并且所得的结果是一致的 3 .4 1 0 “研究结果表明: F H N 模型在弱周期信号的激励下， 当激励的幅值r = 0 . 0 1
7、， 当b 0 . 2 6 2 4 时， 系统由双吸引子( 阂上振荡和阑 收稿日期: 2 0 0 5 - 0 9 - 0 9 基金项目: 国家自 然科学基金重点项目 资助( 1 0 4 3 2 0 1 0 ) 作者简介: 张广军( 1 9 6 7 一 ) ， 男， 河南商丘人， 博士， 主要从事非线性动力学的研究. 万方数据 空军工程大学学报( 自 然科学版)2 0 0 6 年 下振荡) 共存变化为只有一个阑上振荡的吸引子。周期激励幅值的改变可以使F H N模型的分岔点的位置发 生移动， 例如当; = 0 . 0 2 9 2 时， 当b 0 . 2 4 6 6 8 示， 系统只有一个阂上振荡的吸
8、引子 3 - 4 1 1 。由此可见， F H N 神经元模型在其分岔点的左右两侧存在不同的吸引子。 2 F H N神经元模型非阂下响 应的随机共振 当系统的分岔参数在只存在闭上振荡响应的区域内且在分岔点的小邻域内时， 系统在微弱的内噪声的 摄动 下， 分岔参 数在分 岔点的 两 侧随 机地变 化， 尽而使系 统的 运动在分岔发生前后的 吸引子之间 跃迁 3 - 4 0 当 系 统 在 微弱的 外噪 声的 摄动 下， 由 于 分 岔 点的 移 动 使系 统的 运 动 在分 岔 发生 前 后的 吸引 子之间 跃迁 3 - 4 3 0 为此， 本文给系统施加高斯分布的白 噪声， 其均值和自 相关函
9、 数分别为 = 0 . 0 = S ( t 一 。 ) ( 2 ) 本文对外噪声和内噪声， 噪声强度分别为D 。 和D ; o 为了 方便地对系统施加内噪声， 对方程( 1 ) 进行变换: 。 二 ， , + v a , w= w , + 。 。 ， 变为 s d v / d t = ( v , + v o ) ( ， ， + 、一 a ) ( 1 一 ( ， ， + v o ) ) 一 ( ， ， + 。 。 ) d w , / d t = 。 : 一 d w , + r s i n尽) ( 3 ) 式中%和w 。 是方程( 1 ) 的不动点， 并且是分岔参数b 的函数。 对于F H N神经
10、元模型， 加上周期激励、 外噪声和对参数b 施加的内噪声后， 系统的随机微分方程为 e d v , / d t = ( ， ， + v a ) ( ， : + v o 一 a ) ( 1 一 ( ， ， + v o ) ) 一 ( 。 : + w o ) d w , / d t = v , 一 d w , + r s i n 尽) + D . e , ( t ) ( 4 ) 式中: b = b o + D ;6 2 ( t ) ; v o = 0 . 5一B + (0 . 5 - B )2 + ( 0 .7 5 )3 : 0 . 5一B + , 0 . 5一 B, 2 , 0 . 7 5 、
11、， 叹)+ 砚- - 二 -一 i 一: 2、 3 W o 二 v o 一 b . e l ( t ) 和f ( 1 ) 是互不相关的高斯白 噪声。 我们采用四阶龙格一 库塔法对方程( 3 ) 进行了数字仿真， 计算步长为A t = 0 . 0 0 1 s 。计算出系统的响应 后， 参照文献【 3 , 4 ， 信噪比 定义如下: R ,d 洒+ 4 r =( 飞 i 叫S ( 刀胡/ S N ( f o ) u - I o - 4 r ( 5 ) 式中: S 切 为系统响应的功率谱密度满为弱周期激励的频率， 分母S N 饥) 为响应的功率谱密度在弱周期激 励频率处单位频率上背景噪声的累积值。
12、系统以b 为分岔参数且位于分岔点的右侧时， 分别在内噪声和外噪声单独作用下系统信噪比随噪声强 度的 变 化情况如图1 , 2 所示。由 图 可见， S R N随噪声强度的变化曲线为一单峰曲线， 随机共振发生了。 3 5 0 r / 、一 3002502001501000 闰MS Q 0 1 0. 0 2 0. 0 3 Q 0 4 Q OQ O G 0. 0 7 Q 0 8 Q 0 9 0. 1 D i 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 八.n甘01八UO几.n. 3530252015105 叫鸽的 图1 在 参 数噪 声 单 独 作 用 下， F
13、H N 模型 非阑 下响 应的 随 机 共 振， b o 二 0 . 2 4 0 0 , r 二 0 . 0 2 9 2 ,p 二 7 . 5 图2 在激 励噪声单独作用下， F H N 模型 非闭 下响 应的 随 机 共振， b 二 0 . 2 4 6 0 , r 二 0 . 0 2 9 2 尹= 7 . 5 3 结论 本文研究了F H N神经元模型非闹下响应的随机共振， 可得出以下结论: 随着F H N神经元模型分岔参数 的 增加， 发生了一个由两个吸引子( 阂上振荡和阂下振荡) 变化到一个吸引子( 阂上振荡) 的分岔; 当F H N神 万方数据 第4 期 张广军等: F i t z H
14、u g h 一N a g u m 。 神经元模型非闭下响应的随机共振 经元模型的分岔参数位于上述分岔点右侧且距分岔点很近时， 系统只有一个阑上振荡地吸引子。此时， F H N 神经元模型分别在内噪声或者外噪声的单独作用下， 发生了随机共振， F H N神经元模型同样通过随机共振 检测噪声环境中的弱信号; F H N神经元模型非阑下响应的随机共振发生的机制是系统的运动在分岔前后吸 引子之间的跃迁， 当跃迁的频率与输人信号的频率一致时， 随机共振发生了。 参考文献: 1 2 3 4 L o n g t i n A . S t o c h a s t i c r e s o n a n c e i
15、n n e u ro n m o d e l s J . J S t a t P h y s , 1 9 9 3 , 7 0 : 3 0 9 一 3 2 7 . G o n g P L , X u J X . G l o b a l d y n a m i c s a n d s t o c h a s t i c r e s o n a n c e o f f o r c e d F i z t H u g h 一 N a g u m o n e u r o n m o d e l J . P h y s R e v E , 2 0 0 1 , 6 3 : 0 3 1 9 0 6 一 0 3
