好玩的数学 幻方及其他-娱乐数学经典名题 第二版.pdf

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1、幻方及其他：娱乐数学经典名题参数幻方及其他：娱乐数学经典名题参数 基本参数基本参数 作者吴鹤龄 作译者介绍 出版社科学出版社 ISBN7030142829 出版时间2006 年4月 版次2-4 开本16开 页码398 所属分类数学数学文化史科普数学(数学猜想) 上架时间2006-5-25 丛书名好玩的数学 幻方及其他：娱乐数学经典名题（第二版）幻方及其他：娱乐数学经典名题（第二版） 描述描述 内容简介回到顶部内容简介回到顶部 数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思， 使人惊讶。 数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到

2、的好玩之处会有所不同。就这套 丛书而言，不同的读吝也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻。有助于排遣 工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作为学生课外 读物。有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生、研究生甚至 数学研究工作各，也会开卷有益。 本书分为两部分，第一部分是百变幻方-娱乐数学第一名题-幻方，对古今中外在幻方研究中的发现和成 果有极为详细的介绍。第二部分是娱乐数学其他经典名题，包括数字哑谜、数学金字塔、素数、完美数、 自守数、累进可除数，以及“数学黑洞“现象、棋盘上的哈密顿回路、八皇后

3、问题、梵塔、重排九宫等问题。 题材广泛、内容有趣，能够启迪思想、开阔视野，培养读者分析和解决问题的能力。适于高中及高中以上 文化程度的读者阅读。 作译者回到顶部作译者回到顶部 本书提供作译者介绍本书提供作译者介绍 张景中中科学院院士计算机科学家、数学家 1936年生于河南汝南。1959年毕业于北京大学数学力学系。1979年任教于中国科学技术大学，后曾任中 国科学院成都数理科学研究室主任，成都计算机应用研究所副所长、名誉所长、博士生导师，四川师范大 学计算机学院院长，广州大学教育软件研究所所长，中国数学会理事，中国计算机学会理事，中国科普作 家协会理事长等。 张景中教授多年从事教学和研究工作，在

4、自己的专业研究领域获得过中国科学院自然科学一等奖等多项奖 项。他在教学研究工作 查看详细 目录回到顶部目录回到顶部 总序 第二版说明 前言 第一部分 百变幻方-娱乐数学第一名题 引子洛水神龟献奇图 第一章 有关幻方的传闻趣事 11宇宙飞船上的搭载物 12南宋杨辉-研究幻方第一人 13杨辉4阶幻方中的奥秘 14出土文物中的阿拉伯幻方 15欧洲的“幻方热“和名画“忧伤“中的幻方 16富兰克林的神奇幻方 第二章 怎样构造幻方 21连续摆数法(暹罗法) 22阶梯法(楼梯法) 23奇偶数分开的菱形法 24对称法 25对角线法 26比例放大法 27斯特雷奇法 .28lux 法 29拉伊尔法(基方、根方合成

5、法) 210镶边法 21l 相乘法 212幻方模式 第三章 幻方数量知多少 31 3阶幻方的数量 32 4阶幻方的数量 33 5阶幻方的数量 第四章 “幻中之幻“ 41对称幻方 42泛对角线幻方 43棋盘上的幻方 44亲子幻方 45奇偶数分居的对称镶边幻方 46t 形幻方 第五章 非正规幻方 51普朗克幻方 52素数幻方 53合数幻方 54乘幻方及其他 第六章 幻方的变形 61杨辉的幻圆 62对杨辉变形幻方的发展 63中世纪印度的幻圆和魔莲花宝座 64富兰克林的八轮幻圆 65幻星 66幻矩形 67魔蜂窝 第七章 进一步的“幻中之幻“ 71双幻方 72幻立方(魔方) 73四维魔方 74一些奇特的

6、魔幻方 习题 第二部分 娱乐数学其他经典名题 第八章 素数之谜 81素数的无限性及其证明 82有没有素数的一般表达式 83表达素数的函数 84怎样判定大素数 85某范围内素数知多少 86梅森素数-最大素数的表示形式 87最大素数有多大 第九章 素数奇趣 91由顺(逆)序数字组成的素数 92回文素数 93可逆素数 94孪生素数 95形成级数的素数 96素数与霄及其他 97一些素数倒数的特殊性素 习题 第十章 神秘的完美数 101求完美数的公式 102完美数与梅森素数， 103完美数的一些特征 104多倍完美数 105另一种完美 第十一章 数学黑洞探秘 111由自恋性数形成的黑洞 112由自复制数

