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1、结构有限元素分析理论 绪言 有限元方法在工程技术中的广泛应用 静、动、固、流、宏、微工程理论 直接应用（刚度强度分析） 间接应用（基础工具，优化，可靠性） 1 关于有限元方法基础 i) 有限元方法是求解数学-物理方程（偏微分方程）系统的数值逼近方法。 e.g. a. 三维空间弹性方程系统 平衡方程：3 , 2 , 1,0=jiPi ijj 记法： j j x = 张量求和记法： 3 3 2 2 1 1 xxx iii ijj + + = 几何方程： j i jiijjiij x u ujiuu =+= ,2 1 3 , 2 , 1,)( 物理方程： klijklij C= 边界条件： Diri

2、chlet: 基本边界条件：3 , 2 , 1= iuU ii D Neumann: 自然边界条件：3 , 2 , 1= iPl ijij t b. (任意截面的扭转问题) 二维 Poisson 方程： 2 2 2 2 2 yx + = ),( 2 yxfu = 2 ),(Ryx 基本边界条件：),(yxuu =, D yx),(, ),(yxg n u = , n yx),( ii) 有限元方法的分析特征 A）将一个偏微分方程系统的解可转换为一个泛函的变分问题。即： 求解泛函变分的驻值等价于有解微分方程。 （数学前提，并不是有限元本身） e.g. a) dsupdvJ iiijij = 2

3、1 b) + = N dsqud f ud x u x u J)()( 2 1 22 0=J 1 B) 有限元方法是直接求解泛函变分驻值的过程；泛函极小化序列的逼近过程。 min )(limJUJ n n = 过程思路： （Ritz 1908） = = n k kkn yxCU 1 ),(),(yx k 满足 = 函数的线性组合。 件的函数都可表成这些 即任意满足基本边界条 它们是完备的。 无关 数线性任何有限个这样的函 满足基本边界条件：u k 将Un代入式，得 )( n UJ 求J=0 的解，获得CK C)计算大型稀疏代数方程组（计算机技术的贡献） 小结： 计算机求解。 的线性代数方程组；

4、建立数值求解泛函变分 构造逼近函数； ) ) ) iii ii i 变分原理。 （固体力学中的能量泛函变分原理）变分数值计算（数值积分等）胡海昌 泛函空间、逼近理论（包括函数逼近理论） D)有限元方法的分类：位移法，力法，混合杂交法。 3有限元方法及技术的发展 i)方法本身的完善： 问题（线性，非线性）应用于各类力学或物理 拟协调元，杂交等）各种类型的单元设计（ 分原理）各种变分原理（广义变 ii)数学理论基础的完善：有限元空间的性质，逼近性，弱闭性，嵌入性，紧致性 iii)工程技术方面的完善： 面向对象的开发系统 程序生成系统 数据压缩技术， 图象处理技术）技术，前后值处理（有限元的 程）（

5、存储，超单元，解方善，程序设计技术理论的完 CAD 4本课程内容安排 i)变分法， （理论法，直接法） 9 ii)能量泛函变分原理 9 iii)单元设计（形状函数设计及逼近理论）及刚阵计算 15 iv) 大型方程组数值计算 6 5课程要求 2 i) 主要参考书 ii) 强调自觉学习，作业按时完成 iii) 与“结构有限元程序设计”协调（工程结构分析，程序设计） iv) 闭卷考试 v) 上课时间安排 （28） 6 小时/周 1 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理 i) 大自然总是以可能最好的方式安排一切（昼/夜，日/月，阴/阳，矛盾/统一， 静止/运动） ，存在着各种安排原理。 对静止事物：

