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1、收稿日期: 2005 - 01 - 09 作者简介:张鸣,在读博士生,主要从事超精密运动定位系统 结构设计及动力学研究 1E2mail: z m01mails1tsinghua1edu1cn1 基于FE MLAB的气浮轴承静态性能求解方法 张 鸣 朱 煜 段广洪 (清华大学 北京100084) 摘要:研究了利用商用有限元软件FE MLAB进行气浮轴承静态性能分析的方法。该方法基于雷诺方程求解,既避 免了其它商用流体软件进行气浮轴承性能分析时的低效率问题,又避免了手工编程计算中存在的编程困难、对轴承形式 适应性差的问题;而相对于工程中常用的经验公式解析算法,该方法的计算精度很高。因此该方法在科研
2、和工程领域都 有很高的应用价值。 关键词:气浮轴承;有限元法;FEMLAB;雷诺公式 中图分类号:TH133135 文献标识码: A 文章编号: 0254 - 0150 (2006) 2 - 063 - 3 A NewMethod Based FE MLAB to Predict Static Performance of Air Bearing Zhang M ing Zhu Yu Duan Guanghong (Tsinghua University,Beijing 100084, China) Abstract:A new method based FEMLAB was develope
3、d to predict static performance of air bearings . The method gets bearings performance by solving nonlinear Reynolds equation,which avoids the low efficiency of using commercial CFD software to solve air bearing aswell as the difficulty of programming to solve it . While comparingwith engineeringmet
4、hod, the new method has high precision. So the method has value both in science research and engineering development . Keywords:air bearing; finite element method; FEMLAB; Reynolds equation 气浮轴承以其固有的无摩擦、低功耗、清洁等优 异的性能被广泛应用于精密、超精密加工、计量行 业。近10年来,作为超精密制造行业代表之一的集 成电路( IC)制造业突飞猛进,为气浮轴承的应用 开辟了一片更为广阔的天地。 气浮
5、轴承的性能极大地影响着应用这种轴承的精 密加工和计量设备的性能。而同时,这种轴承的结构 形式繁多,工作原理差异较大,影响轴承性能的参数 众多,这些因素限制了气浮轴承技术的发展和应用。 因此,如何提高轴承性能,研究更高效、更准确、更 实用的分析设计方法一直是国内外很多学者的努力方 向。 1 常见的气浮轴承解算方法 从目前的研究成果来看,气浮轴承的分析方法可 以分为两类:一类是基于雷诺方程的解析解法,另一 类是基于雷诺方程或流量连续方程的数值解法。前者 为便于计算通常对雷诺方程进行一定的简化,通过将 二维方程化简为一维进行求解。这一过程对于结构形 式对称的轴承尚能够保持较高的计算精度,否则精度 较
6、差,只能用于工程设计初期的一些大致预估。也有 一些学者尝试不进行降阶求解,但推导过程过于繁 琐,对于不同形式轴承需要重新推导,效率低。 随着计算机技术的飞速发展,基于雷诺方程或流 量连续方程的数值解法渐渐成为求解气浮轴承的主流 方法。而数值解法又因求解工具不同可分为两类:一 类通过商用有限元软件直接求解,另一类为研究者手 工编程求解。 在没有专门针对气浮轴承求解的商用软件包的情 况下,手工编程是目前最主要的求解方式。其中较为 常见的数值算法有有限差分法、有限元法和流阻网络 法,还有一些非主流算法诸如多重网格法、边界元 法、CE/SE法等等。这些方法除流阻网络法是通过 求解流量连续方程对轴承性能