7、造成的黑洞 113由数的因子和形成的黑洞 114由“3x+1“变换形成的黑洞 第十二章 枯燥数字中隐藏的奥秘 121数字1-9上的加法 122数字1-9分成有倍数关系的2组 123数字1-9上的乘法 124用1-9表示任意整数 125累进可除数 126累进不可除数 第十三章 数的自同构现象 131自同构数 132有关自守数的一些规律 13，3立方自守数 134其他进制中的自守数 第十四章 棋盘上的哈密顿回路 141问题的提出 142马步哈密顿回路的欧拉解法 143内外分层法求哈密顿回路 144罗杰特的巧妙方法 145几个有特色的马步哈密顿回路 146棋盘上的不解之谜 习题 第十五章 八皇后问题

8、 151八皇后问题的起源与解 152小棋盘上的皇后问题 153八皇后问题的解法 154八皇后问题的解可以叠加吗 155没有3个皇后成一直线的解 156控制整个棋盘需要几个皇后 157怎样使八皇后的控制范围最小 习题 第十六章 数字哑谜-有趣的算式复原 问题 习题 第十七章 数学王国中的金字塔 第十八章 谁是幸存者 习题 第十九章 变化无穷的双人取物游戏 191最简单的双人取物游戏 192限从若干堆的一堆中取子的玩法 193从 nim1到 nlmk 194nim 的另一种变形 195nim 的又一个变形 第二十章 关于重排九宫 201原始的重排九宫问题 202洛伊德的“14-15“玩具 203洛

9、伊德游戏的变形 204“把希特勒关进狗窝“游戏 205以棋步移动的九宫问题 习题 第二十一章 梵塔问题透视 211梵塔问题的起源 212梵塔问题与国际象棋的传说 213梵塔问题与哈密顿通路问题 214梵塔问题与格雷码 215梵塔问题的计算机编程 部分习题、问题答案 参考文献 数学网站 展开全部内容 前言回到顶部前言回到顶部 本书名日好玩的数学-娱乐数学经典名题 。也许不少读者在看到这个书名后会提出质疑：作为科学的数 学怎么是供玩儿的，而且“好玩“呢?“娱乐数学“又从何说起，过去从来也没有听说过啊!对这些问题，我们 长话短说，作一个简要的回答。 “好玩的数学“这个命名源于陈省身教授为2002年在

10、北京举行的第24届国际数学家大会期间举办的“沙年 数学论坛“的题词“数学好玩“。陈省身教授是著名的华裔数学家，他因在整体微分几何学方面的出色成就而 荣获“国际数学界的诺贝尔奖“的大奖-沃尔夫奖(1984年)，是世界一流的大数学家。他说“数学好玩“，自 然是不会有错的。笔者体会，之所以说“数学好玩“，恐怕主要有两个原因：一是数学中有许多多奇特而有 趣的现象，二是数学中有许许多多未解之谜。正是这些寄特而有趣的现象和未解之谜吸引着广大的人群， 使他们成为数学的爱好者和探索者，其中一些人有所发现，有所发明，有所创造，成了专家、学者，推动 了科学的发展和人类社会的进步。 20世纪最伟大的科学家之一、 诺

11、贝尔奖获得者爱因斯坦曾经深刻地指出： “在人们能够体验到的种种感觉中，最美好的就是神秘玄妙感。它是真正科学的摇篮。一个人如果不知道这 种感觉为何物，如果不再体验到惊诧，如果不再觉得惶惑，那他就不如说已经死去了。真正的科学家永远 不会丧失自己感到惊讶的能力，因为这是他们之所以成为科学家的根本。“数学家斯坦因(Sherman K Stein)在数字的力量-揭示日常生活中数学的乐趣和威力(吉林人民出版社，2000)中也写道：“按照 一条老的拉丁格言，需要为发明之母，但是，好奇为发明之母同样也是对的。“他举了一个例子：19世 纪初法拉第探索电与磁，就不是因为需要，而是出于对宇宙本质的好奇心。当有人问法

