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1、专题 4.18 平抛运动与圆周运动综合问题（提高篇）专题 4.18 平抛运动与圆周运动综合问题（提高篇） 一选择题 1.（2019山东省德州市高三模拟）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下 一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距 开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小 面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（） A运动的时间都相同 B速度的变化量都相同 C落入锅中时，最大速度是最小速度的 3 倍 D若初速度为v0，则 0 3
2、 22 gg LvL hh 【参考答案】C 【名师解析】根据 2 1 2 hgt可得运动的时间 2h t g ，所有小面圈在空中运动的时间都相同，故选项 A 正确 ； 根据 vg t 可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故选项 B 正确；因为水平位移的范围为 23LxLRL，则水平最小初速度为 min 2 Lg vL th ，水平最大初速度为 ： max 3 3 2 Lg vL th ，则水 平初速度速度的范围为： 0 3 22 gg LvL hh ；落入锅中时，最大速度 2 2 max 9 22 2 m L g vvghgh h ，最 小速度为 2 2 min 22 2 m L g vvgh
3、gh h ，故选项 D 正确，C 错误。 2(2018安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命 中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的 ，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离 2 3 应为(不考虑空气阻力)( ) A.sB.sC.sD.s 1 3 2 3 2 3 2 2 3 【参考答案】 C 【名师解析】 设原来的速度大小为v， 高度为h， 根据平抛运动的规律可知在竖直方向有 ：hgt2， 解得 ：t 1 2 ， 在水平方向 ：svtv， 现战斗机高度减半， 速度大小减为原来的 ， 要仍能命中目标， 则有s 2h g 2h g 2 3
4、 vt，hgt2，联立解得：ss，故 C 正确，A、B、D 错误 2 3 1 2 1 2 2 3 3.（2019福建省厦门外国语学校高三最后一模）如图所示，三个质量相等的小球A、B、C从图示位置分 别以相同的速度v0水平向左抛出， 最终都能到达坐标原点O。 不计空气阻力，x轴所在处为地面， 则可判断A、B、 C三个小球（） A在空中运动过程中，重力做功之比为 1:2:3 B在空中运动过程中，动量变化率之比为 1:2:3 C初始时刻纵坐标之比为 1:4:9 D到达O点时，速度方向与水平方向夹角的正切值之比为 1:4:9 【参考答案】C 【名师解析】根据x=v0t，水平初速度相同，A、B、C水平位
5、移之比为 1:2:3，所以它们在空中运动的时间 之比为 1:2:3，初始时刻纵坐标之比既该过程小球的下落高度之比，根据 2 1 2 hgt，初始时刻纵坐标之比为 1:4:9，重力做功之比为h之比，即为 1:4:9，故 A 错误，C 正确 ； 动量的变化率为合外力即重力，重力相同， 则动量的变化率相等，故 B 错误；竖直向速度之比为 1:2:3，水平向速度相向，而速度方向与水平方向夹角 的正切值为 y x v v ，则其比值为 1:2:3，故 D 错误。 4.(2018广东省七校联合体第三次联考)如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初 速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同
6、时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时 两球的速度互相垂直若不计空气阻力，则( ) A小球a比小球b先抛出 B初速度va小于vb C小球a、b抛出点距地面高度之比为vbvaD初速度va大于vb 【参考答案】AB 【名师解析】hgt2，所以t，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高度比小 1 2 2h g 球b的大， 所以tatb， 由于小球a、b的水平位移相等， 由xv0t得vavb， 故 A、 B 正确， D 错误hgt2 1 2 g，故小球a、b抛出点距地面高度之比为，C 错误 1 2 x2 v02 ha hb vb2 va2 5.在水平路面上做匀速直线运
7、动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小 球A、B、C，它们离地面的高度分别为 3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时 从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( ) A三个小球落地时间差与车速有关 B三个小球落地点的间隔距离L1L2 C三个小球落地点的间隔距离L1L2 【参考答案】C 【名师解析】落地时间只与下落的高度有关，故 A 项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公 式t可得下落时间之比为tAtBtC1， 故水平位移之比xAxBxC1， 则L1L2 2h g 3232 ()(1)，故L1L
8、2，故 C 正确，B、D 错误322 6.(2019山西省晋城市模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为2 37，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在 地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 370.6，cos 370.8，g10 m/s2，不计空气阻 力)( ) A. m B. m C. m D. m 3 4 2 3 2 2 4 3 【参考答案】D 【名师解析】设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则，求得：x m，选 h tan x 2h g h 2tan x h g 4 3 项 D 正确.
