结构动力学教程（蒋通） .pdf

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1、结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员） 1of7 结构动力学 结构动力学 ? 第一章第一章 单自由度体系 单自由度体系 ? 第二章 分析动力学基础 第二章 分析动力学基础 ? 第三章 两个自由度体系 第三章 两个自由度体系 ? 第四章第四章 多自由度体系 多自由度体系 ? 第五章第五章 连续弹性体的振动 连续弹性体的振动 ? 第六章 结构动力学中常用的数值方法 第六章 结构动力学中常用的数值方法 ? 第七章 动态子结构方法 第七章 动态子结构方法 ? 第八章 非线性振动 第八章 非线性振动 ? 第九章 模态分析与参数辩识 第九章 模态分析与参数辩识 参考书目 ? 结构动力学基础，俞载道，

2、同济大学出版社 ? 结构动力学，邹经湘，哈尔滨工业大学出版社 ? 振动力学，刘延柱，高等教育出版社 ? 分析力学，王振发，科学出版社 ? 机械振动，S.M.凯利美，科学出版社 ? 振动模态参数识别及其应用，林循泓，东南大学出版社 第一章第一章 单自由度体系 单自由度体系 1.11.1 单自由度体系的运动方程 单自由度体系的运动方程 恢复力： 惯性力： 粘性阻尼力： 振动外力： 达朗贝尔原理（动静法）建立运动方程： 运动方程的标准形式： 无阻尼固有圆频率： 阻尼比： 临界阻尼系数： 1.21.2 无阻尼自由振动 运动方程： 无阻尼自由振动 运动方程： 运动方程解： 无阻尼固有圆频率： 固有周期：

3、 ，固有频率： 初始条件： kx xm,();,();,( 12212121 yxyxyyxx ),( 21 = = 1 sin)( j j l xj xy ), 2 , 1( =j j l x y m x y F m B A 切线 dsFdWcos= dsFW B A cos = vdtFdtvFW B A t t cos = FR dt dW Rv= ，0 主动轮被动轮 F 势能的增量）到（BAUUW BAi = M zm m zm zMgzgzmW ii i ii CCiii =重心：体系势能; ),( ziyixii FFFF = dUdzFdyFdxFdW N i iziiyiixi

4、i =+= =1 )( 的全微分： 可得势函数 U： 质点系 弹性体：弹簧力为有势力；弹性力可看作为有势力 实功原理：弹性变形能等于引起此变形的外力所作的功 弹性体变形能： （材料力学中梁，柱的变形能） 2.1.5 可能位移、实位移、虚位移 2.1.5 可能位移、实位移、虚位移 设 n 个自由度完整质点系，质点 的位置向量可用广 义坐标 表示： 位置向量的改变： 当为稳定系： 可能位移：满足所有约束方程的位移 可能位移：满足所有约束方程的位移 实位移：不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件 的位移 虚位移：在某一时刻（t 保持不变） ，在约束许可情况下可能 产生的微小位移 ： （用变分表

5、示） 虚位移也定义为：将约束冻结后许可产生的微小位移。 独立虚位移数目与自由度相同。 2.1.6 广义力2.1.6 广义力 质点： 广义坐标： 位置向量： 虚位移： 受力： 力系的虚功： 令 dU = + + = N i i i i i i i dz z U dy y U dx x U dU 1 )( i zi i yi i xi z U F y U F x U F = = =; += V zxzxyzyzxyxyzzyyxx dVU)( 2 1 ), 2 , 1(Nimi = ), 2 , 1(nkqk =);,( 11 tqqqrr nii = dt t r dq q r dt t r d

6、q q r dq q r dq q r rd i n k k k i i n n iii i + = + + + + = =1 2 2 1 1 = = n k k k i i dq q r rd 1 ), 2 , 1(nkqk = = = n k k k i i q q r r 1 ), 2 , 1(Nimi = ), 2 , 1(nkqk = );,( 11 tqqqrr nii = = = n k k k i i q q r r 1 ), 2 , 1(NiFi = = = = = n k k N i k i i N i n k k k i i N i ii q q r F q q r Fr