6、最小能量原理，平衡原理，对称/相似原理（哲学意味） 对运动事物：能量守恒，动量守恒，熵增原理 变分原理是自然界静止状态中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理的数 学规划。 例： 光线是最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光最短路径（Heron） 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat） CBACEBAE+ 最小能量原理-导致有限元法 ii) 变分法是变分原理的数学规划方法，是计算泛函驻值的数学方法 iii) 关于泛函及泛函驻值 a) 定义：空间（集合）元素与一个实数域间的映射关系（算子） J:RrxjRX D = )(| b)举例：矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域

7、 A1 = = n i ij j a 1 max = = n j ij i aA 1 max 2 1 )( 11 2 = = n j n i ij F aA 函数的积分：函数空间数域 DxfdxxfJ k b a n =)()( 注意：自变量是集合中的元素（定义域） ；值域是实数域。 思考题： 判定下列那些是泛函： a.)(maxxff bxaAB的悬索，单位长的质量为 m。 假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在 A，B 两点， 求在平衡状态下绳索的形状。 要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。 提示：绳索在平衡状态下，它的势能应为最小值。 1.2 变分法（

8、泛函驻值的计算方法） i)关于泛函、泛函极值的提法（强调） 这里所研究的泛函一般可用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式形式表达。 所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定一定区域内的函数及其导数（或偏导 数）的积分形式，即： a. = b a dxxxfxfxfF);(“),( ),( 1 b. = dxdyyxyxfyxfyxfF yx ),);,(),(),( 2 c.泛函中的可变化函数，称为自变函数，或称宗量。 5 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意： a.应把泛函本身讲清楚（最好写出它的复式） ； b.还必须讲明白自变函数的性质，如： -自变函数的个数； -每个自变函数定义的区间

9、/区域； -这些自变函数应满足的条件（如：边界条件，微分条件等） c.除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应的自变函数 发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变小；非极值的驻值可能成为极值。 ii)泛函驻值问题与微分方程问题 泛函的驻值问题可能化为微分方程问题， 变分法的理论计算就是完成这类工作。 本章 内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。 从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比微分方程更加方便，也更为实用。特 别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性。 经 Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli 等数学

10、先驱的卓越工作，完成了 的系统方法。 但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中，即先猜想一个泛函 的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。 泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以 Ritz,Galerkin,Treft 著名。 iii)关于变分法的一个预备定理 若 f(x)在a,b上连续，若对任意满足 (a)= (b)=0 的连续函数(x),都有： = b a dxxxf0)()( 则 f(x)在a,b上处处为零。 反证法：设x0为a,b中点，在x0点f(x0)0，可取f(x0)0, f(x)在区间上连续，必存在x0的一个充分小邻域上f(x)0, x0- b a dxxxf0)

11、()( 矛盾！ )(xf不能为零；同理可证小于零情况。 该定理可推广多元变量的函数问题。 1.2.1 定积分的驻值问题 b a dxyyxF),( i/ 目的：通过简单泛函的极值分析，获得建立极值变分法的基本概念 过程步骤（把变分解转化成微分方程） ii/ 问题：在自变量 x 的区间 a , b 内决定一个函数 y(x),使它满足边界条件： ax y = =| ， bx y = =| 并使泛函： = b a dxyyxFV),( 取极值。 iii/ 如图（释 G.H） y H D B C A G x a b x dx ? 设想以取得了一条曲线 GACH 方程为：y=y(x) ? 在 GACH

12、附近另取一条曲线 GBDH,令该曲线无限接近 GACH,其方程为： )()()( 1 xyxyxy+= ? )(xy是一个无穷小量，称为自变函数的变分（曲线纵坐标的增量，x 不变） ? 相应两条曲线，获得两个泛函值： dxyyxFV b a =),( +=+ b a dxyyyyxFVV),( ? 基本定理： yy=)( 证： yxyxyyxyxyxy=)()()()()()( 11 Q 推广： yy = )( 另一条思路： （学生完成） CA ： dxyxyxy AC +=)()( BA： AAB yxyxy+=)()( DC ： )()()(dxyyxyxy CD += DB ： dxyx

