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1、专题 4.20 曲线运动的综合性问题（提高篇）专题 4.20 曲线运动的综合性问题（提高篇） 一选择题 1.（6 分） （2019 山东枣庄二模）如图所示，AB 为光滑水平直轨道，BCD 为半径是 R 的光滑半圆弧轨道。质 量为 m 的小球在 A 点获得瞬时冲量 l，经过 D 点时对轨道的压力大小等于小球的重力大小，经过 D 点后又恰 好落到 A 点，重力加速为 g，则下列判断正确的是（ ） A小球经过 D 点的速度为 B小球获得的冲量 Im C小球即将着地时重力的瞬时功率为 2mg D小球从 A 点运动到 B 点用时 2 【参考答案】CD 【名师解析】根据小球在 D 点的受力情况应用牛顿第二
2、定律求出经过 D 点时的速度； 从 A 到 D 过程系统机械能守恒，应用机械能守恒定律求出小球在 A 点的速度，然后求出其获得的冲量；小 球离开 D 后做平抛运动，应用平抛运动规律求出小球落地时的竖直分速度，然后求出重力的瞬时功率；小 球从 A 到 B 做匀速直线运动，应用运动学公式可以求出从 A 到 B 的时间。 小球过 D 点时对轨道的压力大小等于小球的重力大小， 在 D 点， 由牛顿第二定律得 ： mg+mgm， 解得 ： vD ， 故 A 错误 ； 从 A 到 D 过程小球机械能守恒， 由机械能守恒定律得 ：， 解得 ： vA ，由动量定理得：ImvAm，故 B 错误；小球离开 D 后
3、做平抛运动，竖直方向：vy2 ， 小球落地时重力的瞬时功率：Pmgccosmgvy2mg，故 C 正确；小球离开 D 后做平抛运动，竖直方 向：2R，水平方向：ABvDt，小球从 A 到 B 做匀速直线运动：ABvAt，解得：t2， 故 D 正确。 2.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球， 小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过 0.3 s 后又恰好垂直与倾角为 45的斜面相碰。 已知半圆形管道的半径R1 m，小球可看做质点且其质量为m1 kg，g取 10 m/s2。则( ) A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是
4、0.9 m B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是 1.9 m C.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是 1 N D.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是 2 N 【参考答案】AC 【名师解析】 根据平抛运动的规律， 小球在C点的竖直分速度vygt3 m/s， 水平分速度vxvytan 453 m/s，则B点与C点的水平距离为xvxt0.9 m，选项 A 正确，B 错误 ； 在B点设管道对小球的作用力方向 向下，根据牛顿第二定律，有FNBmgm，vBvx3 m/s，解得FNB1 N，负号表示管道对小球的作用 v R 力方向向上，选项 C 正确，D 错误。
5、3. (2017山东泰州中学)如图所示,两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点),静止在倾斜的匀质圆盘上, 圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动,a到转轴的距离为l,b到转轴的距离为 2l,物块与盘面间的动摩擦因数 为,盘面与水平面的夹角为 30.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g.若a、b随圆盘以角 速度匀速转动,下列说法中正确的是( ) A. a在最高点时所受摩擦力可能为 0 B. a在最低点时所受摩擦力可能为 0 C. =是a开始滑动的临界角速度 D. =是b开始滑动的临界角速度 8 g l8 g l 【参考答案】AD 【名师解析】 a在最高点时可能有重力沿斜面的分力提供向心力
6、,所以所受摩擦力可能为0,，故选项A正确; ；a 在最低点,由牛顿运动定律f- mgsin =m,所以a在最低点时所受摩擦力不可能为0，,故选项B错误 ； ;对a 在最低点,由牛顿运动定律mgcos -mgsin =m2l,代入数据解得=,，故选项 C 错误;； 对b在 4 g l 最低点,由牛顿运动定律mgcos - mgsin =m2(2l),代入数据解得=,，故选项 D 正确. 8 g l 二计算题 1 (15 分)（2017山东莱州模拟） 如图所示， 用内壁光滑的薄壁细管弯成的 “S” 形轨道固定于竖直平面内， 其弯曲部分是由两个半径均为R0.2 m 的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于
7、细管内径)，轨道底端D点与 粗糙的水平地面相切。现有一辆质量为m1 kg 的玩具小车以恒定的功率从E点由静止开始出发，经过一段 时间t4 s 后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最 高点飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C点，C点与下半圆的圆心O等高。已知小车与地面之间的动摩 擦因数为0.1，ED之间的距离为x010 m，斜面的倾角为 30。求：(g取 10 m/s2) (1)小车到达C点时的速度大小为多少？ (2)在A点小车对轨道的压力大小是多少，方向如何？ (3)小车的恒定功率是多少？ 【参考答案】(1)4 m/s (2)10 N 方向竖直向上
8、 (3)5 W 【名师解析】(1)把小车在C点的速度分解为沿水平方向的分速度vA和沿竖直方向的分速度vy， 有v2g3R，vC，解得vC4 m/s。 2y vy cos30 (2)由(1)知小车在A点的速度大小 vAvCsin302 m/s， 因为vA，小车对外轨有压力，轨道对小车的作用力竖直向下，根据牛顿第二定律有mgFNm2gRgR ，解得FN10 N， v2 A R 根据牛顿第三定律得，小车对轨道的压力的大小FNFN10 N，方向竖直向上。 (3)从E到A的过程中，由动能定理可得 Ptmgx0mg4Rmv， 1 2 2A 解得P5 W。 2(14 分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹
