总人口规模变化的年龄结构MSEIR 流行病模型的再生数.pdf

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1、第3 5 卷 第8 期数学的实践与认识V o l . 3 5 N o . 8 2 0 0 5 年8 月MATHEMATI CS I N P RACTI C E AND THEORY A u g u s t , 2 0 0 5 总人口规模变化的年龄结构MS E I R 流行病模型的再生数 李学志 ， 万 志 超 2 ， 陈 清江 3 ( 1 . 信阳师范学院数学系。河南 信阳 4 6 4 0 0 0 ) ( 2 . 深河医学高等专科学校，河南 攘河4 6 2 0 0 0 ) ( 3 . 西安交通大学理学院， 陕西 西安7 1 0 0 4 9 ) 摘要: 在总人口 规模变化和疾病影响死亡率的假设下

2、. 讨论了带二次感染和接种疫苗的年龄结构MS E I R 流行病模型a 先给出 再生数M, ( y , 幻( 这里0 ( a ) 是接种疫苗率， 又 是总人口 的增长指数) 的显式表达式. 其次， 证明了当.fi r 妙， 幻1 时， 无病平衡态是不稳定的. 关键词: 年龄结构; MS E I R流行病模型; 再生数; 平衡态， 稳定性 1 引言 自 从K e r m a c k 和M c k e n d r i c k 利用动力学的方法建立流行病的数学模型以来， 许多作 者对各种各样的流行病模型进行了大量研究并得到很多重要结果. 纵观以往的研究工作， 我 们发现， 他们中的大多数假设所研究的

3、国家或地区的总人口 规模不变和疾病不影响死亡率 ( 见文 献 仁 1 -1 3 ) . 事 实 上， 在一 些 发展中 国 家， 总人口 规 模总 是以 一定 的速 度 增加， 而 且有 些疾病( 如艾滋病等) 影响总人口的死亡率. 因此， 考虑这种情况下流行病的发展趋势是必要 的和有现实意义的. 考虑总人口规模变化和疾病影响总人口的死亡率情况下的流行病模型一直是流行病动 力学理论中的一个重要分支， 自 从A n d e r s o n 和Ma y ( 见 9 , 1 0 ) 的工作以后， 引起许多作者 的兴趣.目 前还没有见到对年龄结构MS E I R流行病模型进行系统分析的文献( 这里M表

4、 示母体抗体保护人群， S表示易感人群， E表示潜伏人群， I 表示染病人群， R表示康复人 群) . 然而， 很多在儿童中传播的流行病如麻疹( m e a s l e s ) 等， 具有一个母体抗体保护期. 本 文考虑总人口 .规模变化情况下带接种疫苗和二次感染的年龄结构MS E I R模型. 给出了该 模型的 再生数.9 ( fp , 幻的 表达式， 并证明: 如果a ( “ , 幻 1 ， 则系统的无病平衡态不稳定. 本文安排如下: 第二节， 建立总人口 规模变化的带接种疫苗和二次感染的年龄结构 M S E I R流 行病 模型; 第 三 节， 得到 再生数M( 0 , 幻， R ( O

5、 ) 和R 。 的 表达式， 讨论无病平 衡 态的稳定性. 2 模型 为了表述总人口规模变化情况下带接种疫苗和二次感染的年龄结构MS E I R流行病模 收稿日期: 2 0 0 3 - 1 2 - 3 0 签金项目: 国家自 然科学纂金( 1 0 3 7 1 1 0 5 ) 和河南省自然科学基金( 0 3 1 2 0 0 2 0 0 0 : 0 2 1 1 0 4 4 8 0 0 ) 资助 万方数据 1 1 4数学的实践与认识 3 5 卷 型.我们需要引进一些记号， 令a 表示年龄， t 表示时间. 我们把疾病传播的国家或地区的 总人口分为受母体抗体保护、 易感、 潜伏、 染病和康复五类， 用