13、yxy BD1 )()(+= yyy+= 1 yy=)( += b a dxyyxFyyyyxFV),(),( ),(yyxF是的连续可导函数（工程上一般如此） 。故yyx,yy及很小时， 也很小，即 V0, y y 0V 取等式两端的一阶无穷小量，即： dxy y F y y F V b a + = （可以从 Tailor 展开式去理解） V 称为泛函 V 的一阶变分，简：变分，即泛函的一阶变分是泛函。 增量中的一阶小量部分（把自变函数的变分y作为一阶小量） 变分的运算服从无穷小量的运算规则 * 另一条思路： 把求泛函的极值 转化成求普通函数的极值 记：)()()( 01 xyxyxy+=

14、10 (yy及 0 固定) dxyyyyxFV b a ),(,()( 00 += 当 v 在 y 上取极值，则相应于0=取极值 )(V现在成为普通的函数. 极值条件： 0| )( 0= = V + = + + + = = b a b a dxy y F y y F dxd d yyd y F d yyd y F d d Vd V )()( | )( 00 0 记： d d Vd V 0 | )( = = 同理推导 ? 上两式中出现，y和 y 并不能独立变化， 可想法把的有关项转换成只与 y 有关的项。 ? 取分步积分： b a b a b a uvdxvudxy y F | += 取： y

15、F u = yv= b a b a b a y y F ydx y F dx d dxy y F |)( + = 代入一阶变分式： b a b a y y F ydx y F dx d y F V|)( + = 要选定的函数满足边界条件，所以： ax y = =|0 ， bx y = =|0 = b a ydx y F dx d y F V)( ? 若方括号内的函数在区间内不为 0， 则可任选y使V大于零或小于零， 即使 V 不能获 得极值，故需方括号大于零。 即： 0)(= y F dx d y F （Euler 方程） 此即与泛函驻值等价的微分方程。 或：令0=V 由变分基本定理：yQ任意

16、连续函数，方括号中函数连续。 0)(= + y F dx d y F e.g.1. 最速降线问题： gy y F 2 1 2 + = （注不显含 x） 代入 Euler 方程，并乘以函数 Q 可得： 0)()(= + = y F Q dx d y F Q y F Q y F dx d Q y F Q 由于0= x F ，上式中只要令yQ=,把上式配成全微分形式： 0)(= y y F F dx d Note: Q y F Q y F dx yd y F dx dy y F x F F dx d + + + + = (0= x F ) Cy y F F= 代入下面具体表达式： 2 2 2 1 )

17、1 ( )1 ( 1 y v yvyyC yy + =+= + 令： ctgty =)2cos1 ( 2 sin 1 2 2 t v tdtv tctg v y= + = dttvtvdt ctgt ttv y dy dx)2cos1 (sin2 cossin2 2 = = 上式积分得： 1 )2sin2( 2 Ctt v x+= 注意：)2cos1 ( 2 t v y= 引用初始条件： x=0, y=0, 只能有： C1=0 令记：=t v 2 , 2 即设：最速降线： )cos1 ( )sin( = = y x 圆滚线（渐开）方程。 e.g.2. 在连接XY平面上两点的M0及M1的所有曲线

18、中， 要这样一条曲线使它绕OX轴旋转成的 曲面有最小面积。 （作业） 1.2.2 自然边界条件 上式中待求函数的边界值是已知的，本节放 边界值可随意变动的情况。 这里的解是： 在的区间内，决定一个函数 y(x)使泛函 bxa = b a dxyyxFV),( 取驻值 由上节的变分方程可设： b a b a y y F ydx y F dx d y F V|)( + = i/ Euler 方程仍必须成立，否则便不能找到一个y使V大于（或等于）零，在边界 值中,y也可任意，故必须有（道理同前） ： 在 x=a 及 x=b 处：0= y F () ii/ 边界条件（*）是根据取驻点的要求推倒出来的，

