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1、西 北 师 范 大 学 学 报 ( 自然科学版) 第4 2卷2 0 0 6年第3期 J o u r n a l o fN o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e) V o l . 4 2 2 0 0 6 N o . 3 收稿日期:2 0 0 5 ! 0 9 ! 1 6;修改稿收到日期:2 0 0 5 ! 1 1 ! 1 7 作者简介:黄磊 (1 9 8 0-) ,女,山东菏泽人,在读硕士研究生.主要研究方向为计算物理. *通讯联系人;E ! m a i l:s u n j a “n w n
2、 u . e d u . c n 幂级数展开法求解动脉分支 非线性血液脉搏波方程 黄 磊,豆福全,孙建安* ( 西北师范大学 物理与电子工程学院,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0) 摘 要:运用幂级数展开法求解了动脉分支非线性血液脉搏波方程,首先将其化为K d V(K o r t e w e g ! d eV r i e s) 方程和混 合的K d V ! mK d V方程( 也称为G a r d n e r方程) ,进而获得了该系统的周期波解和孤波解. 关键词:幂级数展开法;非线性血液脉搏波方程;K d V方程;混合的K d V ! mK d V方程;孤波解 中图分类号:O1 7 5 .
3、2 4 文献标识码:A 文章编号:1 0 0 1 - 9 8 8#(2 0 0 6)0 3 - 0 0 4 6 - 0 3 P o w e r s e r i e se x p a n s i o nm e t h o d s t o s t u d yn o n l i n e a rb l o o dw a v e sd u e t oa r t e r i a lb r a n c h i n g HUANGL e i,D OUF u ! q u a n,S UNJ i a n ! a n (C o l l e g eo fP h y s i c sa n dE l e c t r o
4、n i cE n g i n e e r i n g,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u7 3 0 0 7 0,G a n s u,C h i n a) A b s t r a c t:P o w e rs e r i e se x p a n s i o n m e h t o d sa r eu s e dt os t u d y n o n l i n e a rb l o o d w a v e sd u et oa r t e r i a l b r a n c h i n g,a n dg e
5、tt h eK d Ve q u a t i o na n dG a r d n e re q u a t i o n.T h e nt h ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h es o l i t a r y s o l u t i o na r eo b t a i n e d . K e yw o r d s:p o w e rs e r i e se x p a n s i o n m e t h o d;n o n l i n e a rb l o o dw a v e;K d Ve q u a t i o n;G a r d n e re
6、 q u a t i o n; s o l i t a r ys o l u t i o n 动脉分支处的血液脉搏波方程是医学中的非线 性现象简化为数学模型的一个典型实例.在动物和 人体内,血液和血管以及心脏是血液循环系统的主 要构成部分.血液作为流体具有流动特性,而血管 和心脏作为一种弹性体具有变形特征,两者合称为 流变性.血液、血管和心脏流变性的改变会导致全 身或局部血液循环障碍以及组织和器官功能与代谢 失调,从而引起炎症、变性、水肿、血栓、坏死等 一系列疾病.因此,求解动脉分支非线性血液脉搏 波方程可为医学中治疗一些动脉血管疾病提供帮 助,具有重要的实际意义.文献1 采用约化摄动 法对该
7、方程求解,得到了其近似解,但求解方法比 较繁琐.笔者采用幂级数展开法 2进行求解,使 求解过程更为简化. 1 控制方程 动脉分支处的非线性血液脉搏波方程 1,3,4 A t + ( A v) x =0, v t+v v x =- 1 8 0 p x , 8wh 2R t 2=pi n-pe- h R /. (1) 其中A为动脉血管横截面面积,v为动脉血液脉搏 波的 波 速,8 w 为 动 脉 血 管 壁 的 密 度 ( 8w=1 . 0 5 g /c m 2) , pi n为动脉血管的管中压强,pe为动脉血 管受到的外界压强,/为动脉血管壁切线方向上的 张力,h为动脉血管壁的厚度,R( x,t