12、拉第你研究这些有 什么用时，他反问道：“一个新生婴儿有什么用?“有这样一种说法：一些重大的科学发现和发明创造是“玩“ 出来的。这听起来似乎令人难以置信，却是事实。因此，说“数学好玩“，不是对数学的贬低，也不是否认 数学的高度抽象性和极大困难性，而只是突出其引人入胜的另一面， 旨在激发人们的兴趣，热爱它，研究 它，到神秘的数学王国中去邀游、去探索。 既然“数学好玩“，数学中好玩的那些内容被称之为“娱乐数学“也就顺理成章了。娱乐数学在英文中叫做 Recreational Mathematics，或者叫 Entertainment in Mathematics.据哥伦比亚大学专门从事数学 教育研究的

13、威廉夏夫博士(William Leonard Schaaf)考证，娱乐数学已有2000多年的历史，在阿基米德 时代就已经有了，到11世纪已有娱乐数学的专著出版。他在20世纪50年代编了一本娱乐数学文献指南 (Recreational Mathematics：A Guide to the Literattwes，National Council Of Teachers Of Mathematics，Inc，1958)，收录的娱乐数学重要文献有5000多种，后来他又编了一套娱乐数学书目 (A Bibliography ofRecreational Mathematics)，由美国数学会出版，有3卷

14、之多。著名的科普杂志科 学美国人(ScientificAmerican)在20世纪下半叶由著名的娱乐数学专家马丁， 加德纳(Martin Gardner) 办了一个“数学游戏“(Mathematical Games)专栏，大受读者欢迎，持续了近30年。到80年代中期，一 则因加德纳退休，二则因个人电脑的兴起，这个专栏被改为“计算机娱乐“(Computer Recreation)专栏， 但不久就又改为“数学娱乐“(Mathematical Recreation)专栏。现在， 科学美国人每期都有这个栏目， 是这个杂志最受读者欢迎的“保留栏目“。 在我国，也已出版了不少“趣味数学“、“数学游戏“这类

15、专著和读物，娱乐数学的一些世界名著也被译成， 中文介绍给我国读者。但是由于种种原因，数学的这块园地在我国始终没有和“娱乐“这个词直接挂起钩来， 因此，在我国读者中就没有“娱乐数学“这个概念。就笔者所见，只有亨特(JAHHunter)的名著 Mathematical Diversions的中译本被冠以数学娱乐问题的书名出版，大概见过此书的读者不多。 笔者认为，现在该是娱乐数学“闪亮登场“的时候了。如同劳动和受教育是每个公民的权利一样，休息和娱 乐也是公民的基本权利，而娱乐的形式是多种多样的。通过“玩数学“达到娱乐的目的， 同时又提高了科学 素。养，增长了知识，真是两全其美，何乐而不为，有什么理由

16、不大力提倡呢? 本书分两部分。第一部分介绍百变幻方-娱乐数学第一名题。幻方是几千年前中国人首先发现的，后来传 到世界各地，引起广泛兴趣。幻方是简单得人人可以理解的数学现象，但是它又蕴含着许多至今无人能够 回答的问题，包括利用强大的计算机目前仍然解决不了的问题， 因而自然成了娱乐数学中最受人关注的一 个课题。本书对古今中外在幻方研究中的成果和发现有详尽的介绍，仅幻方构造法就列举了10多种，既包 括传统的连续摆数法、阶梯法、对角线法、镶边法等，又有近代数学家最近才开发出来的 LUX 法、相乘法 等，对于绝大多数读者来说都是耳目一新的。美国建国前后的大政治家、大发明家本杰明富兰克林推出了 许多神奇的

17、幻方、幻圆，其中的8轮幻圆(他自己称之为“magic circle of circles“)中，又含有4组偏心的 同心圆。 百多年来的中外文献中， 对这4组偏心的同心圆在8轮幻圆中到底起什么作用， 都没有明确的说明。 笔者经过反复查证，终于在200多年前出版的一部科学辞典中找到了答案，首次给读者提供了准确的解释。 南宋的杨辉是世界上系统研究幻方的第一人。他给出的4阶至8阶幻方各有阴、阳两图。同为4阶幻方，为 什么把这幅称为阳图，把那幅称为阴图而不是相反，几乎没有人认真探讨过这个问题。笔者注意到这个问 题，并进行了初步的探讨，认为幻方是有优劣、高低之分的，并提出了判别的依据，由此给出了对杨辉4

