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1、十五用相似三角形解决平衡问题（提高篇）十五用相似三角形解决平衡问题（提高篇） 一.选择题 1 （2019 中原名校联考）如图所示，质量均为 m 的小球 A、B 用劲度系数为 k1的轻弹簧相连，B 球用长为 L 的细绳悬于 O 点， A 球固定在 O 点正下方， 当小球 B 平衡时， 绳子所受的拉力为 T1， 弹簧的弹力为 F1； 现把 A、 B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为 k2(k1k2)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此 时绳子所受的拉力为 T2，弹簧的弹力为 F2，则下列关于 T1与和 T2、F1与 F2大小之间的关系，正确的是 （ ） A T1T2 B T1F2
2、D F1F2，故 C 正确； 2如图所示，质量均匀的细棒中心为 O 点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在 O1正上方，一根轻绳一 端系于 O 点，另一端跨过定滑轮 O2由水平外力 F 牵引，用 N 表示铰链对杆的作用，现在外力 F 作用下，细 棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（ ） A F 逐渐变小，N 大小变大 B F 逐渐变小，N 大小不变 C F 先变小后变大，N 逐渐变小 D F 先变小后变大，N 逐渐变大 【参考答案】B 【名师解析】细棒受重力、拉力以及结点处的支持力，根据平衡条件可知，支持力与拉力F的合力与重力 等大反向，如图所示： 则由图可知，OFG
3、O1O2O，则有：，在杆上移过程中，左侧绳长OO2变短，而O2O1 及OO1不变，则可知：F变小，N不变，故 B 正确，ACD 错误。 3 （2019 山东大联考三模）如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O为圆心，最高点B 处固定一光滑轻质滑轮，质量为m的小环A穿在半圆环上。现用细线一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F 拉动，使A缓慢向上移动。小环A及滑轮B大小不计，在移动过程中，关于拉力F以及半圆环对A的弹力N 的说法正确的是（ ） A. F逐渐增大 B. N的方向始终指向圆心O C. N逐渐变小 D. N大小不变 【参考答案】D 【名师解析】 在物块缓慢向上移动的过程中，小圆环
4、 A 处于三力平衡状态，根据平衡条件知 mg 与 N 的合力与 T 等大反向 共线，作出 mg 与 N 的合力，如图， 由三角形相似得：= 由于最高点B处固定一光滑轻质滑轮，F=T，由可得 ： F=mg，AB 变小，BO 不变，则 F 变小 ； 故 A 错误 ； 由可得：N=mg，AO、BO 都不变，则 N 不变，方向始终背离圆心；故 D 正确，BC 错误； 【关键点拨】选取小圆环 A 为研究对象，画受力分析示意图，小圆环受三个力，两个绳子的拉力和大圆环 的支持力，运用三角形相似法得到 N、F 与 A0、BO 的关系，再分析 N 和 F 的变化情况。本题是共点力平衡 的动态变化分析问题，在非直
5、角三角形的情况下，运用三角形相似法列式也是常用的方法。 4 （2018 全国联考）如图所示，轻杆OP可绕O轴在竖直平面内自由转动，P端挂一重物，另用一轻绳通过 滑轮A系在P端。在拉力F作用下当OP和竖直方向间的夹角缓慢减小时，则（ ） A拉力F的大小逐渐增大 BOP杆的弹力N的大小保持不变 COP杆的弹力N做正功 D拉力F做的功大于重力G做的功 【参考答案】B 【名师解析】 以P点为研究对象， 受到重物的拉力G、 轻绳的拉力F和OP杆的弹力N三个力作用， 由于平衡， 三力构成如图所示的力三角形。 上述力的三角形与几何三角形AOP相似，则，当缓慢减小时，AO、OP保持不变，AP逐 渐减小，可知绳
6、中拉力F逐渐减小，OP杆的弹力N大小保持不变，选项 A 错误、选项 B 正确；运动过程中 弹力N与速度方向垂直，所以弹力N不做功，选项 C 错误；由动能定理知拉力F做的功等于重力G做的功， 选项 D 错误。 5如图所示，在半圆形光滑凹槽内，两轻质弹簧的下端固定在槽的最低点，另一端分别与小球 、 相 连已知两球在图示 、 位置静止则下列说法中正确的是（ ） A 若两球质量相同，则 球对槽的压力较小 B 若两球质量相同，则两球对槽的压力大小相等 C 若 球的质量大，则弹簧的劲度系数大 D 若 球的质量大，则弹簧的弹力大 【参考答案】BD 【名师解析】对两小球受力分析如图所示， 都是受重力、支持力和
7、弹簧的弹力三个力，两小球静止，受力平衡，根据平行四边形定则作平行四边形， 有几何关系可知：，则有：，即支 持力始终与重力相等， 若两球质量相等， 重力相等， 则所受支持力相等， 对槽的压力必然相等， 故 A 错误、 B 正确；得：，得：，由图可知，又，则，根 据胡克定律，两弹簧的形变量未知，则劲度系数的大小关系无法确定，故 C 错误，D 正确故选 BD 点睛：此题主要考查了同学们受力分析的能力，根据根据平行四边形定则做出力的平行四边形，能找到力 三角形和几何三角形的相似关系，列式即可解答 6如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环 D 固定在半球形物体球心 O 的正上方，轻 质弹