7、FW 11 111 ), 2 , 1( 1 nk q r FQ N i k i ik = = = = = n k kk qQW 1 广义力 Qk：力系 对应于广义坐标 的广义力(标量) 力系的虚功: 计算方法：将矢量用在各坐标轴上的投影表示 计算方法：使 得到增量 、而其他广义坐标不变， （ 为力系在虚位移 上作的功） 计算方法：若力系 为有势力，而系的势能为 U 由于， 例题 2-1 求双摆外力 P1,P2 对应于广义坐标 的广义 力 Q1,Q2 方法：N=2 方法： 求 Q1 时给 微小的增量 ，而令 不变。 质点 m1,m2 的虚位移均为 力系在该虚位移下作功： 求 Q2 时给 微小的增

8、量 ，而令 不变。质点 m1 的 虚位移为零、质点 m2 的虚位移为 i F k q = = n k kk N i ii qQrFw 11 = + + = = N i k i iz k i iy k i ix N i k i ik q z F q y F q x F q r FQ 11 k q k q kkk qQW= k k k q W Q = k W k q i F i zi i yi i xi z U F y U F x U F = = =; k N i k i ik i ik i i N i k i iz k i iy k i ix N i k i ik q U q z z U q y

9、 y U q x x U q z F q y F q x F q r FQ = = + + = = =111 = + + = = N i k i iz k i iy k i ix N i k i ik q z F q y F q x F q r FQ 11 21, 2211 ,=qq 22112121 ; 0PFPFFFFF yyzzxx = 22112111 coscos;cosllyly+= 22 2 2 11 1 2 2 1 11 1 1 sin;sin; 0;sin l y l yy l y = = = = )2 , 1( 2 2 1 1 = + =k q y P q y PQ kk

10、k 2222 11211 sin sin)( lPQ lPPQ = += 1 m o 1 l 2 m 2 l 1 2 x y 1 P 2 P 1 1 1 1 m o 1 l 2 m 2 l 1 2 x y 1 P 2 P 2 2 2222 11211 sin sin)( lPQ lPPQ = += 1 1 2 111 l= 111211121111 sin)(sinsinlPPPPW+= 1121 1 1 1 sin)( lPP W Q+= 1 m o 1 l 2 m 2 l 1 2 x y 1 P 2 P 1 1 1 2 2 1 222 l= 力系在该虚位移下作功： 方法： 设 P1,P2

11、为质点 m1,m2 的重力、即有势力。取 m1,m2 在垂 直线上的位置为零势能，任意位置的势能： 2.22.2 虚功原理 2.2.1 理想约束 虚功原理 2.2.1 理想约束 约束反力被动力；此外主动力 约束反力 在任何虚位移 上所作的元功之和为零 的约束： 理想约束 光滑表面；光滑的理想铰；无重刚杆等 2.2.2 虚功原理 2.2.2 虚功原理 虚功原理：非自由系静力学最普遍的原理+达朗贝尔原理非自由系动力学 最普遍的原理 虚功原理：N 个质点具有稳定双向理想约束的体系，原处于静 止状态。此体系保持平衡的充要条件：主动力 在任何虚位移上所作的元 功之和为零。 虚功原理功能： （1）已知虚位

12、移，求平衡条件。 （2）已知平衡力系，求位移。 2.2.3 虚功原理的其他形式 （一）以广义力表示的虚功原理 2.2.3 虚功原理的其他形式 （一）以广义力表示的虚功原理 根据广义力的定义，对 n 个自由度的质点系： 虚功 虚功原理：n 个自由度的质点具有稳定双向理想约束的体系，原处于静止状 态。此体系保持平衡的充要条件：与主动力对 应的所有广义力为零。 （二）有势力的虚功原理 （二）有势力的虚功原理 若所有的主动力均为有势力，则 考虑势能的一阶变分： 虚功原理：n 个自由度的质点所受的主动力均为有势力且具有稳定双向理想 约束的体系，原处于静止状态。此体系保持平 22222222 sinsin