6、偏微分方程表述流行病在这些 类之间传播. 用M( a , t ) , S ( a , t ) , E ( a , t ) , I ( a , t ) , R ( a , t ) 和P ( a , t ) 分别记t 时刻的母体 抗体保护、 易感、 潜伏、 染病、 康复类和总人口 关于年龄a 的密度函数. 这意味着， t 时刻年龄 介于A ， 和A , 之间的易感人口总数为 f A , 。 ， ， 、 1 J k a, c ) (A a . J A I 令p ( a ) 表示年龄依赖的死亡率， b ( a ) 表示年龄依赖的出生率， 万 ( a ) 表示因感染疾病 而引起的死亡率， 歌a ) 表示

7、染病者的出生率. 用。 ( a ) 记死亡率之差 ( =不 ( a ) 一风a ) ) . 用 ( o ( a ) ) 一 表示平均潜伏周期， 用( B ( a ) ) 一 表示平均染病周期， 如麻疹的染病周期大约为一 周时间.令 戴a ) 记免疫的失去率， ( a ( a ) ) 一 记受母体抗体保护的平均周期， k ( a ) 记接触分 布. 本文假设传播系数是出现在人口中 依赖于染病者年龄的染病率和暴露于染病者中 依赖 年龄的易感者的易感性的乘积. 并且假设夕 ( a ) 为易感者的易感性， 石 ( a ) 为接种疫苗者的 易感性， Q ( a ) 为易感性之差( =风a ) 一几a )

8、 ) . 令抓a ) 表示年龄依赖的接种疫苗率， a 十 表示人口中个体所能达到的最大年龄， 情况a 十 =00 在很多人口统计模型中应用. 假设所有的新生婴儿都受母体抗体保护， 一个易感个体只有通过与染病个体接触才能 变为潜伏个体， 我们还假设接种疫苗是部分有效的( 即接种疫苗或康复的个体可以再次变为 潜伏或易感个体) ， 同时假设只有易感个体才能被接种疫苗. 这里我们不引进独立的表示 婴儿出生时接种疫苗参数. 在实际中， 这种效果可以看作是在很早的年龄有一个很高的接 种疫苗率. 在以上的假设下， 年龄结构的MS E I R流行病模型可以用下列五个偏微分方程构 成的初边值问题描述: aM (

9、a ,t)d+ aM (a ,t)a s一 ; ， + a (a ) M (一 a S (a ,t ) + a S (a ,t)5 2一 ， ( ， + V(a)IS 一 ， + a (a )M 一 + ， ( )* ( ,t) - 8 (a )S (a ，) 器 aE (a ,t)a t+ dE (a ,t)a 2一 ， ， + o (a ) E 一 + ,8(a )S (a ，) + R (a )R (a ，) 器， al (a ,t) al (a ,t)a + R一ju (a ) + “ ， “ 一 ， + a (a )E 一 aR (a ,t)ar+ dR (a ,t) 一; ， +

10、“ (a ) R (a ,t) + B (a ) “ 一 + 0 (a )S (a ，卜， ( ); ( ，) V (t)N (t) M (O ,t) 一 且 + 、“ ( ) M (一 ，) + S (a ，) + E (一 ，) + R (a ，) ( 2 - 1 ) ( 2 . 2 7 ( 2 . 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 . 5 ) +石 ( a ) I ( a , t ) ) d a ( 2 - 6 ) 万方数据 8 期李学志， 等: 总人口规模变化的年龄结构MS E I R流行病模型的再生数1 1 5 S( O , t )二E( 0 , t )= 1 ( 0 , t )二

11、 R( O , t )二 0( 2 . 7 ) 这里 N (t) = 丁 ;十 M (一 ，) + S (一 ，) + E (a , ， + “ 一 ， + R (一 ，) I d a ( 2 . 8 ) 是总人口规模， 而且 V (t) = 丁 :“ ( ) (一 ，)d a ( 2 . 9 ) 表示一个易感个体与染病个体的接触数， 这里假设它与易感个体的年龄无关. 为了简便， 引进记号 17 (a = e x p 一 f ( 2 . 1 0 ) 、11夕 S d 、，产 万 了r、 产 系统( 2 - 1 ) 一( 2 - 9 ) 是1 阶齐次系统. 因此， 我们的兴趣是考虑它的持续解，