9、二计算题 1（12 分）(2019 浙江稽阳联谊学校联考模拟)某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质 量为 m0.5kg 的玩具小车（可以视为质点）放在 P 点，用弹簧装置将其从静止弹出（弹性势能完全转化为 小车初始动能）使其沿着半径为 r1.0m 的光滑圆形竖直轨道 OAO运动，玩具小车与水平面 PB 的阻力为 其自身重力的 0.5 倍（g 取 10m/s2），PB16.0m，O 为 PB 中点。B 点右侧是一个高 h1.25m、宽 L2.0m 的壕沟。求； （1）要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点 A，小车在 O 点受到轨道弹力的大小； （2）要求小车能安全越过 A 点，并从
10、B 点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？ （3）若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能 Epm40J，以 O 点为坐标原点，OB 为 x 轴，从 O 到 B 方向为正 方向， 在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下， 弹簧弹性势能 Ep与小车停止位置坐标 x 关系图。 【命题意图】本题把竖直面内的圆周运动和平抛运动、弹性势能有机组合，考查动能定理、牛顿运动定律、 机械能守恒定律及其相关的知识点。 【压轴题透析】 （1）根据题述小车恰好越过圆形轨道的最高点，利用重力等于向心力，得出小车通过圆形 轨道最高点的速度，应用机械能守恒定律列方程得出小车通过圆形轨道最低点的速度，分析小
11、车在圆形轨 道最低点 O 点受力，应用牛顿第二定律得出小车受到的轨道的弹力。 （2）先得出能够越过圆形轨道最高点 A 对应的最小速度，利用功能关系得出对应的弹簧最小弹性势能；然 后得出从 B 点平抛运动越过壕沟应的最小速度，利用功能关系得出对应的弹簧最小弹性势能；取两个最小 弹性势能中较大的即为题目要求的。 （3）分类讨论，应用相关知识得到弹簧弹性势能与小车停止位置的函数关系，画出对应的图像。 【解题思路】 （1）小车恰好经过 A 点时，有：mgm 得 vAm/s 对小车从 O 到 A 过程，根据动能定理，有：mg2r 解得 vO5m/s 小车在 O 点时，由牛顿第二定律得 FNmgm 联立解
12、得：FN6mg30N （2）要求：越过 A 点，vO5m/s PO：Ep 弹 1kmgxPO0 得 Ep 弹 132.5J 要求：平抛运动后越过壕沟，有 LvBt h 可得 vB4m/s 由动能定理，有 Ep 弹 2kmgxPB0 解得 Ep 弹 244J 综上所述，弹簧的弹性势能至少为 44J。 （3）分类讨论：因为最大弹簧势能为 40J，所以小车至多运动到 B 点，必不平抛。 情况 1：能越过 A 点，弹性热能 32.5JEp 弹 140J。 当 Ep 弹 1kmgx100，得 13mx116m。 又因为 O 点是坐标原点，所以实际坐标值为 5mx118m。 情况 2：恰能到达圆轨道圆心等
13、高处，当 Ep 弹 2kmgxPOmgr00，得 Ep 弹 225J mgrkmgx21，得 x212m 又因为 O 点为坐标原点，所以实际坐标值为 x212m 恰能进入圆轨道，当 Ep 弹 2kmgxPO00，得 Ep 弹 220J，此时坐标值为 0 由动能定理表达式可知，Ep 弹与 x 是线性函数图象，如图。 2.(12 分)(2018杭州地区重点中学期末)如图 20 所示，玩具轨道由光滑倾斜轨道AB、粗糙的水平轨道BC、 光滑圆轨道及粗糙的足够长的水平轨道CE构成 已知整个玩具轨道固定在竖直平面内，AB的倾角为 37，A 离地面高度H1.45 m，整个轨道水平部分动摩擦因数均为0.20，
14、圆轨道的半径为R0.50 mAB与BC 通过一小段圆弧平滑连接 一个质量m0.50 kg 的小球在倾斜导轨顶端A点以v02.0 m/s 的速度水平发射， 在落到倾斜导轨上P点(P点在图中未画出)时速度立即变成大小vP3.4 m/s，方向沿斜面向下，小球经过BC， 并恰好能经过圆的最高点取g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，空气阻力不计，求： (1)P点离A点的距离； (2)B到C的距离x0的大小； (3)小球最终停留位置与B的距离 【参考答案】 (1)0.75 m (2)1.64 m (3)7.89 m 【名师解析】 (1)小球从A做平抛运动，经过时间t落到倾斜导轨上的P
15、点，设水平位移为x，竖直位移 为y，有xv0t，ygt2 1 2 tan 37 y x 3 4 联立解得x0.6 m P点距抛出点A的距离为l0.75 m x cos 37 (2)由恰好经过圆的最高点D，此时有mgm， vD 2 R 得vD m/sgR5 由P到D，能量关系：mvP2mg(Hlsin 37)mgx0mv2mgR 1 2 1 2 D2 解得x01.64 m. (3)设小球最终停留位置与B的距离为x，从P点到最终停留位置满足能量关系： mvP2mg(Hlsin 37)mgx， 1 2 解得x7.89 m. 3如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB(圆半径比细管的内径大
16、得多)和直线BC组成的 轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R1 m，BC段长L1.5 m弹射装置将一个质量为 0.1 kg 的 小球(可视为质点)以v03 m/s 的水平初速度从A点射入轨道， 小球从C点离开轨道随即水平抛出， 桌子的 高度h0.8 m，不计空气阻力，g取 10 m/s2.求： (1)小球在半圆形轨道中运动时的角速度、向心加速度an的大小； (2)小球从A点运动到B点的时间t； (3)小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小 【参考答案】(1)3 rad/s 9 m/s2 (2)1.05 s (2)0.4 s 5 m/s 【名师解析】(1)小球在半圆形轨道中做匀速圆周运动，角速度为： rad/s3 rad/s v0 R 3 1 向心加速度为：an m/s29 m/s2 v0 2 R 32 1 (2)小球从A到B的时间为：t s1.05 s. R v0 3.14 1 3 (3)小球水平抛出后，在竖直方向做自由落体运动， 根据hgt 1 2 1 2 得：t1 s0.4 s 2h g 2 0.8 10 落地时竖直方向的速度为：vygt1100.4 m/s4 m/s， 落地时的速度大小为：v m/s5 m/s.v0 2vy 2 916