18、阶幻方阴、阳两图的一种可能解释。笔者不敢断言自己的观点和方法一定是正确的，只希望这一讨论能成 为引玉之砖，把对有关问题的研究引向深入。 本书第二部分是娱乐数学其他经典名题，包括数字哑谜(也就是算式复原，诸如冷战时期出现的 USA+USSR=PEACE)、数学金字塔、素数、NIM 游戏，还有数论中的完美数、自守数、累进可除数、 用 尽1-9表示任意整数，以及所谓“数学黑洞“和棋盘上的哈密顿回路、八皇后问题、约瑟夫斯问题(也就是幸 存者问题)、重排九宫、梵塔等，内容十分广泛，问题十分有趣。笔者在充分发掘娱乐数学的历史遗产的同 时，又十分重视当今的科技进步，用最新材料充实了经典名题的内涵。例如，素数

19、是一个十分古老的课题， 本书有两章是涉及素数的，其中不乏经典的问题，如梅森素数。本书在介绍梅森素数部分，笔触从16世纪 的大数学家梅森一直伸展到本世纪初的网民志愿者组织 GIMPS(全球因特网梅森素数大寻找)， 全景式地向 读者展现了历代数学家和数学爱好者在挖掘最大素数方面的历程，全面介绍了从手工计算到计算机计算， 从巨型机计算到网络计算至今所获得的全部39个梅森素数，比较充分地反映了在计算机技术尤其是网络技 术飞速发展、网络应用日益普及的情况下，有关娱乐数学研究所呈现出的日新月异的景象。 本书是在笔者近10年来所写作的数学小品的基础上，经过重新整理、修订和增补而成的。这些数学小品有 些在知识

20、就是力量等刊物上公开发表过；有些虽然没有发表过，但在笔者任教的北京理工大学科协所 组织的科普讲座上向大学生们演讲过。笔者不是数学工作者，笔者从事的专业是计算机，涉足娱乐数学这 一领域一是出于个人爱好，二是出于专业教学的需要，因为笔者发现，用娱乐数学中的有趣问题作程序设 计的例题与习题，可以大大激发学生的学习热情与积极性。但由于不是本行，书中难免有错误、疏漏或“ 说外行话“之处，恳请专家和读者批评、指正。此外，本书引用了大量中外文的书刊和网上资料，多数注明 了出处，但因为本书毕竟不是学术专著而是科普作品，因此笔者没有刻意追求逐一注明材料来源，这是需 要说明的。 吴鹤龄 2003年初春于北京 序言

21、回到顶部序言回到顶部 2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题 词，写下了“数学好玩“4个大字。 数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。 有人会说，陈省身先生认为数学好玩，因为他是数学大师，他懂数学的奥妙。对于我们凡夫俗子来说，数 学枯燥，数学难懂，数学一点也不好玩。 其实，陈省身从十几岁就觉得数学好玩。正因为觉得数学好玩，才兴致勃勃地玩个不停，才玩成了数学大 师。并不是成了大师才说好玩。 所以，小孩子也可能觉得数学好玩。 当然，中学生或小学生能够体会到的数学好玩，和数学家所感受到的数学好玩，是有所不同的。好比象棋， 刚入门的

22、棋手觉得有趣，国手大师也觉得有趣，但对于具体一步棋的奥妙和其中的趣味，理解的程度却大 不相同。 世界上好玩的事物，很多要有了感受体验才能食髓知味。有酒仙之称的诗人李白写道：“但得此中味，勿为 醒者传“，不喝酒的人是很难理解酒中乐趣的。 但数学与酒不同。数学无所不在。每个人或多或少地要用到数学，要接触数学，或多或少地能理解一些数 学。 早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在道德经中说：“道生一，一生二，； 生三，三生万物。“古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺 是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数

23、字，一切都是混乱和黑 暗的。“ 既然数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。 在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。 玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦。玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。这套 丛书里，吴鹤龄先生编著的七巧板、九连环和华容道-中国古典智力游戏三绝一书，讲了这些智力游 戏中蕴含的数学问题和数学道理，说古论今，引人入胜。丛书编者应读者要求，还收入了吴先生的另一本 备受大家欢迎的幻方及其他-娱乐数学经典名题 ，该书题材广泛、内容有趣，能使人在游戏中启迪思想、 开阔视野，锻炼思维能力。丛书的其他各册，内容也时有涉及数学游戏。游戏就是玩。把数学