12、即带定常数人口 结构的指数解. 下一节， 我们将推导出.男帅， 幻的显示表达式， 要使疾病成为地方病或持续存在， 0o y , 幻必须超过1 . 一般来说， a( o , 幻被称为再生数， 它表示由 一个典型的 染病个体， 在他整个染病周期( 又称为病程) 内， 在非感染人口中所产生的二次感染的个体的期望数. 3 再生数的表达式及无病平衡态的稳定性 首先， 我们考虑由下列方程( Mc k e n d r i c k型 1 1 ) 所描述的非感染不带接种疫苗的人口 系统. dM (a ,t )it+ 黯,t)a,一， (。 )、 (。 ，:) M ( 0 ，) 一 :十 “ (a )M (一 ，

13、)d a ( 3 . 1 ) ( 3 . 2 ) 它的持续解可由下列特征方程得到: * ( ) + d M (a )d a一。 (a ) M (a ) M (0 ) 一 :十 ， (a )M (a )d a ( 3 . 3 ) ( 3 . 4 ) M( a , t ) =刃( a ) e x p 寿 ( 3 . 5 ) 这里 M( a ) 二1 7 ( a ) e x p ( 一耘 ( 3 . 6 ) 是稳定的年龄分布， 实指数注 可从下列特征方程得到: J G+ b (a )17 (a )e x p0 一 )d a 一 ( 3 . 7 ) 因此， 系统( 2 . 1 ) 一( 2 - 9 )

14、 所描述的总的 母体抗体保护人口 发展方程的指数解为 ( 丽( a ) ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) e x p 几 其次， 我们考虑带有接种疫苗策略情况下系统的持续解， 即下面方程的解: ( 3 . 8 ) 9M ( a , t ) + a M ( a , t ) 一 ,u ( a ) + a ( a ) M ( a ， ) d乙 龙 L ( 3 - 9 ) 万方数据 1 1 6 数学的实践与认识3 5 卷 沼 ( a , t ) 一 气 下一 十 笼 d E( a , t ) 一 一 一 丈犷 一一 -t 浮 沼 ( a , t ) 由 范 ( a , t ) 由 一 p ( a )

15、 +0 ( a ) S ( a , t ) +a ( a ) M( a , t ) +0 ( a ) R ( a , t ) 一 p ( a ) +a ( c a ) E ( a , t ) ( 3 . 1 0 ) ( 3 . 1 1 ) 、.产、，产 9月nj 111.人 . Od八jnJCO 沙、了甩廿了、J、 苏( a , t ) 一丈 : 一-，t 理 艺 万( a, t ) d z a 尺( a , t ) 一 不 ( a ) +0 ( a ) I ( a , t ) +a ( a ) E ( a , t ) d R( a , t ) 一一 ， 不 一 一 一 十 r 慈 一二二二

16、d 2 一 p ( a ) +笋 ( a ) R ( a , t ) +0 ( a ) I ( a , t ) +,P ( a ) S ( a , t ) 具有边界条件 M (O ，) 一 卫 + “ ( ) (M 一 ， + S 一 ， + E 一 ， 、11、J了 左匕d ，11.1 +R( a , t ) ) +b ( a ) I ( a , t ) d a 以及 S( 0 , t )= E( O , t )= I ( O , t )= R( 0 , t )= 0 方程组( 3 . 9 ) 一( 3 . 1 5 ) 的持续解可以从如下的特征方程得到( 即分别用肪W e 气3 ( a )

