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1、分形几何与分形花形的迭代函数系统方法 柯福军张方强 ( 浙江大学电气工程学院，杭州，3 1 0 0 2 7 ) 摘要：介绍分形几何生成汁算机图形的基本方法，在阐述迭代函教系统I I E 方法生成分形图形原理的基础上，讨论甘形| 主I 形算法 的实现方法、参数c 对分形图形的影响及分形理论在纺织品花形设计中的应用。 美麓词：分形分形图形分形花形选代函数花形设计 中圈法分娄号：1 s1 0 5 “文献标识码： 法国数学家M a n d e l b m t 于2 0 世纪7 0 年代创立 的分形几何学，以独特的方法解决整体和部分的关 系，以分数维为基础，利用空间结构的对称性、自相 似性以及各种真实图
2、像的仿真模型，产生各种细节 呈现无穷回归性、色彩丰富、具有奇妙艺术创意的图 像。这r 一被认为是大自然的几何学的分形几何既可 以用来描述那些不规则而欧氏几何又无法描述的几 何现象和物体，又可以创造出很多欧氏几何无法 描述的美妙新颖的图像，开始成为纺织品花形设计 的一种新手段。 利用传统的c A D 技术设计花形时，依据欧氏几 何和微分几何生成图像的技术，不足以用来逼真地 描绘变化万千的自然界，因为传统的基于点、线、弧 的几何模型没有反映客观世界所固有的岛相似性和 无限可分性的特点，而这一点恰好属于分形几何的 范畴。 1 利用迭代函数系统I F s 方法生成图形 I 飓( 迭代函数系统) ”1
3、的基本出发点是：在仿射 变换下，分形集的整体与局部、局部与局部具有自相 似结构，从而选定若干个把整体压缩到局部、局部变 换到局部的仿射变换进行随机迭代，得到各种各样 的分形集。 例如，J u l i a 集I ”由一个二次复变函数迭代生成， 来自非线性映射x x 2 + c 。在复平面上，可以表 示为： z 川= + c ( n = 0 ，l ，2 ，) 式中z 和c 为复数。 对于上述的复迭代过程，分离z 及c 的实部和 虚部，记为： z = x + i y ，c = p + 由 相应地，第 个点缸意味着平面上的点( 札， n ) ，从“到钆+ 的迭代过程为： z 。，= x ：一y ：+
4、P，、 ( I ) 【n + l = 2 。y + q J u l i a 集是将c 值固定，即p 和口保持为常数， 让z 作为原始点通过迭代而牛成新的= 。以此循环， 每选定一个c 值，就可以在复平面上生成一幅新的 计算机图形。其牛成算法步骤如下： 第一，固定参数c ，即p 和q 的值，选定z 。， x 。y 。和图像显示区域的长。、宽6 及最大 迭代步数J 】、r ，并选定一个用以判断是否趋于无穷的 较大的实数_ 】l ，。 第二，令x = ( x 。一x 。) ，( 一1 ) y = ( h 。 一y ) ，( 6 1 ) ，对显示区域内的所有点，按序执行 下面的循环操作。 第= ，令z
5、 o2W 。+ * * ，2y 。+ y “y ， 循环步数A 赋初值O 。 第四，由迭代公式( 1 ) 从( z 。，y 。) 计算出( 扎 y 。) ，并令 = + 1 、 第百，计算当前点的模，= z ：+ ，+ y ：判断是 否超过预设的值村，如果r M ，则该点经过迭代后 发散，即趋向于无穷定常吸引子；此时根据值将 该点以一定的颜色显示在屏幕上，并退出本次循环， 进入下一个点的循环迭代；如果r M ，且 、v ，则 返回第四步骤，继续进行本次循环；如果r 肘，月女 = w ，则选择某一特定的颜色，将该点显示在屏幕 上，并结束本次循环，进入下一点的循环迭代。 高阶J u l i a 分
6、形刚形的绘制算法原理同七，只需 根据选定的阶数将迭代公式做相应的改变。 2 基于分形理论的纺织品花形设计 将迭代函数系统产生的图形应用到纺织品花形 设计中产生分形花形，关键要解决两个问题。第一 是颜色聚类问题。计算机生成的图形可以达到真彩 色的水平，而纺织品的花形图案中只有有限的几种 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 颜色。第二个问题是基于迭代函数系统生成的图形 与参数的选择有关，具有很大的随机性，因而必须找 到参数的选择与产牛的图形形状的对应关系。