8、簧一端用轻质细绳固定在 A 点，另一端用轻质细绳穿过小环 D 与放在半球形物体上的小球 P 相连，DA 水平。现将细绳固定点 A 向右缓慢平移的过程中(小球 P 未到达半球最高点前)，下列说法正确的是 （ ） A 弹簧变短 B 弹簧变长 C 小球对半球的压力不变 D 小球对半球的压力变大 【参考答案】AC 【名师解析】分析小球受力情况：重力 G，细线的拉力T和半球面的支持力，作出、T，G 的矢量三 N F N F 角形，根据三角形相似法分析、T的变化 N F 对小球P受力分析，受到绳子的拉力T，半球的支持力，竖直向下的重力G，如图所示，根据相似三角 N F 形法可知， 因为 OP 和 OD 都
9、是恒定不变的，G也不变， DP 减小， 所以可知不变，T减小， N F 根据牛顿第三定律可知小球对半球的压力不变， 绳子的拉力减小， 即弹簧的弹力减小， 所以弹簧变短， 故 AC 正确 7.（2019 河北衡水质检）如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定 滑轮连接。已知b球质量为m，杆与水平面成角 ，不计所有摩擦，重力加速度为g。当两球静止时，Oa绳 与杆的夹角也为 ，Ob绳沿竖直方向，则下列说法正确的是 A. a可能受到 2 个力的作用 B. b可能受到 3 个力的作用 C. 绳子对a 的拉力等于mg D. a的重力为 【参考答案】C 【名师解析】对a球受力分
10、析可知，a受到重力，绳子的拉力以及杆对a球的弹力，三个力的合力为零， 故A错误 ； 对b球受力分析可知，b受到重力，绳子的拉力，两个力合力为零，杆子对b球没有弹力，否则b 不能平衡，故B错误；由于b受到重力和绳子拉力处于平衡状态，则绳子拉力，同一根绳子上的拉 力相等，故绳子对a的拉力等于mg，故C正确；分别对AB两球分析，运用合成法，如图，根据正弦定理列 式得：，解得：，故D错误。 【关键点拨】分别对ab两球分析，运用合成法，用T表示出ab两球的重力，同一根绳子上的拉力相等， 即绳子ab两球的拉力是相等的，根据正弦定理列式求解。本题考查了隔离法对两个物体的受力分析，关键 是抓住同一根绳子上的拉
11、力处处相等结合几何关系将两个小球的重力联系起来。 8.（2019 湖南长沙一中月考）大国工匠节目中讲述了王进利用“秋千法”在 1000kV 的高压线上带电作 业的过程。如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮上。另一绝缘轻绳 跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓 慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处。绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质 量为m， 不计一切阻力， 重力加速度大小为g。 关于王进从C点运动到E点的过程中， 下列说法正确的是 （ ） A. 工人对绳的拉力一直变大 B. 绳OD的拉
12、力一直变小 C. OD、CD两绳拉力的合力大小等于mg D. 当绳CD与竖直方向的夹角为时，工人对绳的拉力为 【参考答案】CD 【名师解析】 对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示，绳 OD 的拉力为 F1，与竖直方向的夹角为，绳 CD 的 拉力为 F2，与竖直方向的夹角为 。由正弦定理可得，=，王进从C点运 1 sin F 2 sin F 动到E点的过程中， 增大，F1增大，减小，F2减小，选项 AB 错误；两绳拉力的合力大小等于 mg，选 项 C 正确；当绳CD与竖直方向的夹角为 =时，=30，2F2cos30=mg，可得 F2=mg，即工人对 绳的拉力为，选项 D 正确。 【关键点
13、拨】对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析，根据几何关系结合平衡条件进行解答。本题主要 是考查了共点力的平衡问题，解答此类问题的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、利用平行四边 形法则进行力的合成或者是正交分解法进行力的分解，然后在坐标轴上建立平衡方程进行解答。 9.（江西师范大学附属中学 2018 届高三最后一卷）如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定 支架 BC 为质量不计的轻杆，杆的一端 C 用较链固定在支架上，另一端 B 悬挂一个质量为 m 的重物，并用钢 丝绳跨过滑轮 A 连接在卷扬机上.开始时，杆 BC 与 AC 的夹角BCA90，现使BCA 缓缓变小，直到 BCA
14、=30.在此过程中，杆 BC 所受的力（不计一切阻力） （ ） A. 逐渐增大 B. 先减小后增大 C. 大小不变 D. 先增大后减小 【参考答案】 C 【名师解析】以结点 B 为研究对象，分析受力，作出力的合成如图所示。 【点睛】本题运用三角相似法研究动态平衡问题，直观形象，也可以运用函数法分析研究 二、解答题 1如图所示，一个重为 G 的小球套在竖直放置的光滑圆环上，一个劲度系数为 k，自然长度为 L（L 小于直 径）的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点 A 点，小球处于静止状态，弹簧与竖直方 向的夹角，求圆的半径。37 【参考答案】 5 8 LG k 【名师解析】以小球为研究对象，分析受力情况，作出力图根据平衡条件，运用三角形相似法得到弹簧 的弹力大小，再由胡克定律和几何知识求出。 以小球为研究对象，受力分析图 由图看出，力的三角形BCD 和AOB 相似，设 AB 长度为 l 由三角形相似可得 解得 mgl F R 由胡克定律有 而2 coslR 联立解得 5 8 LG R k