8、) 为动脉血管 壁的半径. 64 2 0 0 6年第3期 黄 磊等:幂级数展开法求解动脉分支非线性血液脉搏波方程 2 0 0 6 N o . 3P o w e rs e r i e se x p a n s i o nm e t h o d s t os t u d yn o n l i n e a rb l o o dw a v e sd u e t oa r t e r i a lb r a n c h i n g 假设心脏舒张的压强为p 0,动脉血管在心脏 舒张压强下膨胀时的半径为a,血管壁的厚度为 h0,这样可以限制pe的值为:pe=p0-(h0/a)/0. 若只考虑弱非线性近似,会有
9、 A-A0=,R 2 - 0 a 2 =2 ,a(R-a). 我们定义动脉血管壁的径向伸长为1=( R-a) /a, 并设压强差p=p i n-p0.由以上关系,方程组(1) 的第三式可以化为 8wh 2 ,R0 2( A-A0) t 2 =p- h0a R2 / . (2) 其中R0为动脉血管壁的初始半径,h为动脉血管 壁的厚度, / =1 E(1+ 1) ,E为动脉血管壁的杨 氏模量,为动脉血管壁的非线性弹性系数 ( 这里 假设血管壁是不可压缩的,即R h=R0h 0). 引入无量纲化的变量: A=,a 2A , x=L x , L 2 =8wa h/2 8 0, p=p0 p , v=(
10、L/T)v , p0=E h/2a, t=T t , A0=,a 2, T2=8wa 2/ E, 可分别得方程(1) 的前两式和(2) 式的无量纲化形 式 A t + ( A v ) x =0,(3) v t +v v x =- p x ,(4) p = 2 1+A 2A t 2+ (A -1)2 ( 2-+ A ) ( 1+A ) 2 . (5) 由(5) 式可得 p x = 2A ( 1+A ) 2 3A t 2 x + 8(A -1)-4(A -1)+8 ( 1+A ) 3 A x . (6) 将(6) 式代入(4) 式可得 v t +v v x + 2A ( 1+A ) 2 3A t
11、2 x + 8 (A -1)-4(A -1)+8 ( 1+A ) 3 A x =0. (7) 2 幂级数展开法求解 下面利用幂级数展开法对方程(3) 、 (7) 进行 求解.令 A =A1+A “,v =v “, 则方程(3) 和(7) 分别化为 A “ t +A1 v “ x +A “ v “ x + v “ A “ x =0, (8) v “ t +v “ v “ x + 2(A “+A1) ( 1+A1+A “) 2 3A “ t 2 x + 8 (A1+A “-1)-4(A1+A “-1)+8 ( 1+A1+A “) 3 A “ x =0.( 9) 作行波变换 A “=A “( #)
12、,v “=v “(#) ,#=x -c t , 则 t =- cd d # , x = d d # .这样方程(8) 和(9) 可 化为 -cd A “ d # +A1d v “ d # +d ( A “ v “) d # =0,(1 0) -cd v “ d # +v “d v “ d # + 2(A “+A1) ( 1+A1+A “) 2 d 3A “ d # 3+ 8 (A1+A “-1)-4(A1+A “-1)+8 ( 1+A1+A “) 3 dA “ d # =0.( 1 1) 方程( 1 0) 两边对#积分1次,并取积分常数为零, 求得 v “= c A “ A1+A “ . (
13、1 2) ( 1 2) 式代入(1 1) 式有 d 3A “ d # 3 +F(A “) dA “ d # =0.(1 3) 其中 F(A “)=-A 1 2( 1+A1+A “) 2 2(A1+A “) 4 + 8 (A1+A “-1)-4(A1+A “-1)-8 2(A1+A “) (1+A1+A “)c 2 . ( 1 4) 这里考虑弱非线性情况(A “KA1) ,将F(A “) 作幂级数展开有 F(A “)=C1+C2A “+C3A “ 2 +O(A “ 3) .(1 5) 其中 C1= 4-2 A1c 2 - 8(-1) A1(A1+1)c 2- ( A1+1) 2 2A1 2 ,(
