《张量及应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《张量及应用.pdf（133页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、张量分析及其应用 第一章 张量代数 第二章 张量分析 第三章 张量应用 1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标 第一章 张量代数 = = += n 1k kk n 1j jj n 1i ii 2211 xaxaxa xaxaxaS nn 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： 每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求 和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑 标。 于是 kk or jj or ii xaxaxaS= iii xba 是违约的，求和时要保留求和号 = n 1i iii xba n 表示空间的
2、维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题 332211ii xaxaxaxa+= 332211jj bbbb+= 332211mm e e e ee e e ee e e ee e e ecccc+= 双重求和 = = 3 1i 3 1j jiij xxaS 简写成 jiij xxaS= 展开式（9项） 313321321131 322322221221 311321121111 xxaxxaxxa xxaxxaxxa xxaxxaxxaS + + += 三重求和（27项） kk xxxaxxxaS jiijk 3 1i 3 1j 3 1k jiijk = = jiji xax= 1.1.
3、2 自由指标 例如 指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写： 3132121111 xaxaxax+= 3232221212 xaxaxax+= 3332321313 xaxaxax+= jiji e e e ee e e eA= 3132121111 e e e ee e e ee e e ee e e eAAA+= i 为自由指标，j 为哑标 表示 3232221212 e e e ee e e ee e e ee e e eAAA+= 3332321313 e e
4、e ee e e ee e e ee e e eAAA+= jiji e e e ee e e eA= 3132121111 e e e ee e e ee e e ee e e eAAA+= i 为自由指标，j 为哑标 表示 3232221212 e e e ee e e ee e e ee e e eAAA+= 3332321313 e e e ee e e ee e e ee e e eAAA+= jkikij BAC= 1313121211111k1k11 BABABABAC+= i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程： 2313221221112k1k12 BABABABAC+
5、= 3313321231113k1k13 BABABABAC+= 1323122211211k2k21 BABABABAC+= 3333323231313k3k33 BABABABAC+= 例外： 111 ECR= 222 ECR= 333 ECR= iiiii ECECR= 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。 规定： 这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。 又如，方程 333222111 2 3 2 2 2 1 +=+ 用指标法表示，可写成 iiiiiiiiiii = i 不参与求和，只在数值上等于 i
6、 1.2 Kronecker 符号 在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为： = = ji, 0 ji, 1 j i = 100 010 001 333231 232221 131211 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确 定一单位矩阵： j i 若 j iji =e e e ee e e e 321 ,e e e ee e e ee e e e是相互垂直的单位矢量，则 3 332211ii =+=e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e ，但 3 332211i i =+=而，故 i ii
7、i =e e e ee e e e 注意：3 i i = i i 是一个数值，即 j i 的作用：1）换指标；2）选择求和。 例1： ki AA kkkkiik AAA= 思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示 例2： j ijk TT j ij ii ijkki TTT= 例3： jnim BA nm = 个 数， 项的和。 jmimjninjnimnm BABABA= 813, 4 = 求 特别 地， j ijkki = mimjjkki ,= 1.3 置换符号 = , 0 , 1 , 1 kj i e i, j, k, 为1，2，3的偶排
8、列 i, j, k, 为1，2，3的奇排列 i, j, k, 不是1，2，3的排列 例如：1 312231123 =eee 1 132213321 =eee 0 232121111 =eee 可见： i jkjkiki jj ikikjkj i eeeeee= kj i e 也称为三维空间的排列符号。 321 ,e e e ee e e ee e e e若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量 kkj iji e e e ee e e ee e e ee= 则 常见的恒等式 nkmklk njmjl j nimil i nmlkj i =ee l jmimjl ikmlkj i =ee l ikj