7、进行计算以外,其余方 法均以雷诺方程作为求解对象,只是在数值算法上存 在差异。 由于非主流算法的应用暂时还有很多诸如几何形 状、工况等的限制,难以推广,这里只讨论主流编程 方法。主流编程方法存在的主要问题在于其适应性较 差。这主要是由于气浮轴承的结构形式差异很大,导 致其数学模型及边界条件有很大的不同。编程者必须 针对不同形式的轴承编制不同的程序,这无疑加大了 该方法的应用难度。同时手工编程对于编制者的数学 2006年2月 第2期(总第174期) 润滑与密封 LUBRICATI ON ENGI NEERI NG Feb12006 No12 ( serialNo1 174) 1994-2006
8、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/ 素养和计算机应用水平要求较高,不利于该方法在大 量的工程性项目中应用。 商用流体有限元软件在进行气浮轴承求解时采用 直接求解法,即不是求解雷诺方程,而是直接求解纳 维-斯托克斯方程和连续方程,其特点是精度高,但 由于气浮间隙极小,在划分网格上往往非常困难。由 此带来的巨量的网格导致计算效率低下。FEMLAB软 件的出现使这一问题得到了较好的解决。 FEMLAB软件是由MATLAB软件中的PDE Tool Box工具箱发展而来的,实质上是
9、一个偏微分方程求 解工具,其解法采用有限元方法,其优点在于高度的 灵活性、强大的求解器和较高的计算精度。采用 FEMLAB进行求解只需要将求解对象数学模型的解析 形式输入软件,指定边界条件并划分网格后就可以进 行求解。此外,由于FEMLAB是一款成熟的商用软 件,具有强大的后处理功能,能够对结果数据进行各 种形式的处理并绘制图像,便于研究人员对结果的分 析。 由于FEMLAB是从MATLAB中的Tool Box发展 而来。它保留了同MATLAB之间的完善的接口。这 就为用户的应用提供了更大的灵活性。特别是在进行 气浮轴承的求解过程中,这一功能更是体现出其优越 性。 本文作者研究了利用商用有限元
10、软件FEMLAB 进行气浮轴承性能分析的方法。 2 基于FEMLAB的气浮轴承性能求解过程 图1 矩形止推轴承 鉴于小孔节流型 矩形止推气浮轴承在 工业领域的广泛应用, 本文以这种形式的气 浮轴承作为例子说明 FEMLAB在气浮轴承 求解中的用法。图1 为具有一个节流孔并带有均压槽的矩形止推轴承,这 种轴承广泛应用于精密直线运动系统当中。 9 9x (h 39p 2 9x )+ 9 9y ( h 39p 2 9y )=249(ph) 9t + 12 9 9x p( u2+u1 ) h +12 9 9y p(v2+v1 ) h (1) 上式就是描述气浮轴承气膜间隙中气体压力、运 动速度、气体参数
11、以及轴承间隙之间关系的数学模 型,通常称之为雷诺方程,它是气体静压润滑的基本 方程。式中,p为气膜间隙中的压强分布,h为气膜 厚度,u1,v1为机座沿x、y方向的运动速度,u2,v2 为工作台沿x、y方向的运动速度。式中右端第一项 描述了与轴承表面垂直方向的挤压运动,成为挤压 项;第二、三项是由轴承表面与气体之间的滑动引起 的,叫做滑动速度项。 对于应用在精密和超精密定位系统的空气轴承而 言,式(1)可以作一定的简化。一般讲,工作台机 座静止不动 ( u 1=v1=0 ) , 轴承不旋转,工件台沿某 一方向(x)作直线运动 (u 2=U, v2=0)故: 9 9x (h 39p 2 9x )+
12、 9 9y ( h 39p 2 9y )=249(ph) 9t + 12U 9( ph) 9x (2) 纯挤压 9 9x (h 39p 2 9x )+ 9 9y ( h 39p 2 9y )=249(ph) 9t (3) 静态 9 9x (h 39p 2 9x )+ 9 9y ( h 39p 2 9y )=0(4) 本文研究空气轴承的静态性能,因此求解对象为 公式(4)。 气体静压润滑基本方程(4)的边界条件为: (1)在气体排入周围环境的边界上: 排入大气p=pa=常数(5) (2)在节流孔的边界上: 压强 p=po(6) 式中:po为节流孔出口压强。 (p o)= 2k k- 1 po p