13、lPPW= 222 2 2 2 sin lP W Q=1 m o 1 l 2 m 2 l 1 2 x y 1 P 2 P 2 2 k k q U Q = )cos1 ()cos1 ()cos1 ( 22112111 +=llPlPU 222 2 21121 1 1 sin;sin)( lP U QlPP U Q= =+= = 1 m o 1 l 2 m 2 l 1 2 x y 1 P 2 P i R), 2 , 1(Niri = 0 1 = = ii N i rR 0 1 = = ii N i rF = = n k kk N i ii qQrFw 11 ), 2 , 1(00 1 njQqQ

14、j n j jj = = ), 2 , 1(0njQj = ), 2 , 1(nj q U Q j j = = = = = n j jj n j j j qQq q U U 11 0=U 衡的充要条件：此体系的势能为平稳值 例题 2-2 求半径 R 光滑球形槽内用 长的无重刚杆连接 的质点 A,B（重 P1，P2）的平衡位置 以图示的角 为广义坐标，令通过 O 点 的水平面为势 能零位置。体系的势能为： 2.2.4 DAlembert 原理和动力学普遍方程 2.2.4 DAlembert 原理和动力学普遍方程 N 个质点的质点系处于运动状态，第 i 个质点受主动力 、 约束反力 作用；其运动加

15、速度 、质量 mi 。 牛顿第二定律： 理想约束： 代入 动力学普遍方程： 动力学虚功原理：具有理想约束的质点系运动时，在任意瞬间，主动力和惯 性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 当体系具有 n 个自由度，用广义力和广义坐标表示： Sj 为与广义坐标对应的广义惯性力。 即 DAlembert 原理（动静法） 例题 2-3 刚杆 AB 与 BC 用铰 B 相连。AB 的质量密度为 不计 BC 的质量。弹簧 刚度分别为 、阻尼器阻尼常数分别为 。轴向力 N 不随时间变化。用 虚功方程列出运动方程。集中质量 m2，动荷载 p(x,t)。 解：取 B 点的竖向位移 为广义坐标。 l 2 A B l

16、 2 R 1 P 2 P o sin)(cos)( )sincos()sincos( 21 22 21 22 2 22 1 lPPlRPP llRPllRPU += += 0= = U U0cos)(sin)( 12 22 21 =+= lPPlRPP U 22 21 12 )( )( lRPP lPP tg + = i F i R i a ), 2 , 1(NiamRF iiii =+ 0 1 = = ii N i rR iiii FamR= 0 1 = = ii N i rR 0)( 1 = = iiii N i rFam ), 2 , 1(00)( 1 njSQqSQ jjjjj n j

17、 =+=+ = ), 2 , 1(0njSQ jj =+ m 21,K K 21,c c )(tZ )(),(t a x ptxp= m N aa a aaaa2 1 c 2 c 2 K 1 K 2 m x A B C 外力 N 与 为主动力。弹性力 、 和阻尼力 、 作为主动力。惯性力 、 和惯性力矩 ，如图所示。 *不考虑 N。虚功： *考虑 N。计算虚位移 下点 C 的水 平位移 。施加图示 的平衡力系（单位力 1 和杆端力 偶 ） 利用虚功原理： 小位移条件： N 作的功： 几何刚度 例题 2-2 求简支梁外力、弹性力对应于广义坐标 的 广义力 梁的挠度曲线： 广义坐标： 外力用方法：

18、 ),(txpZK1 4 3 ZK2 3 1 Zc ? 2 Zc ? 14 1 Zma ? ? 2Zm ? ? 23 2 Zma a Zam J ? ? ? ? ? ? 2 3 0 3 4 412 )4( = = 0)( 3 16 9 1 16 9 169 4 3 212 1 2 = + + + +ZtapZKKZc c Zm ma ma ? ? )( 3 64 )(),( 2 4 0 4 0 tpatpxdx a x xdxtxp aa = 广义荷载 广义刚度 广义阻尼系数 广义质量 = += += += =+ )( 3 16 )( 9 1 16 9 16 9 4 3 4 )()()()(

19、* 21 * 2 1 * 2 * * taptP KKK c c c mmam tPtZKtZctZm ? ? m N aa a aaaa2 1 c 2 c 2 K 1 K 2 m x A B C )(),(t a x ptxp= a aa a A B C Z Zc ? 14 1 Zc ? 2 Zma ? ? 2ZK2 3 1 Zm ? ? 23 2 ZK1 4 3 Zma ? ? 2 3 4 Z 4 3 Z 3 1 Z 4 1 Z Z 3 2 Z 2 1 Z a4 1 Z e Z1 A B C a4a3 1=P 1=P e Z Z ZZ 01= BCAB ZZe Z a Z eaZaZ BC