24、游戏作为丛 书的重要部分，是“好玩的数学“题中应有之义。 数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思， 使人惊讶。比如， 以数学家欧拉命名的一个公式 e2i=1这里指数中用到的丌，就是大家熟悉的圆周率， 即圆的周长和直径的比值，它是数学中最重要的一个常数。教学中第2个重要的常数，就是上面等式中左端 出现的 e，它也是一个无理数，是自然对数的底，近似值为2.718281828459。指数中用到的另一个数 i，就是虚数单位，它的平方等于-1。谁能想到，这3个出身大不相同的数，能被这样一个简洁的等式联系 在一起呢?丛书中，陈仁政老师编著的说不尽的丌和(

25、不可思议的 e ，分别详尽地说明了这两个奇妙的 数的来历、有关的轶事趣谈和人类认识它们的漫长的过程。其材料的丰富详尽，论述的清楚确切，在我所 知的中外有关书籍中，无出其右者。 如果你对上面等式中的虚数 i 的来历有兴趣，不妨翻一翻王树禾教授为本丛书所写的数学演义的“第十 五回 三次方程闹剧获得公式解 神医卡丹内疚难舍诡辩量“。这本章回体的数学史读物，可谓通而不俗、 深 入浅出。王树禾教授把数学史上的大事趣事憾事，像说评书一样，向我们娓娓道来，使我们时而惊讶、时 而叹息、时而感奋，引来无穷怀念遐想。数学好玩，人类探索数学的曲折故事何尝不好玩呢?光看看这本书 的对联形式的四十回的标题，就够过把瘾了

26、。王教授还为丛书写了一本数学聊斋 ，把现代数学和经典数 学中许多看似古怪而实则富有思想哲理的内容，像聊斋讲鬼说狐一样最大限度地大众化，努力使读者 不但“知其然“而且“知其所以然“。在这里，学的好玩，已经到了相当高雅的层次了。 谈祥柏先生是几代数学爱好者都熟悉的老科普作家，大量的数学科普作品早已脍炙人口。他为丛书所写的 乐在其中的数学 ，很可能是他的封笔之作。此书吸取了美国著名数学科普大师加德纳25年中作品的精 华，结合中国国情精心改编，内容新颖、风格多变、雅俗共赏。相信读者看了必能乐在其中。 易南轩老师所写的数学美拾趣一书，自2000年初版以来，获得读者广泛好评。该书以流畅的文笔， 围 绕一些

27、有趣的数学内容进行了纵横知识面的联系与扩展，足以开阔眼界、拓广思维。读者群中有理科和文 科的师生，不但有数学爱好者，也有文学艺术的爱好者。该书出版不久即脱销，有一些读者索书而未能如 愿。这次作者在原书基础上进行了较大的修订和补充，列入丛书，希望能满足这些读者的心愿。 世界上有些事物的变化，有确定的因果关系。但也有着大量的随机现象。一局象棋的胜负得失，一步一步 地分析起来，因果关系是清楚的。一盘麻将的输赢，却包含了很多难以预料的偶然因素，即随机性。有趣 的是，数学不但长于表达处理确定的因果关系，而且也能表达处理被偶然因素支配的随机现象，从偶然中 发现规律。孙荣恒先生的趣味随机问题一书，向我们展示

28、出概率论、数理统计、随机过程这些数学分 支中许多好玩的、有用的和新颖的问题。其中既有经典趣题，如睹徒输光定理，也有近年来发展的新的 中国古代数学，体现出算法化的优秀数学思想，曾一度辉煌。回顾一下中国古算中的名题趣事，有助于了 解历史文化，振奋民族精神，学习逻辑分析方法，发展空间想像能力。郁祖权先生为丛书所著的中国古 算解趣 ，诗、词、书、画、数五术俱有，以通俗艺术的形式介绍韩信点兵、苏武牧羊、李白沽酒等40余 个中国古算名题；以题说法，讲解我国古代很有影响硪一些数学方法；以法传知，叙述这些算法的历史背 景和实际应用，并对相关的中算典籍、著名数学家的生平及其贡献做了简要介绍，的确是青少年的好读物

29、。 读一读好玩的数学 ，玩一玩数学，是消闲娱乐，又是学习思考。有些看来已经解决的小问题，再多想想， 往往有“柳暗花明又一村“的感觉。 举两个例子： . 中国古算解趣第37节，讲了一个“三翁垂钓“的题目。与此题类似，有个“五猴分桃“的趣题在世界上 广泛流传。著名物理学家、诺贝尔奖获得者李政道教授访问中国科学技术大学时，曾用此题考问中国科学 技术大学少年班的学生，无人能答。这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过， 包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高 阶差分方程理论中通解和特解的关系，给出一个巧妙的解法。其实，仔细想想，有