9、簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止 放于倾角为 53的光滑斜面上。一长为L9 cm 的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m1 kg 的 小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球 在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩， 最大压缩量为x5 cm。 (取g10 m/s2， sin530.8， cos530.6)求： (1)细绳受到的拉力的最大值； (2)D点到水平线AB的高度h； (3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。 【参考答案】(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J 【名师解析】(1)小球由C到D，由机械能守恒定律
10、得： mgLmv，解得v1 1 2 2 1 2gL 在D点，由牛顿第二定律得Fmgm v2 1 L 由解得F30 N， 由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为 30 N。 (2)由D到A，小球做平抛运动v2gh 2y tan53 vy v1 联立解得h16 cm。 (3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中， 小球与弹簧系统的机械能守恒， 即Epmg(Lhxsin53)， 代入数据解得：Ep2.9 J。 3(20 分) (2016江苏无锡期中)如图所示，倾角为 37的粗糙斜面AB底端与半径R0.9 m 的光滑半圆 轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高
11、。质量m2 kg 的滑块 从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。 (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数； (2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值； (3)若滑块离开C处的速度大小为 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t。 10 3 【参考答案】(1)0.375 (2)3 m/s (3)0.4 s3 【名师解析】(1)滑块由A到D过程，根据动能定理，有： mg(2RR)mgcos 3700 2R sin 37 得 tan 370.375 1 2 (2)若滑块能到达C点，根据牛顿第二定律，有m
12、gFN则得vC m/s3 m/s； mv R gR0.9 10 A到C的过程：根据动能定理有mgcos 37mvmv 2R sin 37 1 2 2C 1 2 2 0 联立解得，v03 m/sv2gR92 10 0.93 所以，滑块从A点沿斜面下滑时的初速度v0的最小值为 3 m/s。3 (3)滑块离开C点做平抛运动，则有 xvCt ygt2 1 2 由几何关系得：tan 372Ry x 联立得 10t25t3.60 解得t0.4 s。 4 (20 分) (2016山西太原校级高三月考)物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定， 合力 提供的向心力F供由物体受力情况决定。若某时刻F需
13、F供，则物体能做圆周运动；若F需F供，物体将做 离心运动；若F需F供，物体将做近心运动。现有一根长L0.5 m 的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一 端系着质量m1 kg 的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如 图所示。不计空气阻力，g取 10 m/s2，则： (1)在小球以速度v15 m/s 水平抛出的瞬间，绳中的张力为多大？ (2)在小球以速度v21 m/s 水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求轻绳再次伸直时 所经历的时间。 【参考答案】(1)40 N (2)绳中无张力 0.4 s 【名师解析】(1)要使小球在竖直面内能够做完整的圆周
14、运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向 心力，所以由mgm得： v L v0 m/sgL5 因为v1v0，故绳中有张力，由牛顿第二定律得： FTmgmv L 代入数据解得，绳中的张力为：FT40 N， (2)因为v2v0，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，如图所示 水平方向：xv2t 竖直方向：ygt2 1 2 L2(yL)2x2 代入数据解得：t0.4。 5.为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想 ： 取一个与水平方向夹角为60，长为L12 m 的倾斜轨道AB， 通过微小圆弧与长为L2m 的水平轨道BC相连， 然后在C处设计一个竖直完整的光3 3 2 滑圆轨道，出口为水平轨道
15、D，如图所示。现将一个小球从距A点高为h0.9 m 的水平台面上以一定的初 速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因 数均为。g取 10 m/s2，求： 3 3 (1)小球初速度v0的大小； (2)小球滑过C点时的速率vC； (3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。 【参考答案】(1) m/s (2)3 m/s (3)0R1.08 m66 【名师解析】(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：v2gh 2y 即：vy3 m/s2 因为在A点的速度恰好沿AB方向， 所以小球初速度：v0vytan
16、30 m/s6 (2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得： mg(hL1sin )mgL1cos mgL2mvmv 1 2 2C 1 2 2 0 解得：vC3 m/s。6 (3)小球刚好能通过最高点时，由牛顿第二定律有：mgmv 2 R1 小球做圆周运动过程中，由动能定理有： 2mgR1mv2mv 1 2 1 2 2C 解得：R11.08 m v 5g 当小球刚好能到达与圆心等高时有：mgR2mv 1 2 2C 解得：R22.7 m v 2g 当圆轨道与AB相切时：R3L2tan 601.5 m，即圆轨道的半径不能超过 1.5 m 综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0R1.