17、e k , E ( a ) e , I ( a ) e a , R ( a ) e 代替( 3 . 9 ) 一( 3 . 1 5 ) 中的M( a , t ) , S ( a , t ) , E ( a , t ) , I ( a , t ) , R ( a , t ) ) : 、，产、，.、产丫少 丹七行了80叮 1二，.一.上，上 . gJCjCO八 沙.了、Jf、了、 d M (a )d a一 “ + ， ， + ， M (a ) d S ( a ) =一以+p ( a ) +0 ( a ) S ( a ) +a ( a ) 丽( a ) +0 ( a ) R ( a ) d E d a

18、 d 万( a ) d a 一以+P ( a ) +a ( a ) E ( a ) d I ( a ) d a =一以+不 ( a ) +B ( a ) 7 ( a ) +a ( a ) E ( a ) d R ( a ) 一 F A +。 ( “ ) +0 ( a ) R ( a ) +0 ( a ) 7 ( a ) +O ( a ) S ( a ) k ( 3 . 2 0 ) d a-一 从( 3 . 1 6 ) 求得: M( a ) = I ( 0 ) R( a ) 一 。 ( )一 。 、 一 .1a e x p 一 艾 a (r )d r ( 3 . 2 1 ) 一一- 注意到S (

19、 0 ) =E ( 0 ) R ( 0 ) =0 ， 则有E ( a ) =I ( a ) =0 ， 于是 1 I ( a ) e x p 一益 一M( a ) 一S ( a ) ( 3 . 2 2 ) 将( 3 . 2 2 ) 及( 3 . 2 1 ) 代人( 3 . 1 7 ) 得: II ( a ) 。 一 ， ( “ ) + ( a ( a ) 一 ， ( 。 ) ) e - J0a ( r ) d r 一以+p ( a ) +O ( a ) +“ ( a ) 3 0 ( a ) ( 3 . 2 3 ) 求解方程( 3 . 2 3 ) 得: : (“ ， 一 17 (a )一 ua (

20、v)ex p0 一 Va (r )d r ex p 一 ( O ( r ) + ， ( : ) )d r d v 一 II (a )一 “ (v)ex p0 一 + II (a )一 丁“ (v)ex p0 一 J a ( r )d r )e x p 一 买 (， ( ) + (r ) )d r ( ， ( : ) + ( r ) ) d r d v 万方数据 8 期李学志， 等: 总人口规模变化的年龄结构MS E I R流行病模型的再生数1 1 7 =1 7 ( a ) e 一 P a r t 1 +P a r t 2 +P a r t 3 ( 3 . 2 4 ) 这里 P a rtl =

21、f oa (v )e x p - f oa (r )d r e x p - f 4 (“ (r ) + (r ) )d r )d v ( 3 . 2 5 ) 月IJ - P X e P a r t2 = 一 且 ex p - f oa (r )d r ) a ( r ) d r + 0 ( r ) d r d e - J0一 _ 一 ex p 一 e x p 一 丁 : (， ( ) + (r ) )d r 一 E a (v)e x p 一 f a (r )d r ex p0 一 f . (O (r ) + “ ， )d r + 丁 “SG (v)e x p0 一 丁 a (r )d r e

22、x p 一 丁 ( 必 ( r ) +价 ( r ) ) d r ) d v ) d v : 二 ，3 = f .e x p0 一 f “ (r )d r d e x p 一 f . 0 (r )d r ) 一 卜一 p 一 五 (， ， + ( ， ， 卜 f “O， ，一 业 州 “ ” “ d ( 3 . 2 7 )0 综合( 3 . 2 4 ) 一( 3 . 2 7 ) 得: S ( a ) =H ( a ) e x p 一益 D ( a ) ( 3 . 2 8 ) 其中 这样 ， D (a ， 一 卜一 p 卜 : ( ) 卜 贝 ， () ( ， 一“ 一卜 J; (1(r) t

23、K r) )drd V ( 3 . 2 9 ) 我们得到考虑接种疫苗策略情况下的系统的持续解具有如下形式: ( 而( a ) ， S ( a ) ， 万 ( a ) ， I ( a ) ， 天 ( a ) ) e x p ( 几 ( 3 . 3 0 ) 这里 、J声、.户、.产、夕、少 119习0口左二尸0 0口0口0口，口八 0口乃OCOOdg口 了、了叹.了、矛r、了万、 M( a ) 3 0 ( a ) E( a ) R ( a ) H (a )e x p 、 一 e x p 一 E a (r )d r0 I I ( a ) e x p ( 一灿 D ( a ) 7 ( a ) =0 一