30、一个十分简单有趣的解 法，小学生都不难理解。 原题是这样的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分。 过了不知多久，来了1只猴子，它见别的猴子没来，便将这1堆桃子平均分成5份，结果多了1个，就将多的 这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知多久，第2只猴子来了，它不知道有1个同伴已经来过，还以为自 己是第1个到的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个，拿走其中 的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是这样问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5个猴子走后还剩多 少个桃子? 思路和解法：题目难在每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它

31、们4个再分。 好玩的是，桃子尽管多了4个，每个猴子得到的桃子并不会增多，当然也不会减少。这样，每次都刚好均分 成5堆，就容易算了。 想得快的一下就看出，桃子增加4个以后，能够被5的5次方整除，所以至少是3125个。把借的4个桃子还 了，可知5只猴子至少摘了3121个桃子。 容易算出，最后剩下至少1024-4=1020个桃子。 细细地算，就是： 设这1堆桃子至少有 x 个，借给它们4个，成为 x+4个。 5个猴子分别拿了 a，b，c，d，e 个桃子(其中包括吃掉的一个)，则可得 a=(x+4)/5 b=4 (x+4)/25 c=16(x+4)/125 d=64(x+4)/625 e=256(x+

32、4)/3125 e 应为整数，而256不能被5整除，所以(x+4)应是3125的倍数，所以 (x+4)=3125k(k 取自然数) 当 k=1时，x=3121 答案是：这5个猴子至少摘了3121个桃子。 这种解法， 其实就是动力系统研究中常用的相似变换法， 也是数学方法论研究中特别看重的“映射-反演“法。 小中见大，也是数学好玩之处。 在说不尽的的5.3节，谈到了祖冲之的密率355/113。这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度 很高。在所有分母不超过113的分数当中，和最接近的就是355/113。不但如此，华罗庚在数论导引 中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和丌最接近的

33、还是355/113。后来，在夏道行 教授所著和 e一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和最接近的仍然 是355/113，大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界 限提高到16500以上! 根据=3.1415926535897，可得355/113-000000026677，如果有个分数 q/p 比355/113更 接近，一定会有 ！355/113-q/p！2*000000026677 也就是！355p-113q！/113p2*000000026677 因为 q/p 不等于355113， 所以！ 355p-113q！ 不是0。

34、 但它是正整数， 大于或等于1， 所以1113p2*0 00000026677由此推出 p1(113*2*000000026677)16586 这表明，如果有个分数 qp 比355113更接近，其分母 p 一定大于165860. 如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。 数学问题的解决，常有“出乎意料之外，在乎情理之中“的情形。 在数学美拾趣的22章，提到了“生锈圆规“作图问题，也就是用半径固定的圆规作图的问题。这个问题 出现得很早，历史上著名的画家达芬奇也研究过这个问题。直到20世纪，一些基本的作图，例如已知线段 的两端点求作中点的问题(线段可没有给出来)，都没有答案。有些人认为用

35、生锈圆规作中点是不可能的。 到了20世纪80年代， 在规尺作图问题上从来没有过贡献的中国人，不但解决了中点问题和另一个未解决问 题，还意外地证明了从2点出发作图时生锈圆规的能力和普通规尺是等价的。那么，从3点出发作图时生锈 圆规的能力又如何呢?这是尚未解决的问题。 开始提到，数学的好玩有不同的层次和境界。数学大师看到的好玩之处和小学生看到的好玩之处会有所不 同。就这套丛书而言，不同的读者也会从其中得到不同的乐趣和益处。可以当做休闲娱乐小品随便翻翻， 有助于排遣工作疲劳、俗事烦恼；可以作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作 为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识：锻炼逻辑思维能力，即使对于数学修养比较高的大学生、 研究生甚至数学研究工作者，也会开卷有益。数学大师华罗庚提倡“小敌不悔“，上面提到的两个小题目都 有名家做过。丛书中这类好玩的小问题比比皆是，说不定有心人还能从中挖出宝矿，有所斩获呢。 啰嗦不少了，打住吧。谨以此序祝好玩的数学丛书成功。 2004年9月9日 下载后可在附件框中得到完整的资料！下载后可在附件框中得到完整的资料！