20、AB 12 7 3/;4/= Z a NZ WN 12 7 = a N KKK 12 7 9 1 16 9 : 21 * +=广义刚度 j q *, jj QQ = = 1 sin)( j j l xj qxy ), 2 , 1( =jqj j j j q W Q = 令虚位移： 弹性力用方法： 2.32.3 拉格朗日方程 2.3.1 拉格朗日广义坐标运动方程 拉格朗日方程 2.3.1 拉格朗日广义坐标运动方程 根据DAlembert原理： 广义力： 。推广到广义惯性力。 i质点的加速度： 考虑完整系。位置向量不含 及 重要恒等式重要恒等式 另一方面， 比较后得 ；将 及 代入 体系动能： ；

21、 ； 故： ；代入 拉格朗日广义坐标运动方程： l xj qy jj sin= = += s i i i j l jj P l cj qdxxp l xj qW 1 0 sin)(sin = += s i i i l j j j P l cj dxxp l xj q W Q 1 0 * sin)(sin () = = 1 42 3 4 0 2 4 2 1 j j l jq l EI dxyEIU 4 3 4 * 2 jq l EI q U Q j j j = = l x y x y 1 c 2 c 3 c 1 P 2 P 3 P )(xp ), 2 , 1(0njSQ jj =+ ), 2 ,

22、 1( 1 nk q r FQ N i k i ik = = = ), 2 , 1(Ni dt rd a i i = ? = + = = = N i j i ii N i j i ii N i j ii i N i j i iij q r dt d rm q r rm dt d q r dt rd m q r amS 1111 ? ? = + = N i j i ii N i j ii i N i j i ii q r dt d rm q r dt rd m q r rm dt d 111 ? ? ? ，得到动能为中的与变化： ii j i j i rr q r q r dt d ? i q

23、? ),( 1nii qqtrr = t r q q r r i n k k k i i + = =1 ? ? j i j i q r q r = ? ? j i n k k jk i j i qt r q qq r q r + = = 2 1 2 ? ? + = = j i n k k j i kj i q r t q q r qq r dt d 1 ? j i j i q r q r dt d = ? j i j i q r q r dt d = ? j i j i q r q r ? ? = = + = N i j i i N i j i iij q r dt d rm q r rm d

24、t d S 11 ? = + = N i j i ii N i j i iij q r rm q r rm dt d S 11 ? ? ? ? ? ( ) = = N i ii rmV 1 2 2 1 ? = = N i j i ii j q r rm q V 1 ? ? = = N i j i ii j q r rm q V 1 ? ? ? ? jj j q V q V dt d S + = ? 0=+ jj SQ 优点： （1） 牛顿的矢量力学物理坐标确定位置物理量为矢量对各质（刚）体考 虑质体之间的相互作用并解除约束形成分离体各分离体的运动方程复杂体 系求解困难。 （2）分析力学广义坐标

25、确定位置物理量为标量用能量描述物体的运动 复杂体系求解方便 例题 2-4 半径r、重P的匀质圆柱在半径R的圆柱槽内滚动不滑动。 分析圆柱的运动。 取广义坐标 ，以 作为势能的零位置。主动力 P 的广义力 为 体系的动能为： 代入 得运动方程： 微幅振动 振动圆频率 2.3.2 有势力的拉格朗日方程 2.3.2 有势力的拉格朗日方程 主动力为有势力时 代入 由于势能非广义速度的函数，有 令拉格朗日函数 用拉格朗日函数表示的拉格朗日方程： 例题 2-5 求图示体系运动方程。斜面按规律 运动。 体系为完整、非稳定质点系。主动力 mg 为有势力。 质点 m 的坐标： 动能为: 以 x 轴为势能零位置