7、否 则，利用分形几何设计的花形就是毫无规律的“涂 鸦”，得不到预想的花形图案。 关于颜色聚类问题，可以利用一种简单的算法 分别假设为红、绿、蓝、白和黑色，将第一步骤中最大 执行步数五等分，若实际执行步数落在某一区；蒜勰矗i i 揣淼* 。“”5 。“6 “” 显示出来就可得到一幅颜色数不超过5 的彩色图 围1 用8 。灿编程方法得到的分形图 图形形状的控制问题中指出如果复数c 是实 。竺下足经过大量试验得出的关于参数c 的取 轴对称，则生成的图形为虚轴对称。 但范围： 一， ，即：黧= 曼黑一憎鼍誉等摸置罢描巍 ( ，) 是混沌吸引子，则对于“，点( z ；，矗) 也一 ；：o2 二 一o 7
8、 2 5 ：o 3 7 8 j ： 定是混沌吸引子。其中，z ：= 一* 。，y ：2y 。 j ：o 3 ，； 一o 6 8 5 ，o 3 6 8 ； 证明：对于c ，由混沌吸引子的定义町知，点 口：0 4 p 一0 6 2 1 ，0 3 2 8 ； ( ，) 经过一定次数的迭代后，其模值趋于一个常 ：05 ，p 一O 5 3 0 ，0 3 1 4 ； 数。根据迭代公式( 1 ) ，有： q = o 6 ，p 一o 5 2 0 ，O 1 3 5 ； z = z ：一，：+ p ，y - = 2 。h + 9 g ：o7 ，p 【一o 2 1 4 ，o 0 4 ； 而对于c ：，有： q =
9、O 8 ，p 一0 2 2 1 ，一o 0 4 7 ， x ：= z ? 一y + p ，y j = 2 x ：y ：+ q 因为z ：= 一“。，：= y 。，所以z ：= * ，y ：= 一 y ，；将所得的结果代人，进行第二次迭代可得：* ：= * 。，y ：= 一y 2 ；类推可得：x ：= 札，y ：= 一儿。 即不管经过多少次迭代，它们的模是相等的，也 就是说具有相同的收敛性。所以，对于c ，若点 ( z 。，y 。) 是混沌吸引子，则对于c ：，点( * ；，y ：) 也是 混沌吸引于。反之，同样可以证明如果( m 。，v 。) 是定 常吸引子，则点( z ：，y ：) 也是定常
10、吸引子。 根据上述算法，若对于c ，点( * 。，y 。) 在屏幕上 屁示，则对于c ：，点( z ：，“) 也在屏幕上显示，反之 也成立，所以结论成立。 这一结论亦可从下述实验取得。以实轴为对称 轴选取一组c 值，用d e l p h i 编程方法可得图1 的分 形图。 显I f 易见，这种使用迭代两数系统方法生成的 图形，肖复数c 以实轴为对称轴时关于虚轴对称。 另外，参数c 的选择也有一定的规律可循：只有在 定的范围内，才能得到相应的分形图。 显然，对应q 的上述各值，则P 在相应范围内 取值时都可以得到分形图；而当g = O9 时，p 不管 在什么范围内取值都得不到分形图。 如上所述，
11、当g 增加时，P 取值的区间长度大体 上是缩小的。还可以证明，随着口的增加，区间基 本上是嵌套缩小的。此外花形的变化也不是毫无规 律，而具有一定的变化趋势。 3 结束语 利用分形几何的自相似、结构精细、复杂和可迭 代的特点，结合传统纺织品花形设计方法，可以快速 生成各种精美的、令人叹为观止的分形图形，从而满 足人们对纺织品图案个性化及多样性的要求。 参考文献 1 东旭分形致其计算机生成北京：科学出版社，1 9 9 6 ：5 3 7 5 2 王东生等混沌、分形受其应用合肥中国科学技术大学出版 社1 9 9 5 ：1 9 3 、2 1 4 3M 8 n d e l 啪tB BT hF h c 山G t 丌斫N a c 帆S m lF 、“ s l 呲 n WJ 1 9 8 2 ：l 12 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark