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1、2.2 直接证明与间接证明,2.2.2 反 证 法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.,由A撒谎, 知B没有撒谎.,那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.,这与B撒谎矛盾.,思考？,把这
2、种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法， 同一法也是一种间接证法.,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法。,理论,反证法的证明过程：,否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件 否定结论,导 致 逻辑矛盾,反设 不成立,结论
3、 成立,例1：已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。,证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以a是偶数。,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,例题,例2： 不可能成等差数列,注：否定型命题(命题的结论是“不可能”， “不能表示为”，“不是”，“不存在” ，“不等于”，“不具有某种性质”等) 常用反证法,解题反思： 证明本题时，你是怎么想到反证法的？,反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
4、,练习：,例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 x2 )是方程的两个根.,例4：已知x0,y0，x+y2， 求证： 中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.,注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法,归纳总结：,三个步骤：反设归谬存真,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,（1）直接证明有
5、困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,唐吉诃德悖论,小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。,趣味数学,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,例1用反证法证明： 如果ab0，那么,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,补充例题,练习 求证： 是无理数。,