14、 1 6) C2= A1 2 +3A1+2 A1 3 + 74 西 北 师 范 大 学 学 报 ( 自然科学版) 第4 2卷 J o u r n a l o fN o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e) V o l . 4 2 8 ( -1) (2A1+1) A1 2( A1+1) 2 c 2 -4 -2 A1 2 c 2 , ( 1 7) C3=4 -2 A1 3 c 2-8 ( -1) (3A1 2 +3A1+1) A1 3( A1+1) 3 c 2 - 3 A1 2 +1 2A1+
15、1 0 2A1 4 . ( 1 8) 若F(A “) 的级数展开式(1 5) 式只取第一项,则 方程( 1 3) 式化为下列线性方程 d 3A “ d # 3+C1d A “ d # =0.(1 9) 若F(A “) 的级数展开式(1 5) 取到第二项,则方 程( 1 3) 化为 d 3A “ d # 3+C1d A “ d # +C2A “d A “ d # =0. ( 2 0) 这是K d V方程所对应的常微分方程. 用#=x -c t 将#换回x 和t ,可得如下K d V 方程 A “ t +C 2 C4A “ A “ x + 1 C4 3A “ x 3=0. ( 2 1) 其中 C4
16、= 8(-1) A1(A1+1)c 3+ ( A1+1) 2 2A1 2 c -4 -2 A1c 3 . ( 2 2) 若F(A “) 的级数展开式(1 5) 取到第三项,则方 程( 1 3) 化为 d 3A “ d # 3+C1d A “ d # + C2A “d A “ d # +C3A “ 2dA “ d # =0. ( 2 3) 这是G a r d n e r方程所对应的常微分方程,回带后整 理可得如下G a r d n e r方程 A “ t +C 2 C4A “ A “ x +C 3 C4A “ 2 A “ x + 1 C4 3A “ x 3=0. ( 2 4) 3 结果与讨论 对
17、于方程( 1 9) ,考虑#=x -c t ,则令 C1= 4-2 A1c 2 - 8(-1) A1(A1+1)c 2- ( A1+1) 2 2A1 2 =k 2. ( 2 5) 其中k 为波数.这样,方程( 1 9) 表 征线性波动, 并由( 2 5) 式求得线性波速满足 c 2 = ( 8-4)A1 2 +(1 2-8)A1 ( A1+1) (2k 2A 1 2 +A1 2 +2A1+1). ( 2 6) 而x正方向的线性波速为 c= ( 8-4)A1 2 +(1 2-8)A1 ( A1+1) (2k 2A 1 2 +A1 2 +2A1+1 M ) . ( 2 7) 对于方程( 2 1)
18、,如采用J a c o b i椭圆余弦函数展开 法 5可得解为 A “=c C 4+4(1-2k 2) C2 + 1 2k 2 C2 c n 2( x -c t ,k). ( 2 8) 这是一种周期解,其中k为模数( 00. 当k1时,( 3 0) 、 (3 2) 式分别退化为激波解和 孤波解 A “=- C2 2C3 - 6 CM 3 t a n hx +C 2 2 +8C3 4C3C4() t , ( 3 4) A “=- C2 2C3 6 CM3 s e c hx -4 C3-C2 2 4C3C4() t . ( 3 5) ( 下转第5 3页) 84 2 0 0 6年第3期 欧阳玉花等:
19、用多谱线法计算闪电通道等离子体温度 2 0 0 6 N o . 3 M u l t i p l e ! l i n em e t h o du s e dt oc a l c u l a t e l i g h t n i n gc h a n n e l t e m p e r a t u r e 线,则对应着通道某一高度处的确定的温度.因 此,多谱线法避免了二谱线法中的许多制约条件, 排除了不同谱线组带来的较大的不确定性,是对二 谱线法的进一步优化.所以,在利用谱线相对强度 进行闪电通道温度研究时,多谱线法是最佳的选 择. 参考文献: 1 P RU E I T T M L.T h e e
20、x c i t a t i o n t e m p e r a t u r e o f l i g h t n i n gJ.G e o p h y sR e s,1 9 6 3,6 8:8 0 3 ! 8 1 1. 2 UMAN M A.T h ep e a k t e m p e r a t u r eo f l i g h t n i n gJ. A t m o sT e r rP h y s,1 9 6 4,2 6:1 2 3 ! 1 2 8. 3 MA R S HA L L T C,RU S T W D.E l e c t r i c f i e l d s o u n d i n