19、不是事先先指定的。所以，这类条件为 自然边界条件。 （或） ：在泛函的驻点值寻找中，自变函数必须满足的条件（即在满足这些条件的函数中寻 找泛函极值）称为基本/本质（Essential）边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足 的边界条件称自然边界条件(Natural)。 iii/推广至更广泛的一些问题 在的区间内，决定一个函数 y(x)使泛函 bxa )()(),(bQyaPydxyyxFV b a += 取驻值，其中 P,Q 为已知数 求 V 的变分 设： = + + =+= b a bxax b a by y F Qay y F Pydx y F dx d y F bQyaPydxyy

20、xFV)(|)(|)()()(),( 道理同前，还可以设如下边界条件： 在 , ax = P y F = bx =， Q y F = 1.2.3. 泛函的二阶变分 如函数的二阶变分用于判定函数驻值性质一样， 泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值性质 V的一阶小量部分称为的 V 一阶变分，记V V的二阶小量部分称为的 V 二阶变分，记 V 2 dxy y F y y F V + =Q Note: 0)(),( ),(),( = = = yy yyx y F y F yyx y F y F + + + = b a dxyy yy F y yy F yy yy F y yy F V 2222 2 +

21、+ = b a dxy y F yy yy F y y F )(2)( 2 2 22 2 2 2 ? 极值性质结论： 0=V V 取极大值 0 2 V 0=V V 取非极大的驻值 0 2 V 0=V V 取非极小的驻值 0 2 V 0=V V 取非极值的驻值（不定或等于零） 0 2 J可能出现负值。 C D B A (b) c. 当采用八节点四边形等参元时， 则还应注意两相 邻边或相对边不要相交。 故划分单元时， 应有结 构草图。 d. 边节点应大体在两个角点的中间部位。不能过于偏向一边，否则，在1/4 边长处，J奇异。 1.6.2 Gauss数值积分 由以上分析，计算等参元的刚度矩阵时需要随

22、时计算以下积分 4 3 4 3 7 7 8 6 6 8 1 2 1 2 5 5 (c) ( ) () + + = 1 1 1 1 , ddBDBK Te J 4321 44 4 4 33 3 3 22 2 2 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 BBBB x N y N y N x N x N y N y N x N x N y N y N x N x N y N y N x N B = = （1） 由偏导换元几变换矩阵的分析： 设： = i i i i N N J y N x N 1 （2） 由于含由项，而 B 1 J = 2221 12111 1 JJ JJ J J，所以被积函数

23、是一个很复杂的分式多项 式，即使其积分域含简单，仍然难以计算求得解析解。故一般都应用数值积分方法。下面着 重对等参元中经常应用得Gauss数值积分进行介绍。 一. 数值积分原理 求积分 ( ) = b a dfI （3） 常用的数值积分方法是矩形法可梯形法。首先，在ba,上取几个划分点（称作积分点） ，将 区域分为n+1个子区间。所谓矩形法和梯形法就是用矩形或梯形面积代替曲边梯形面积， 这时由： 矩形法： （4） () = = n k kk fI 0 梯形法： ()() = + = n k kk k ffI 0 1 2 ) （5） 显然，这两种方法误差较大，其误差出在真实f(x)曲线与其插值点

24、之间的0次或一次插值之 间所产生的面积。 为改善其精确度，当然希望用更精确的插值多项式来逼近f(x)，如Lagrange多项式。另 外，我们还应注意到上述简单的数值积分，最终都要化成以下的计算形式： ( = = n k kk fHI 0 （6） （6）式可以描写为“某些积分点的函数值() k f与这些的加权函数之积的和式” 。这样 一个计算的通式式很重要的（应当强调） 。 k H 下面用Lagrange多项式( ) n P（n个插值点）来逼近( )f用以求积分I Lagrange多项式为： ( )( )( ) () = = n k kkn fNPf 0 可能应力: 满足平衡方程(与某种外力维持