26、), 2 , 1(njQ q V q V dt d j jj = ? P r R r rR rR = +=)( 222 2 1 2 1 2 1 r g P JJmvV=；? 0= sin)()cos1)(rRPrRP U Q= = = 22 2 222 )( 4 3)( 2 1 2 1 )( 2 1 ? ? ?rR g P r rR r g P rR g P V= += Q VV dt d = ? 0sin )(3 2 = + rR g ? ? 0 )(3 2 = + rR g ? ? )(3 2 rR g p = j j q U Q = j jj Q q V q V dt d = ? 0=

27、+ jjj q U q V q V dt d ? 0= j q U ? UVL= 0= jj q L q L dt d ? )(t ? ? ? ? ? ? sinsin,cossin coscos,sincos lyly lxlx =+= +=+= )cos(2 2 1 )( 2 1 22222 +=+=llmyxmV? ? ? ? ? )cossin(lmgmgyU= 将 代入 得运动方程： ： 当 （水平运动） 微幅振动： 例题 2-6 求图示二层剪切框架运动方程。 横梁只计质量 、刚度无穷大；柱不计质量、层刚度为 弹性力为有势力。设 的水平位移为 ，动能与势能分别为 将 代入运动方程 ：

28、 2.3.3 部分为有势力的拉格朗日方程 2.3.3 部分为有势力的拉格朗日方程 主动力部分为有势力、另一部分不是有势力时的 拉格朗日方程： 或 为非有势力对应的广义力。 例题 2-7 求图示体系运动方程。 荷载 、轴力 N 及阻尼力为非有势力，在虚位移 上的虚功: 相应的广义力： UVL= 0= = LL dt d q L q L dt d jj ? 0sin)cos(=+ l g l ? ? ? ? 0= 0sincos=+ l g l ? ? ? ? ? ? ? ?=+gl 21,m m 21,K K 11 wm， 1 K 2 K 22,w m 21,m m 21,w w 2 22 2

29、211 2 22 2 11 2 1 )( 2 1 )( 2 1 wKwwKU wmwmV += +=? UVL= 0= jj q L q L dt d ?0)( 0)( 2221122 21111 =+ =+ wKwwKwm wwKwm ? ? ? ? * j jjj Q q U q V q V dt d = + ? * j jj Q q L q L dt d = ? * j Q A B C a 3 8 a3 Zc? 1 4 1 N e Z Z a 3 4 x Zc ? 2 )(8tap m N aa a aaaa2 1 c 2 c 2 K 1 K 2 m x A B C )(),(t a x

30、 ptxp= ),(txpZ ZtapZZcZZcZ a NZ ZtapZZcZZceNW )( 3 16 16 1 12 7 3 2 )(8 4 1 4 1 21 21 += += ? ? )( 3 16 16 1 12 7 * 21 tapZcZc a NZ Q+= ? 2 2 2 2 2 4 0 2 9 2 3 2 3 2 2 1 42 1 ZmZamZmdxZ a x mV a ? += + = 体系的动能： 体系的势能： 代入 得 例题 2-8 求图示体系运动方程。 以平衡时 的质心位置为坐标原点，取 为广义坐标， 质点 的坐标为： 重力 和弹簧反力 为有势力，以平衡位置为势能零位置

31、，势能为 阻尼力为非有势力，它对应于广义坐标 的广义力分别为 体系的动能为： 代入 得 2.3.4 拉格朗日乘子法 2.3.4 拉格朗日乘子法 非完整系统：广义坐标数 n系统自由度数 N 有时现实问题中存在：广义坐标数 n自由度数 N （求解方程数未知数数）的完整系统。 此时的广义坐标必然线性不独立，诸虚位移 也不独立。 n 个广义坐标： （n 个拉格朗日方程） m 个约束方程： （需补充 m 个未知数） 广义约束力为 ，根据虚功原理满足： 约束方程对每个坐标 有变分 ，则有 2 2 2 1 2 2 2 1 18 1 32 9 3 1 2 1 4 3 2 1 ZKZKZKZKU+= + = *

32、 j jjj Q q U q V q V dt d = + ? * 21212 21212 )( 3 16 12 7 9 1 16 9 16 1 9 4 3 4 )( 3 16 16 1 12 7 9 1 16 9 9 4 3 4 PZKZcZm tapZ a N KKZccZmam tapZcZc a NZ ZKZKZmZam =+ = + + + +=+ ? ? ? ? ? ? ? 2 m 1 m o l y c Kx gm2 1 m o l y 1 x c? 1 Kxx 1 x ),( 222 yxm 1 m= 211 ,qxq 2 m sincos cos,sin 22 1212 ?

