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1、数 学 模 型 Mathematical Modeling,第一章 建立数学模型,开设本课程的目的： 引起注意、激发兴趣、介绍方法、培养能力,数学？,数学有没有用？ 数学不是没有用，而是不够用 现有的数学工具不能解决所有实际问题 怎么用？ 解决实际问题 数学模型 ,数学模型与数学建模,数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题
2、中抽象、提炼出数学模型的过程。,数学模型早就知,我们从小就接触过数学模型： 应用题 “甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？” 物体 “从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？” 数学竞赛 ,数学模型无所不在,日常生活 投资 决策 各行各业 经济 金融 专业研究领域 物理 计算机研究,例1. 手机电话卡的选择,已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金 问：选择哪种卡比较省钱？,例2.打水问题,每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这
3、种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。,假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。 方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分钟 方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方
4、法下总的等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟 结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。,例3.银行问题,去中国工商银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快的经历。我平均每次去取钱都至少要花上半个小时的时间，这促使我考虑是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率。 不同任务量的串行服务队列,例4.万有引力定律的发现,开普勒三大定律 行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。 行星在单位时间内扫过的面积不变。 行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝
5、对常数）。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出万有引力定律。,Proof,数学建模的一般步骤,了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 模型求解。 模型的分析与检验。,能力的培养,能力上的 锻炼 观察能力、分析能力、归纳能力和数据处理能力 在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领 Google 图书馆 创新的能力,
6、Course Goals,让同学们真正能 提高发现问题和解决问题的能力 运用知识和寻找知识的能力 学有所用，增强兴趣和信心 方法 多思考分析 实践,预备技能,数学知识 分析，代数，几何，概论，统计，优化 软件使用 Microsoft Word, Visio, LaTeX Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo 编程 C/C+ GUI Programming,Grading Policies,General homework and Large projects (?%) Final exams (?%),Grading Policies,Require
7、ments(1),模型报告书写 符合规范 文字，图表清晰 数据说明,Requirement(3),独立完成 相互帮助 团队合作 绝不允许抄袭！,Q&A,一些简单实例,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？,1.5 一些简单实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。,设砖块是均质的，长度与
8、重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料。,AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏
9、感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,例7,将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？,假设,地面为连续曲面 方桌的四条腿长度相同 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。,模型构成,
10、用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构
11、成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,和 f(), g()的确定,模型求解,思考,若方桌改为长方形桌子，结论如何？,如图，有椭圆方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,