25、平衡的应力)(也含边界条件); 2. 表达式 += Udf T UdP B T d T 表示意义: 外力在可能位移上的做功等于可能内力在可能应变上做的功. 3. 恒等式 (将平衡方程代入左端,几何连续条件代入右端) -+ Ud T )( )(Ud T = Ud TT )( 4.表明: 对偶量,之间若不满足物理关系,则应该满足上述方程,实际上,上式是物理 关系的另一表征. 4.3 最小势能原理 1. 系统势能问题 2. 最小势能原理的表达 3. 证明过程 4. 变分的结果 4.4 最小余能原理 1. 余势能构造 2. 最小余能原理表述 3. 证明 4. 变分结果 4.5Hellinger-Rei

26、ssner 两类变量广义变分原理 1. 目的: 将最小余能原理中的条件极值问题转换为无条件极值问题 2. 方法: Lagrange 乘子 3. 新函的构造 4. 结论 5.两类变量广义余能原理的表述 6.两类变量广义势能原理的表述 ? 无论什么变分原理,看导数项都一阶导,存在即可.即要求自变函数连续即可. ? 广义变分原理对函数的连续性要求更宽松,可以是广义函数 第五章 弹性力学平面问题 5.1 平面变形(应变)问题 1. 假设: (体积力);(侧表面力) 0= z f0= z p 、及、与 z 轴无关 x f y f x p y p 侧表面上的位移边值条件与坐标 z 无关 2. 平面变形:

27、(在端面平衡力系(含支反力)作用下) u=u(x,y), v=v(x,y) 且 w=0 0= zyzxz vv x u x =, y v y =, x v y u vxy + = (与 z 无关) 3. 物理关系 (线弹性) 空间各向同性: = xz yz xy z y z )21)(1 ( )1 ( vv v + )1 (2 21 00000 0 )1 (2 21 0000 00 )1 (2 21 000 0001 11 000 1 1 1 000 11 1 v v v v v v v v v v v v v v v v v v zx yz xy z y x 应力张量: = jiij zzz

28、yzx yzyyyx xzxyxx gg = = 333231 232221 131211 应变张量: jiij zzzyzx yzyyyz xzxyxx gg vv vv vv vv vv vv = = 333231 232221 131211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 张量的 Voiget 记号: 11 22 33 12 13 31 1 2 3 4 5 6 故有: E=Eijkl 31 23 12 33 11 333231 232221 131211 22 i g r * lkj ggg rrr * 31 23 12 3

29、3 22 11 333231 232221 131211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v v v vv vv vv 试将： klijklij D=写成矩阵乘积形式*D= 张量的坐标变换： gg x x x x gg j i ij = 分量变换式： x x x x j i ij = 同理： gg x x x x gg j i ij = x x x x j i ij = 平面变形的物理关系： + = xy y x xy y x v v v v v v v vv vE )1 (2 21 00 01 1 0 1 1 )21)(1 ( )1 ( NOTE: z 不关心 2D 与 3D

30、 的物理关系系数不变 4平衡方程： =+ + =+ + 0 0 x xy x y xyy f yx f xy 52 平面应力问题 C2 很薄板，载荷作用于侧面，与板面平衡，载荷沿厚度方向均常 0= zyzxz 位移：u=u(x,y) v=v(x,y) 0= 物理关系： )( 1 )( 1 )( 1 xyz yxy yxx vv E v E v E = += = 0 0 1 = = = xz yz xyxy v v G v C1 NOTE: z 不关心 2D 与 3D 的物理关系系数不变 ? 平面变形与平面应力问题 ? 边量（自变函数）数目，性质相同，8 个物理关系（u,v, yxxyyx v）