13、s 2/k - po ps k+1/k p o ps 2 k+1 k/ (k- 1) 2k k+1 2 k+1 2/ (k- 1) p o ps 2 k+1 k/ (k- 1) (7) 小孔流量: Qm= CoAops RTo ( p o) (8) 式中: Co为流量系数,Ao为节流面积,ps为供气压 力,k为绝热系数。 小孔节流面积: Ao=r 2 s (9) 一般计算时,流量系数取值 Co=018(10) 图2 小孔节流的一般形式 如图2所示。在求解这种 类型的气浮轴承时,由于 节流孔出口的压强po未 知,因此无法求得气膜间 隙内的压强分布。这时就要应用流量连续条件 即 从节流孔流入的质量
14、流量等于从气浮轴承流出的质量 流量,并进行迭代求解。具体过程如下。 46润滑与密封总第174期 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/ 由于环境压力、环境温度、供气压力和气膜间 隙已知,可以指定节流孔出口压强po的初始值,根 据此值求解雷诺方程并得到气膜内的压强分布,进而 由所得的压力分布根据下式计算气浮轴承出口的质量 流量: wout= h 3 12 a 0 9p 9y y =0 + 9p 9y y =b dx+ b 0 9p 9x x =0 + 9p
15、9x x =a dy a (11) 而由节流孔流入的质量流量为 wout=NQm(12) 式中N为气浮轴承节流孔的个数。在迭代得过 程中,不断比较流入的流量和流出的流量,并根据二 者的差值调整po的值直至满足wout=win,此时求得的 压力分布即为该工作间隙下气膜内的压强分布,将这 一压强分布在工作区域内积分,即可求得该间隙下轴 承的承载能力。 利用FEMLAB进行气浮轴承求解的过程同一般 的有限元软件相似,主要差别在于求解前需要将求解 域的控制方程(本例中为雷诺方程)赋予软件,然 后进行几何建模,划分网格,求解和后处理。 在FEMLAB中已经内置了一些常见物理现象的 数学模型,如流体、电磁
16、场等,没有内置雷诺方程的 数学模型。但提供了基于公式( Equation Based)的 通用数学模型。 da 9u 9t + (-c u-u+)+ u+u=f(13) n ( c +u-)+qu=g-h T (14) hu=r(15) 式(13)(15)是FEMLAB提供的系数形式 的通用偏微分方程形式。其中式(13)为求解域的 控制方程;式(14)、(15)为求解域的边界条件, 其中式(14)为尼曼条件,式(15)为狄立赫里条 件。 针对气浮轴承的静态解,除 “c”需要赋值外,其 余系数均为零。而尼曼条件自动满足,只需要满足狄 立赫里条件。一般h取1,r是进口和出口的压强值。 由于雷诺方程
17、的非线性,因此在求解器的选择 上,需要选择FEMLAB提供的静态非线性求解器。 图3 在具体利用 FEMLAB求解的 过程中,由于在 FEMLAB中无法 利用流量连续条 件 进 行 迭 代 判 别,因此只用它求解雷诺方程。由于FEMLAB同 MATLAB之间存在完善的接口,因此它可以直接将求 解过程生成MATLAB代码。在这些代码的基础上, 可以在MATLAB中添加流量连续判别条件,从而最 终完成轴承的求解。图3为划分网格后的轴承和最终 求得的压力分布。根据压力分布通过积分可以求得轴 承的承载能力,采用同样的方法可以继续求得不同间 隙的承载能力,进而得到轴承的刚度。这样就完全地 获得了轴承的静
18、态性能。 3 实验验证 图4 笔者将这一方 法运用在自行设计 并 制 造 的 高 速 ( 400 mm /s)、高 精度(重复定位精 度10 nm)直线气 浮运动系统气浮轴 承的静态求解中, 并通过实验进行了验证,图4为直线气浮运动系统和 实验测量装置。实验结果同仿真分析显示出非常好的 一致性。 4 结论 采用FEMLAB能够实现快速的气浮轴承静态性 能求解,并且可以获得相当高的精度。完全可以满足 高性能气浮直线运动系统中气浮轴承静态性能的设计 计算,是进行气浮系统设计的优秀工具。 参考文献 【1】潘晋 1精密工作台气体静压轴承的研究D 1北京:清 华大学, 19891 【2】张静文,张君安,
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