24、-一一 H (a )ex p 、一 、 卜 二 p 仁 丁 a (r )d r 一 D (a ) “ 一 : “ ， + S (a ) + R (a ) d a = II (a )e x p 一 ， 从( 3 . 2 9 ) 式我们可以看到， 正如实际生物学意义所表明的那样， S ( a , t ) 是O ( a ) 和a ( a ) 的 递增函数， 是(P ( a ) 的递函减数. 为了研究接种疫苗策略对非染病解的影响， 我们试图去求染病解的显示表达式. 这将 提供在考虑接种疫苗策略情况下关于稳定流行病态的信息、 非常复杂的计算过程使我们很 难达到这一目的.因此， 我们在考虑接种疫苗后的平衡

25、点处将系统( 2 - 1 ) 一( 2 - 9 ) 线性化， 然后确定阑值条件和再生数. 下面的步骤用来求再生数 首先， 我们在接种疫苗状态平衡点( 3 . 3 0 ) 处将系统线性化， 然后对年龄a 积分， 得到一个关于V的显示方程. 则线性化系统为: dM (a ,t )a+ dM (a ,t ) 一 ， ( ， + a (a ) 1M 一 ， ( 3 . 3 6 ) 万方数据 1 1 8数学的实践与认识3 5 卷 谷 ( a , t ) 一下丁- - 十 劝 1: 一 p ( a ) + r ( a ) S ( a , t ) +a ( a ) M( a , t ) ， ，、 。， _

26、、。 ，、 二，、 V ( t ) 十 笋 ( a ) R( a , t )一 月 ( a ) S( a ) 气拼. I 、 一“、 、 ， 一 “一 、 产 、 一产 N 一 p ( a ) +a ( a ) E ( a , t ) ( 3 . 3 7 ) 范 ( a , t ) 一- 一 丈尸-一 十 心 宜 + 月 ( a ) 万 ( a ) +万 ( a ) 夏 ( a V ( t ) N ( 3 . 3 8 ) -一一- ahat)一aE(a，t)一aI(a，t)一aR(a，t)一 盯( a, t ) - - 二 二 一一十 宽 d R( a , t ) 一 - 下 万 - - -

27、州 卜 d 一 不 ( a ) +0 ( a ) I ( a , t ) +a ( a ) E ( a , t ) 一 p ( a ) +价 ( a ) R( a , t ) +0 ( a ) I ( a , t ) ( 3 . 3 9 ) +(P ( a ) S ( a , t ) 一万 ( a ) R ( a ) V ( t ) N ( 3 . 4 0 ) M (O ,t) 一 : 、“ ， M 一 ， + S 一 ， + E (一 ， + R (一 ， + ( ， (一 ， d a S ( O , t ) =E( O , t )= I ( 0 , t )= R( 0 , t )= 0 我

28、 们 寻 求 此问 题的 指 数 解， 即 如 下 形 式的 解: M ( a , t ) =府 ( a ) e , S ( a , t ) = 3 ( a ) e , E ( a , t ) = R ( a ) e , I ( a , t ) 二7 ( a ) e , R ( a , t ) =反 ( 二 ) e k ， 可以 看出 此问 题是可分的， 最重要的 方程 是关于R ( a ) 与1 ( a ) 的如下方程: d k ( a ) 一 、 + 。 ( 。 ) + a ( a ) R (a ) + ， ( 。 ) : ( 。 ) + 万 (a ) R ( a ) , r U u止V