9、lkj i 2=ee ! 36 kj ikj i =ee ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) 证明： 333231 232221 131211 nmlkj i nkmklk njmjl j nimil i AAA AAA AAA ee AAA AAA AAA = 令 即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。 指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零 二维置换符号 33 j i eee= 其中 , 0 2211 =ee1 2112 =ee 从三维退化得到 e )2, 1,(= 有下列
10、恒等式 =ee , =ee! 22 = ee 关键公式： nkmklk njmjl j nimil i nmlkj i =ee 100 0 0 mjl j mil i 33m3l3 3 jmjl j 3imil i 3ml3 j i =ee = e e 二维关键公式： = e e = ee 2 = =22ee = e e =44 2 2 224= 1.4 指标记法的运算 mmii mmii cVb bUa = = 1.4.1 代入 设 (1) (2) 把（2） 代入（1） mmii cVb= m n or else nnmm cVb= nnmmii cVUa= 3个方 程，右边 为9项之 和
11、1.4 指标记法的运算 mm mm bVq aUp = = 1.4.2 乘积 设 则 nnmm bVaUqp= 不符合 求和约 定 mmmm bVaUqp 1.4 指标记法的运算 0 ijj i =nnT 1.4.3 因式分解 考虑 第一步用 i n表示 j n jj ii nn= j i , 有换指标的作用 所以 0 jj ijj i =nnT 即 0)( jj ij i =nT 1.4 指标记法的运算 j ij ikkj i 2EET+= 1.4.4 缩并 使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系 i ikki ii ikki i 232EEEET+=+= i
12、 ii i )23(ET+= 缩并 哑标与求和无 关，可用任意 字母代替 为平均应力应变之间的关系 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程： 其普通记法 0 i i = x U 0 3 3 2 2 1 1 = + + x U x U x U 0 z y x = + + z U y U x U 或 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程： 写出其普通记法 jj i i i j i j i xx )( + = + U x p
13、b x U U t U 1.4 指标记法的运算 1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程： 写出其指标记法 0 xz xy xx =+ + + x b z T y T x T 0 yzyyyx =+ + + y b z T y T x T 0 zz zy zx =+ + + z b z T y T x T 1.5 张量的定义 1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 旧坐标系： 新旧基矢量夹角的方向余弦： 321 xxxO单位基矢量： , 321 e e e ee e e ee e e e新坐标系：单位基矢量： 321 xxxO , 321 e e e e
14、e e e ee e e e j ijijijiji ),cos(),cos(| | =e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e e 1.5.1 坐标系的变换关系 旧 新 1 e e e e 2 e e e e 2 e e e e 1 e e e e 2 e e e e 3 e e e e 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 3 2 3 3 jijij i ),cos(e e e ee e e ee e e ee e e e= 图解（二维）： , jj 122 111 11 e e e ee e e ee
15、e e ee e e e=+= 2, 1j cos j 1j 1 = = 在解析式中记： 1.5.1 坐标系的变换关系 = 3 2 1 331313 322212 312111 3 2 1 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e iiii e e e ee e e e = 从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量 （对 i 求和，i为自由指标） 1.5.2 标量（纯量 Scalar） ),(),( 321321 =xxxxxx 在坐标变换时其值保持不变，即满足 如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？ 1.5.3 矢量（V
16、ector） , 321321 aaaaaa 设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为 即 iiii ,ae e e ea a a ae e e eaa= iiiii e e e ee e e ee e e ea a a a= aa iiii aa = iiiiiiii e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ea a a a= aaa iiii =aa （对 i 求和） （对 i 求和） 满足以下变换 关系的三个量 定义一个矢量 i a 1.5.3 矢量（Vector） iiii aa =iiii =aa kkiiii aa = 哑标换成 k kkiii
17、kki aa = 比较上式两边，得 kiiiki = 即该变换是正交的 1.5.4 张量（Tensor） 对于直角坐标系 j ijjiiji TT = j i T 321 xxxO，有九个量按照关系 变换成 321 xxxO 中的九个量 j i T 则此九个量定义一个二阶张量。 将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变 换系数） iiii aa = j ijjiiji TT = 1.6 张量的分量 设e e e ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量， a a a a为任一矢量，其分量为ai，于是 iie e e e a a a aa= a a a ae e e ee e e ea a a a