21、g st h r o u g ht h u n d e r s t o r m sJ.J G e o p h y s R e s,1 9 9 1,9 6:2 9 7 ! 3 0 6. 4 MO O R E C B.O b s e r v a t i o n s o fe l e c t r i f i c a t i o n a n d l i g h t n i n g i nw a r mc l o u d sJ.JG e o p h y sR e s,1 9 6 0, 6 5:1 9 0 7 ! 1 9 1 0. 5 O R V I L L ERE.As p e c t r a l s
22、t u d yo f l i g h t n i n gs t r o k e s D.T u c s o n:U n i v e r s i t yo fA r i z o n a,1 9 6 6:2 6 ! 2 9. 6 CHUANGH u i .U n c e r t a i n t i e s i nt h em e a s u r e m e n t o f h e l i u mp l a s m at e m p e r a t u r eb yt h er e l a t i v ei n t e n s i t y m e t h o dJ.A p p lO p t i c
23、s,1 9 6 5,4:1 5 8 9 ! 1 5 9 2. 7 G R I EM H R.P l a s m a S p e c t r o s c o p yM. N e w Y o r k:M c G r a w H i l l,1 9 6 4:5 8 0. 8 UMAN M A,O R V I L L E R E.T h e O p a c i t y o f L i g h t n i n gJ.J G e o p h y s R e s,1 9 6 5,7 0:5 4 9 1 ! 5 4 9 7. 9 林美容,张包铮.原子光谱学M.北京:科学出 版社,1 9 9 0:1 4 0 !
24、 2 0 3. 1 0 袁 萍,刘欣生,张义军,等.高原地区云对地闪 电首次回击的光谱研究J.地球物理学报,2 0 0 4, 4 7(1) :4 2 ! 4 6. 1 1 袁 萍,刘欣生,张义军.闪电首次回击过程的光 谱特性J.高原气象,2 0 0 3,2 2(3) :2 3 5 ! 2 3 8. 1 2 欧阳玉花,袁 萍.广东沿海地区闪电通道的温度 特性研究J.光谱学与光谱分析( 待发表). ( 责任编辑 孙晓玲 FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF ) ( 上接第4 8页) 上述激波的振幅为-6/CM3,波速为 c=-C 2 2
25、 +8C3 4C3C4 . 孤波的振幅为6/CM3,波速为 c=4 C3-C2 2 4C3C4 . 以上求解过程具有普适性,虽然动脉各分支血 管因弹性系数等常数的不同造成流变性有所差别, 但是解的形式相同.因此在动脉的多个分支处,血 液脉搏波在不同条件下分别会以周期波、孤立波或 激波形式传入各个分支动脉血管. 参考文献: 1 DUAN W e n ! s h a n,WANGB e n ! r e n,WE IR o n g ! j u e . R e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o no fn o n l i n e a rb l o o
26、dw a v e s d u e t oa r t e r i a l b r a n c h i n gJ.P h y sR e vE,1 9 9 7,5 5 (1) :1 7 7 3 ! 1 7 7 9. 2 刘式适,刘式达.物理学中的非线性方程 M.北 京:北京大学出版社,2 0 0 0:1 5 3. 3 Y OMO S A S.S o l i t a r y w a v e si nl a r g eb l o o dv e s s e l s J.JP h y sS o cJ p n,1 9 8 7,5 6:5 0 6 ! 5 2 0. 4 P AQU E R O TJF,R EMO
27、 I S S E N E T M. D y n a m i c so f n o n l i n e a rb l o o dp r e s s u r ew a v e si nl a r g ea r t e r i e sJ. P h y sL e t tA,1 9 9 4,1 9 4:7 7 ! 8 2. 5 刘式适,付遵涛,刘式达,等.一类非线性方程的 新周期解J.物理学报,2 0 0 2,5 1(1) :1 0 ! 1 4. 6 孙建安,豆福全,段文山,等.一类非线性演化方 程的新精确周期解J.兰州理工大学学报,2 0 0 5, 3 1(5) :1 3 4 ! 1 3 7. ( 责任编辑 孙晓玲) 35