29、d 7 ( a ) d a 二一E A +p ( a ) +0 ( a ) I ( a ) +a ( a ) EP ( a ) ( 3 . 4 1 ) ( 3 . 4 2 ) 其中 “ + k ( a ) 7 ( a ) d a( 3 . 4 3 ) 其中方程( 3 . 4 1 ) 与( 3 . 4 2 ) 是讨论稳定性的主要关系式. 从这两个方程可以推导出一个特征 方程， 同时我们假设V O ( O 0 ) 是已知的. 分别求解方程( 3 . 4 1 ) 与( 3 . 4 2 ) 并利用边界条件 E ( 0 ) 二入0 ) =0 ， 我们得到E ( a ) 与7 ( a ) 的依赖于V 。

30、的表达式: E 0 (a ， 一 _ _ _ ._(f a _ 、 ，1. V。 C R ( # ) S ( E ) +# ( ) R ( , ) J e x p 一 。 ( A +P ( r ) +a ( T ) ) d r J d t 万( ” 4 4 ) ， (“ ) 一 4a W G (r)0 ) “ e x p 一 ( 、 + ft ( T ) + 0 ( r ) ) d r d ( 3 . 4 5 ) 把( 3 . 4 4 ) 代人( 3 . 4 5 ) 并交换积分顺序得: Q ( ) (E ) + 3( )R (S ) J ea ( I )e x p 一 丁 :“ + ， ， +

31、 or(r ) )d r ) r，.吸 一一 、.产 a 户r、 节丈 r r “_ 一 _ _ 一 ， V e x p 一 ， ( an+ P ( r ) + d ( r ) ) d r j d j d 4; N ( 3 . 4 6 ) 把( 3 . 4 6 ) 代人( 3 . 4 3 ) 并且两边同除以V o ， 我们得到一个关于A 的特征的方程: T ( A )= 1 ( 3 . 4 7 ) 这里 万方数据 8 期李学志， 等: 总人口规模变化的年龄结构MS E I R流行病模型的再生数 1 1 9 二 (A ) = f - k0 ( ) :， ( )“ ( ) + ， ( )， ( )

32、 丁 4a (7j)e x pF 一 :( + ， ( ) + ( ， ) d r . ex p 一 丁 ( 、 + ( r ) + “ ( : ) ) d r d r7d $ 将( 3 . 4 8 ) 的右边交换积分顺序， 并应用关系式( 3 . 2 8 ) , T (A ) 一 4+ II ( )0 ， ( )。 ( ) + ” “ ) 1 - e x p 1 N ( 3 . 2 9 ) ， ( 3 . 3 2 ) 及( 3 . 3 3 ) 得: ( 3 . 4 8 ) a (r )d r ) 一 D (e ) 月!” 一 J 4+ kF ( )一 - (一) f F “a (g ) e

33、x p 一 箕 (， ( ) + ) )d r ) . ex p 一 丁 (、 ( ) + 。 ( ) )d r d gd a d ( J 4+ H (a )e x p0、 一 )d a ) 一 ( 3 . 4 9 ) 这里特征值 又已由人口统计参数和方程( 3 . 7 ) 所确定.由于D ( $ ) 0以及 1一 a ( 二 ) d r 一 D ( $ ) 0 ， 所 以 ， ( 3 . 4 9 ) 中 的 核 对 实 数 “ 是 ” 卜 负 的 作 为 实 数 “ 的 函 r!J - P X e 数， T( 幻是严格递减的.当A 一十0 0 时， T( 幻一0 ; 当A 一一0 0 时，

34、T( 幻十0 0 . 因此， 特征方程( 3 . 4 7 ) 存在唯一的实数根 A . . 假设 A =x+i 抓x , y为实数) 是方程T ( A ) 二1 的 任一复数根. 注意到 1 =TO) 二 ! T ( x+i y ) 兰T ( x ) 于是T ( .l “ ) x . 因此A 是一占 优实根. 由 齐次方程的一般理论( 有限维的 情形见H a d e l e r 1 4 ) 知， A 须与 人口 增长 指数又 比 较. 因 此， 我 们得到 下面 关于 稳定性的 判据: 定 理 1如 果A “ 久 ， 则 非 感 染 稳 定 态 ( 无 病 平 衡 态 ) ( 3 . 3 1