31、阶数 相同，仅系数不同，可纳入一致的分析过程。 xy 53 变分原理 1 势能变分原理 （单位厚度） dsvudxdyvfufU sns c nnyx )()( rr += =0 结论：平衡方程，力的自然边界 2 余能变分原理 dsvuvdxdy nssn cu n )( rr += 0= 结果：几何连续性条件，位移边值条件 54 应力函数的一般说明 55 有限元素法 1 常应变元 节点参数， （ui,vi）共 6 个列阵： t e vuvuvu, 332211 = 线性插值 = = 3 3 2 2 1 1 321 321 3 3 2 2 1 1 321 321 000 000 000 000

32、 v u v u v u NNN NNN v u v u v u v u 导数关系： = 3 3 2 2 1 1 332211 321 321 000 000 v u v u v u x N y N x N y N x N y N y v y v y v x v x v x v vxy y x B= e ababab bbb aaa = 332211 321 321 000 000 2 1 (常应变) ii ba , 的表达式见 P 12.5 式 260 应变能 ee T ee T e T e KdxdyBDBdxdyD= 2 外力势 0)( )()( = =+= W Fdsvudxdyvfu

33、fW e e T esnsn c ny e x rr 刚度方程 FKe= 2. 高精度三角元 二次元(12 个位移参数,三个角点,3 个边中点) k d k i j = 22 22 0000010 0000001 yxyxyx yxyxyx v u 代入 = = ),( ),( 321 321 YY XX 三次元(图中共有 10 个节点) 第六章 多项式插值理论 一 区间a,b上的一般插值理论 ( 逼近论描述) (从有限原子空间出发的逼迫方法) 对于无限维函数空间的一个元素 f(x)进行逼近,关于 f(x) 的情况仅知道一部分,(1.若 干点的函数值已知;2.满足一些控制方程.) 选择一个由固

34、定基函数张成的有限维函数子空间 基函数性质: 线性无关 完备 件满足基本的函数已知条 . 3 . 2 . 1 选择 中的元素 n X)()( xPxf n 或,在一定的约束条件下,使)( xf良好的逼近 f(x),即 令)( xf= nn ccc+L 2211 良好逼近的判断 1. | f-f | = j i jy jx iy ix p p p p p p sin0 cos0 0sin 0cos = PP T T = 0 0 由局部坐标系下的平衡方程 KP T T = 0 0 由位移（节点）的坐标变换 = i i i v u usincos = = j j i i i i v u v u v

35、u sincos00 00sincos = = 0 0 代入P的表式： = 0 0 0 0 KP T T TKTP = 故 TKTK = 杆系举例： 1节点编号 2单元编号 3形成各单元的总体坐标系下刚阵 4单元拼装 5求解总体刚度方程 3平面梁元局部系下刚阵到整体系的坐标变换 i). 梁元局部系下的单元刚度平衡方程 = j jy jx i i y i x j j j i i i l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA M P P M

36、P P v u v u 4626 612612 2646 612612 22 2323 22 2323 00 00 0000 00 00 0000 = j i j i P P KK KK 2221 1211 ii)坐标变换 = i i i i i i v u yyxy yxxx v u 100 0),cos(),cos( 0),cos(),cos( = j i j i 0 0 = = = = 2221 1211 2221 1211 0 0 0 0 KK KK KK KK KK TT TT T iii) 空间梁元有更复杂的变换关系 加谈其它单元的坐标变换 二节点局部系下的刚度矩阵变换（斜支撑条件

37、的应用） i) 实际问题 ii）问题：一些节点在总体坐标系下，一些节点是在局部坐标系下，这类问题称为混合坐标 架问题， 即最终的刚度矩阵是一个混合标架下的形式。 我们的任务是从总体系下的刚阵推导 混合标价下的刚阵计算。 iii) 推导（以杆元或平面单元为例） ，总体坐标系 = 2 2 1 1 2 2 1 1 2221 1211 y x y x P P P P v u v u KK KK 若单元节点 1 取为局部坐标系，即： = = 1 1 1 1 1 1 ),cos(),cos( ),cos(),cos( v u v u yyxy yxxx v u = = 1 1 1 1 v u v u T =