18、= iii a 对于一个二阶张量T T T T，它可以将a a a a变换成 另一个矢量b b b b，即 jij i e e e eT T T Te e e e=T称为二阶张量T T T T的分量 令 jij i e e e eT T T Te e e e=T 可理解为矢量T T T T e e e ej在e e e ei上的分量，即 ij ij e e e ee e e eT T T TT= 因此，有下面三种等价的表达式： a a a aT T T Tb b b b= jj ij iji aTTab= = 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 a a a TTT
19、 TTT TTT b b b 333231 232221 131211 TTT TTT TTT 其中 称为在基矢量组e e e e1, e e e e2, e e e e3下二阶 张量 T T T T 的矩阵。 注意：矢量 a a a a、b b b b 及张量T T T T本身与 坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e e e e1, e e e e2, e e e e3与坐标系 相关。 1.7.1 张量的加法和减法 设T T T T、S S S S均为二阶张量，将它们 的和、差用下式表示： S S S ST T T T 仍为二阶张量。 若a a a a为一矢量，则 a
20、 a a aS S S Sa a a aT T T Ta a a aS S S ST T T T= )( 其分量为： j ij i jiji jij i )()( ST= = = e e e eS S S Se e e ee e e eT T T Te e e e e e e eS S S ST T T Te e e eS S S ST T T T 其矩阵形式为： S S S ST T T TS S S ST T T T= 1.7.2 张量和标量的乘积 设T T T T为二阶张量， 为一标量，它 们的乘积记为 ，则 T T T T T T T TT T T T= 仍为二阶张量。 因为根据坐标变
21、换，有 = j ij ji ij i TT = j ij ji ij ij ji ij ij ji ij i TTTT = 可见， 为二阶张量。 T T T T 1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a a a a 和矢量 b b b b 的并矢积 ab ab ab ab 定义为 按下列规则变换任意矢量的变换： c) c) c) c)(b(b(b(ba a a ac c c c(ab)(ab)(ab)(ab)= 二阶张量 一阶 零阶 关于是二阶张量的证明： 即证明 满足张量的定义： 是一个线性变换。 abababab abababab 设有任意矢量 ，及标 量 ，则由并矢积定义 d d
22、d dc c c c, )()(d d d dc c c cb b b ba a a ad d d dc c c c(ab)(ab)(ab)(ab)+=+ )()(d d d dc c c cb b b ba a a ad d d dc c c c(ab)(ab)(ab)(ab)+=+ )()()()(d d d db b b ba a a ac c c cb b b ba a a ad d d db b b bc c c cb b b ba a a a+=+= d d d d(ab)(ab)(ab)(ab)c c c c(ab)(ab)(ab)(ab)+= 可见： 满足张量的定义。 abab
23、abab 关于基矢量组 的分量： abababab, 321 e e e ee e e ee e e e )()()()( jijijij i ba a a ae e e ee e e eb b b ba a a ae e e ee e e eababababe e e eabababab= jiji )(bab=a a a ae e e e 有些文献把 写成 abababab jij ij i )()(ba=b b b ba a a aabababab abababab矩阵形式： 321 3 2 1 332313 322212 312111 bbb a a a bababa bababa b
24、ababa = =abababab 基矢量 的并矢积： 321 ,e e e ee e e ee e e e = = 000 000 001 001 0 0 1 11e e e e e e e e = = 000 000 010 010 0 0 1 21e e e e e e e e = = 000 001 000 001 0 1 0 12e e e e e e e e = = 000 000 100 100 0 0 1 31e e e e e e e e = = 100 000 000 100 1 0 0 33e e e e e e e e 于是，二阶张量 可以表示成 ：T T T T )(
25、)()( 333321121111 e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eT T T TTTT+= jij i e e e ee e e eT T T TT= 即 这种并矢记法可以推广到任意阶 张量，例如三阶张量 ： A A A A kjikj i e e e ee e e ee e e eA A A AA= 一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量 可用上述并矢记法表示基张量： n21n21 iiiiii e e e ee e e ee e e ee e e e = jij i e e e ee e e ee e e e = i e e e e 一阶
26、张量 二阶张量 n 阶张量 iie e e e a a a aa= j ij i e e e eT T T TT= 于是，有 n21n21 iiiiii e e e eT T T TT= 等号右边称为广义标量记法。 到此为止，我们已有四种张量记法： 不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法 T T T T j i T jij i e e e ee e e eT j ij i e e e eT 第二章 张量分析 2.1 标量的张量值函数的导数 t ttt t t + = )()( lim d d 0 T T T TT T T TT T T T tttd d d d d