17、08 m。 6.如图所示，一水平传送带AB长为L6 m，离水平地面的高为h5 m，地面上C点在传送带右端点B的正 下方。一物块以水平初速度v04 m/s 自A点滑上传送带，传送带匀速转动，物块与传送带间的动摩擦因数 为0.2，重力加速度为g10 m/s2。 (1)要使物块从B点抛出后的水平位移最大，传送带运转的速度应满足什么条件？最大水平位移多大？ (2)若物块从A点滑上传送带到落地所用的时间为2.3 s， 求传送带运转的速度(3.162，1014.24 3.77， 结果保留三位有效数字)。 【参考答案】(1)v6.32 m/s 6.32 m (2)4.72 m/s 【名师解析】 (1)要使物
18、块平抛的水平位移最大，则物块应一直做加速运动，传送带必须沿顺时针转动，且转动的速度满 足v2v2gL 2 0 v2 m/s10 物块所能达到的最大速度为v22 m/s10 做平抛运动的过程hgt2 1 2 t1 s 2h g 则最大的水平位移为smaxv2t2 m6.32 m10 (2)若物块从A点滑上传送带到落地所用的时间为 2.3 s，由于平抛运动的时间为 1 s，因此物块在传送带上 运动的时间为t11.3 s 若物块从A到B以v04 m/s 匀速运动，需要的时间为t21.5 s L v0 若物块一直匀加速运动，则所用的时间为 t3 s(2) s1.162 s v2v0 g 2 104 2
19、 10 由于t2t1t3，所以物块在传送带上先加速再匀速 则t1 vv0 g Lv 2v 2g v v213.2v400 解得v m/s4.72 m/s。 13.2 14.24 2 7. (12 分) （2016 安徽皖江联考） 如图所示，光滑的 AB 杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定 的转轴，另一端与套在杆上质量为 m 的小球连接。已知 AB 杆足够长，弹簧的原长为l0，劲度系数为 k，OO 为过 B 点的竖直线， 杆与水平面间的夹角始终为。 已知弹簧的弹性势能公式为其中 k 为劲度 系数，x 为弹簧的形变量。 (1)若杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置由静止释放，求小球速度
20、最大时弹簧的弹性势能； (2)当球随杆一起绕 OO匀速转动时，转动角速度不同弹簧的长度就会不同，已知球随杆一起以足够大的角 速度转动，且在稳定的情形下弹簧处于伸长状态，小球在水平面内做匀速圆周运动。求此时弹簧伸长量。 【名师解析】 (12 分) （1）当小球速度最大时，有： （2 分） 1 sinmgk l 解得弹簧的压缩量为： （1 分） 1 sinmg l k 故（2 分） 2 1 2 p Ekx 222 sin 2 m g k （2）设弹簧伸长量为l2，在水平方向上有： （3 分） 2 202 sincos()cos N Fk lmll 竖直方向上有：（3 分） 2 cossin0 N
21、Fk lmg 解得：（1 分） 22 0 2 22 cossin cos mlmg l km 8.(12 分)(2016长春模拟)如图所示， 位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物线 bc 组成， 圆弧半径 Oa 水平，b 点为抛物线顶点已知 h2 m，s m取重力加速度 g10 m/s2.2 (1)一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨 道的半径； (2)若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c 点时速度的水平分量的大小 【参考答案】(1)0.25 m (2) m/s 2 3 10 【名师解析】(1)小
22、环套在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到 b 点时的速度使得 小环套做平抛运动的轨迹与轨道 bc 重合， 故有 svbt，(1 分) h gt2.(1 分) 1 2 从 ab 滑落过程中，根据动能定理可得 mgR mv .(2 分) 1 2 2 b 联立三式可得 R0.25 m(2 分) s2 4h (2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得 mgh mv .(2 分) 1 2 2 c 因为物体滑到 c 点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过 c 点时速度与竖直方向的夹角相 等，设为 ，则根据平抛运动规律可知 sin .(1 分) vb v2gh 根据运动的合成与分解可得 sin .(1 分) v水平 vc 联立可得 v水平 m/s.(2 分) 2 3 10