35、) 一 ( 3 . 3 5 ) 是 线 性 化 稳 定 的 ;， 如果.1 “ 之久 ， 则非感染稳定态( 无病平衡态) ( 3 . 3 1 ) 一( 3 . 3 5 ) 是线性化不稳定的. 现在我们定义 、 (， ， ) : 一 T (A 卜f + I ($ )0 ， (。 )。 ( ) + ， ( ) ( 卜二 p 仁ff o a (T )d r ) 一 D (E ) E 十 ( )一 E a (g )e x pf 一 : (， ) + ， ， “ e x p 一 f a (, (T ) + “ ( ， ， ， d a d f + H (a )e x p0 一 )d a ) 一 ( 3 .

36、 根据T ( A ) 关于实数A 的 单调性， 容易看出: 如果R 沪 ， 幻 T ( 幻， 则A 1 ， 即T ( A ) =1 足由 定 理1 我 们得到 以下判据: 定理2 如果.mo d ( o , 幻1 ， 则非感染稳定态( 无病平衡态) 是线性不稳定的. 数m( o , 幻称为再生数( 也称为阂 值) . 由R( sb , 幻的表达式( 3 . 5 0 ) ， 我们观察到下面 一些特征( 这些在生物学上是显然的， 从某种意义上说明模型的正确性) : 如果下列情况之一成立， 则A 是递增的: k ( a ) 是递增的; ( 9 ) # ( a ) 或尹 ( a ) 是递增 .的; “

37、 ( a ) 是递增的; . a ( a ) 是递增的. 如果下列情况之一成立， 则A 是递减的: B ( a ) 是递增的; 不 ( a ) 是递增的; 万方数据 1 2 0数学的实践与认识3 5 卷 3 ) 0 ( a ) 是递增的. 注意到系数6 ( a ) 不影响人 的值. 事实上， 应强调又 不直接与染病人口的解的增长指 数相联系. 现 在我 们 考虑 总 人口 规 模 不 变的 情 况， 即又 =0 . 这 个 假 设 说明: 在 非 染 病 状 态， 存 在 一个平衡人口增长过程， 即非染病人口处在稳定状态. 从而有 :十 H (a )b (a )“ 一 ( 3 . 5 1 )

38、于是。 是又 的临界值， 因此， 临界再生数定义为 RC (P ): =脚( SP 1 0 ) = 五 + n ($ ) p ($ )D ($ ) + ， ( ) ( 卜二 p 仁 丁 a (r )d r 一 D ( ) ) . + k ( a ) J 4a (q )e x pF 一 宾 (,a (r ) + ( ， )d r 广IJ . 产!J .了.1!、 . e x p 一 丁 ( 、 ( ) + 0 ( r ) ) d r d ry d a d $ “ 。 (。 )a 。 一 ( 3 . 5 2 ) 如果不考虑接种疫苗策略( 也就是(P ( a ) 二0 ) ， 那么R ( 0 ) “

39、R o ， 这里R 。 是基本再生数 ( 当只考虑易感人口 时) ， 正如我们已经说过， 接种疫苗导致再生数的减小. 特别地， 对任意 的必 有R ( 必0 (， ( ， 1 1 - ex p 一 a (r )d 们 J M+ k (a )J 4a ( )ex pf f 一 n( (r )e + ( ) )d r “ ex p 一 f 4(ICr )n + 0 (r ) )d r d d a d $ ( J u+ II (a )d a0) 一 ( 3 . 5 3 ) 而且有表达式 R( 沪 ) =R o ( 3 . 5 4 ) 这里 F (% ) 一 : 。 (: ) cR ( ) 一 ” (