27、)d(S S S ST T T TS S S ST T T T = 自变量是标量，函数是张量，如 T T T T=T T T T(t)，则 （设T T T TS S S S是有意义的） tttd d d d d )d(T T T T T T T T T T T T += tttd d d d d )d(S S S S T T T TS S S S T T T TS S S ST T T T += tttd d d d d )d(a a a a T T T Ta a a a T T T Ta a a aT T T T += T T d d d d = tt T T T TT T T T 2.1
28、标量的张量值函数的导数 （ 是标量） （a a a a 是矢量） 直接根据导数的定义证明上述公 式，例如 ： t ttttt t ttttttt t tttttt t t t t + + + = + = )()()()( lim )()()()( lim )()()()( lim d )d( 0 0 0 a a a aT T T Ta a a aT T T T a a a aT T T Ta a a aT T T T a a a aT T T Ta a a aT T T Ta a a aT T T T tt t ttt t tt t ttt t t d d d d )()( lim)( )(
29、)()( lim 0 0 a a a a T T T Ta a a a T T T T a a a aa a a a T T T T a a a a T T T TT T T T += + + + = 此外，在直角坐标系中 t T td d d d j i j i = T T T T ji j i d d d d e e e e T T T T e e e e T T T T = tt 0 0 0 0 e e e e e e e e = ttd d d d j i j i jiji j i d d d d )( d d d d = tttt T T T T T e e e e T T T T
30、e e e ee e e eT T T Te e e e 且 例题：设 为二阶正交张量， 证明 是一个反对称张量。 )(tQ Q Q QQ Q Q Q = T d d Q Q Q Q Q Q Q Q t 证： I I I IQ Q Q QQ Q Q Q= T 0 0 0 0 Q Q Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q =+ ttd d d d T T ， T T d d d d Q Q Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q= tt 即 （1） T T T T d d d d d d = =Q Q Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
31、 Q Q Q Q Q ttt （2） 比较(1)和(2)： T T T d d d d Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q = tt 满足反对称张量 定义，证毕 2.2 梯 度 2.2.1 标量场的梯度 2.2.1 标量场的梯度 ii i i = =e e e ee e e e x 2.2.1 标量场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 矩阵形式 = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 x a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a a 2.2.2 矢量场的梯度 2.2.2
32、 矢量场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 2.2.3 张量场的梯度 2.2.3 张量场的梯度 2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度 2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度 2.3散 度 2.2.2 张量场的散度 2.3散 度 2.2.2 张量场的散度 2.4旋 度 2.4.1 矢量场的旋度 2.4旋 度 2.4.1 矢量场的旋度 2.4旋 度 2.4.1 矢量场的旋度 2.4旋 度 2.4.1 矢量场的旋度 2.4旋 度 2.4.2 张量场的旋度 2.4旋 度 2.4.2 张量场的旋度 2.5 双重微分算子 2.6 张量函数的导数 2.6.1 张量函数 自变量是张量，而函数值是标量、矢 量和
33、张量的函数，如 )(),( j i Bffff=B B B B )(),( ijkk Baa=B B B Ba a a aa a a a )(),( ijklkl BTT=B B B BT T T TT T T T 一般而言，这些 分量函数的形式 在不同坐标系中 是不同的。如果 它们对所有的正 交基都是相同 的，则称为各向 同性张量函数。 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 注意： 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 例如： 2 2112 2 12 )( 4 1 )(BBBf+= 122112 12 )( 2
34、1 BBB B f =+= 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 r ii r1 B=I I I I ， 1.7.4 张量的并积 设 分别为m和n阶张量，它们的 并积为 ，则 B B B BA A A A, C C C C )( nm1mnm1mm1m1 iiiiiiii + = e e e ee e e eB B B BA A A AC C C CBA nm1nm1 iiii + = e e e eC nm1mm1nm1 iiiiii + = BAC 可见，其结果张量 是m+n阶的。 C C C C 1.7.5张量的点积 矢量