16、 1 9 1 6 . 张广军， 徐健学. 非线性动力系统分岔点邻域内随机共振的特性 J . 物理学报， 2 0 0 5 , 5 4 ( 2 ) : 5 5 7 一 5 6 4 . Z h a n g G J , X u J X . S t o c h a s t i c R e s o n a n c e i n d u c e d b y n o v e l r a n d o m t r a n s i t i o n s o f m o t i o n o f F i t z H u g h 一 N a g u m o N e u ro n M o d e l J . C h a o s
17、 S o li t o n s a n d F r a c t a l s , 2 0 0 5 , 2 3 ( 4 ) : 1 4 3 9 一 1 4 4 9 . ( 编辑: -V k 树峰) S t o c h a s t i c R e s o n a n c e o f N o n一 s u b一 t h r e s h o l d R e s p o n s e o f F H N N e u r o n Mo d e l Z H A N G G u a n g 一 j u n i ,z (1 . S c h o o l o f A e r o s p a c e X i a n J
18、i a o T o n g X i a n ， S h a a n x i 7 1 0 0 5 1 ， C h i n a) ， X U J u a n 一 x u e ， W A N G X ia n g 一 b o g ， Y A O H o n g 2 U n i v e r s i t y ; 2 . T h e S c i e n c e I n s t i t u t e , A i r F o r c e E n g i n e e r i n g Umv e r s i ty , A b s t r a c t : I n t h i s p a p e r s t o c h
19、 a s t i c r e s o n a n c e o f F H N n e u r o n m o d e l w h e n t h e r e e x i s t s o n l y t h e r e s p o n s e o f s u p r a t h - r e s h o l d o s c i l l a t i o n w i t h w e a k p e r i o d i c s i g n a l i s s t u d i e d . T h e r e s u l t s o f r e s e a r c h s h o w : A b i f u
20、 r c a t i o n o f t r a n s i t i o n f r o m t w o a t t r a c t o r s ( s u p r a t h r e s h o l d o s c i ll a t i o n a n d s u b 一 t h r e s h o l d o s c i l l a t i o n ) t o o n e a t t r a c t o r ( s u p r a t h r e s h o l d o s - c i l l a t i o n ) o c c u r s w i t h t h e i n c r e
21、a s e o f b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r , w h e n t h e b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r o f s y s t e m i s o n t h e r i g h t s i d e o f b i f u r c a t i o n p o i n t t h e r e e x i s t s o n l y t h e r e s p o n s e o f s u p r a t h r e s h o l d o s c i ll a t i o n i n F
22、 H N n e u ro n m o d e l e x c i t e d b y w e a k s i g n a l , i n t h i s c a s e ， u n d e r t h e m o d u l a t i o n o f e x t e r n a l n o i s e o r i n t e r n a l n o i s e ， t h e e n e r g y o f s y s t e m r e s p o n s e c o n c e n t r a t i n g o n t h e fr e q u e n c y o f i n p u
23、 t s i g n a l ， a n d t h e c u r v e o f s i g n a l一n o i s e一r a t i o ( S N R ) o f s y s t e m r e s p o n s e v s n o i s e e x t e n s i ty i s a m o n一p e a k c u r v e ， s t o c h a s t i c r e s o n a n c e o c c u r s , a n d t h e m e c h a n i s m o f s t o c h a s t i c r e s o n a n
24、c e i n t h i s c a s e i s r e l a t e d t o t h e t r a n s i t i o n s a m o n g t h e t h r e e a t t r a c t o r s ( t w o b e f o r e b i f u r c a t i o n a n d o n e a f t e r i t ) o n t h e l e f t a n d r i g h t s i d e s o f b i f u r c a t i o n p o i n t . K e y w o r d s : s t o c h a s t i c r e s o n a n c e ; a t t r a c t o r ; n o n 一 s u b一 t h r e s h o l d r e s p o n s e ; t r a n s i t i o n 万方数据