40、 ) ) 1 - e x p 一 a (r )d r 一 D ( ) ;“ (“ ” e x p 一 ; N 一 且 + II (a )d a 丁 a ( )e x pF 一 丁 :， ( ， + ， )d r ) ( 、 ( : ) + 0 ( r ) ) d r 知 ， d a d $ ( 3 . 5 5 ) ( 3 . 5 6 ) 应用定义过的( a ) =尹 ( a ) 一尸 ( a ) 和。 ( a ) =不 ( a ) 一p ( a ) 以及( 2 . 1 0 ) 和( 3 . 2 9 ) 得: 万方数据 8 期李学志， 等: 总人口规模变化的年龄结构MS E T R流行病模型的再

41、生数1 2 1 尸 (， 卜 f “+ o0($) 丁 “ ， ( - ex p 一 丁 a (r )d r ) ) . ex p 一 丁 ( ， ( ) + ， ( ) ) d r d v I 丁 u+ k (a ) 11 (a ) f 4a (q )e x pF F 一 丁 :a (r )d r F “ ex p 一 W r ) + “ ， )d r d J d $ ( 3 . 5 7 ) 这样， 我们得到以下命题: 命题通过接种疫苗策略0的应用， 导致再生数的减少量为F ( 必. 由( 3 . 6 1 ) 式可以观察到一个有趣的事实， 再生数的减少量F ( 必 依赖于易感性的差， 而 不

42、独立地依赖于月 ( a ) 和万 ( a ) . 任何实际的接种疫苗策略的目 的必须使F ( 必变大， 从而尽 可能地把 1P ( 妇 的值减少到1 以下. 这是否可能? 除了经济和社会条件( 这些模型中没有考 虑) 外， 还取决于易感性的差( a ) 和免疫失去率O ( a ) . 寻找这种模型的最优接种疫苗策略 仍是有待解决的问题. 参考文献 : 3 4 B u s e n b e r g S , I a n n e l l i M. T h i e m e H . G l o b a l b e h a v i o r o f a n a g e - s t r u c t u r e

43、d e p id e m i c m o d e l J . S I A M J M a t h An a l , 1 9 9 1 ，2 2 ( 4 ) :1 0 6 5 - 1 0 8 0 . G r e e n h a l g h D . T h r e s h o l d a n d s t a b il i t y r e s u l t s f o r a n e p i d e m i c m o d e l w i t h a n a g e - s t r u c t u r e d m e e t i n g r a t e J . I MA J Ma t h A p p l

44、 Me d B i o l , 1 9 8 8 , 5 : 8 1 一1 0 0 . E l - D o m a M. A n a l y s is o f a n a g e - d e p e n d e n t S I S e p id e m ic m o d e l w i t h v e r t ic a l t r a n s m i s s i o n a n d p r o p o r t io n a t e m i x in g a s s u m p t i o n J . Ma t h C o m p u t M o d e l , 1 9 9 9 , 2 9 : 3

45、 1 -4 3 . C h a Y, I a n n e l l i M, Mi l n e r E . E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f e n d e m i c s t a t e s f o r t h e a g e - s t r u c t u r e d S I R e p i d e m i c m o d e l J . Ma t h e m a t i c a l B io s c ie n c e s , 1 9 9 8 , 1 5 0 : 1 7 7 -1 9 0 I a n n e l l i M. K

46、i m M Y , P a r k E J . A s y m p t o t ic b e h a v io r f o r a n S I S e p id e m ic m o d e l a n d i t s a p p r o x i m a t i o n E J 1 . N o n l i n e a r A n a l y s i s , 1 9 9 7 , 3 5 : 7 9 7 -8 1 4 . G r e e n h a l g h D . T h r e s h o l d a n d s t a b il i t y r e s u l t s f o r a n

47、e p id e m i c m o d e l w i t h a n a g e - s t r u c t u r e d m e e t i n g r a t e J . I M A J Ma t h A p p l Me d B i o l , 1 9 8 8 , 5 : 8 1 -1 0 0 . C o o k e K L , P V a n D e n D r ie s s c h e . A n a l y s is o f a n S E I R S e p i d e m i c m o d e l w i t h d e l a y s J . J Ma t h B i