35、a a, b b的点积： iij ijijijijjii )()()(bababababa=e e e ee e e ee e e ee e e e 换指标 1.7.5张量的点积 张量 T T T T, S S S S （设为二阶）的点积： nmjinmj inmnmjij i )()()(e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eS S S ST T T T=STST nimjnmj inmjinmj i )(e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eSTST= ninininmm
36、i )(e e e eS S S ST T T Te e e ee e e e=ST 矩阵形式： T T T TS S S ST T T TS S S S= 设 均为二阶张量，用基张量表示点 积，并证明 （作业） T T T TS S S SR R R R, T T T TS)S)S)S)(R(R(R(RT)T)T)T)(S(S(S(SR R R R= 一般地，任意个二阶张量依次点 积，结果仍为二阶张量，即 j ijqpqnmmi e e e eV V V VU U U US S S SR R R RVUSR= j ijqpqs rr i n n e e e eA A A AA A A AA
37、A A AA A A AAAAA= 张量的双重点积： 若A A A A为三阶张量，B B B B为二阶张量，则 ikjk j iinkmjnmk j i nkmjinmk j i nmnmk j ik j i )( )( : )(: e e e ee e e e e e e ee e e ee e e ee e e ee e e e e e e ee e e eB B B BA A A A BABA BA BA = = = 结果为一阶张量。 张量的双重点积： 若 S S S S，T T T T 均均为二阶张量，则 结果为零阶张量。 j ij injminmj i njminmj i nmnmj
38、 ij i )( )( : )(: TSTS TS TS = = = e e e ee e e ee e e ee e e e e e e ee e e eT T T TS S S S 1.7.6 张量的叉积 两个矢量a，b 的叉积： kjik j ijijijjii )()(e e e ee e e ee e e ee e e ee e e eb b b ba a a abaebaba= kk j iji e e e ee e e ee e e ee= 三个矢量 a a a a，b b b b，c c c c 的叉积： 已知 ，则 kjik j i e e e eb b b ba a a a
39、bae= mmkjik j i )(e e e ee e e ec c c cb b b ba a a acbae= nnmkmjik j imkmjik j i e e e ee e e ee e e eecbaecbae= nmjimjninjminmjiknmk j i )(e e e ee e e ecbacbaee= nmjimjnimjinjmi )(e e e ecbacba= nmmnmnm )(e e e ecbacba= 三个矢量 a a a a，b b b b，c c c c 的叉积： mmkjik j i )(e e e ee e e ec c c cb b b ba
40、a a acbae= nmmnmnm )(e e e ecbacba= nnmmnmm )()(e e e eacbbca= c)ac)ac)ac)a(b(b(b(bc)bc)bc)bc)b(a(a(a(ac c c cb b b ba a a a= )(即 试验证（作业）： c c c cb b b b(a (a(a(ac)bc)bc)bc)b(a(a(a(ac c c cb b b ba a a a=)( 三个矢量 的混合积： c c c cb b b ba a a a, mkmjik j immkjik j i cbaecbae=e e e ee e e eb b b bc) c) c)
41、 c)(a(a(a(aabcabcabcabc 即kjik j i cbae=abcabcabcabc 几何意义： 以 为边的棱柱体积，有向。 c c c cb b b ba a a a, 换指标 两个任意张量 的叉积： B B B BA A A A, strjirstj irstrstj ij i )()()(e e e ee e e ee e e ee e e ee e e ee e e eB B B BA A A A=BABA t skikstistkikr jrstj i e e e ee e e ee e e ee e e eCeBA= kr jrstj iksti eBAC= 1.
42、7.7 二阶张量的迹 矢量 a a a a,b 并矢 abababab 的迹定义为： iij ijijiji trbababa=e e e ee e e eb b b ba a a aabababab j ijiji tr=e e e ee e e ee e e ee e e e 任意二阶张量 T T T T 的迹： i ij ij ijij ijij i tr)(trtrTTTT=e e e ee e e ee e e ee e e eT T T T T T T T的主对角线之和。 例：在直角坐标系下，各向同 性牛顿流体的本构方程为： j ikkj ij ij i 2DDpT+= 应力张量
43、静水压力 粘性系数 变形速率张量 试写出它的不变式和迹。 j ikkj ij ij i 2DDpT+= 第二章 张量分析 2.7 曲线坐标系 在曲线坐标系中，指标有上下之分，带上 标的量为逆变量，带下标的量为协变量， 既有上标又有下标的为混合变量。 例如：坐标变量 为逆变 量，一般记为 。 , 321 xxx i x x x x 2.7 曲线坐标系 )( jii yxx= j j i i y y x xdd =， 2.7 曲线坐标系 2.7 曲线坐标系 2.7 曲线坐标系 2.7 曲线坐标系 2.7 曲线坐标系 空间曲线坐标系，由空间曲面组（坐标曲面） 的交线确定。 第二章 张量分析 2.10 协变导数，逆变导数 在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为 r r =g g g g 2.10.1协变导数 设 为任意张量，则 构成新的张量，称为 的梯度。例如 ，则 T T T TT T T T k ji k ij Tg g g gg g g gg g g gT T T T= )( k ji k ij r