33、? lyly lxxlxx = = ， gm2 1 Kx 2 12 2 1 )cos1 (KxglmU+= , 1 x0 * 21 * 1 =QxcQ? cos 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 12 22 2 2 121 2 2 2 22 2 11 ?x lmlmxmmyxmxmV+=+= * j jjj Q q U q V q V dt d = + ? 0sincos 0sincos)( 212 2 2 11 2 22121 =+ =+ glmx lmlm Kxxclmlmxmm ? ? ? ? ? ? q n qqq, 11 ), 2 , 1(0, 11 mjqqq nj =

34、）（ i C = = n i ii qC 1 0 i q i q = = = + + + = n i i i j n n jjj j mjq q q q q q q q 1 2 2 1 1 ), 2 , 1(0 将上式乘以拉格朗日乘子 ，得 将上述 m 个方程相加仍为零： 将之与广义约束力虚功 相减， 并交换求和次序下式成立 若选择广义约束力 则诸虚位移 可看成独立。 根据 n 个拉格朗日方程 与 m 个约束方程： 联立可求解 例题：一端固定、一端简支梁，受均布动荷载作用。求梁振 动近似解。 假设梁的动挠度为： （设 2 个广义坐标为 ） 满足 边界条件。 约束条件固定端转角为零： 。代入得一

35、个约束条件 三个方程，二个未知数问题。无法求解。 动能、势能计算 广义力计算 j = = n i i i j j mjq q 1 ), 2 , 1(0 = = m j n i i i j j q q 11 0 = = n i ii qC 1 0 = = n j i m j i j ji q q C 11 0 ), 2 , 1( 1 ni q C m j i j ji = = = q ), 2 , 1( 1 niQ q QC q L q L dt d m j i i j jii ii =+ =+= = ? ), 2 , 1(0, 11 mjqqq nj = ）（ 独立变量，共个和个)(mnmqn

36、+ x y 常数=EIm, l )(),(tf ptxp= N )()( 21 tqtq， l x tq l x tqtxy 2 sin)(sin)(),( 21 += 0),(, 0=txylxx 0 0 = =x x y 02),(0 2 )()( 212121 0 =+=+= = qqqq l tq l tq x y x () 2 2 2 1 0 22 221 22 1 4 2 sin 2 sinsin2sin 2 1 qq m dx l x q l x l x qq l x qmV l ?+= += = ll dxyNdxyEIU 0 2 0 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ()(

37、) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 3 4 0 2 2 2 2 221 2 2 2 2 2 2 1 0 2 4 4 2 221 4 4 2 4 4 2 1 4 4 16 4 2 cos 42 coscos 4 cos 2 2 sin 162 sinsin 8 sin 2 1 qq l N qq l EI dx l x l q l x l x qq ll x l q N dx l x l q l x l x qq ll x l qEIU l l += + += 2 ) ( 2 1 yN 广义约束力计算 代入， 得 联立求解 2.4 哈密尔顿原理 2.4.1 变分的概念： 2.4 哈密尔顿原理

38、 2.4.1 变分的概念： 微分：函数的极值，自变量是 x； 变分法：泛函的极值，自变量是函数。 “最速落径”问题： 求连接 A,B 的曲线，使质点从 所需的时间最短。 自变函数：y(x)；泛函： y(x)的邻近曲线： 自变量 x 不变情况下，由于曲线 y(x)的变化而引起的纵坐标 y 的变化变分 2.4.2 泛函的变分 2.4.2 泛函的变分 与图两条曲线对应的两个泛函： 此处有图,见课件 泛函的一阶变分： 2.4.3 欧拉（Euler）方程 2.4.3 欧拉（Euler）方程 0),( 2 )( 22 sin),(sin),( 211 0 2 0 1 =+= Qtf p l Qqtf p

39、l dx l x txpqdx l x txpqW ll ), 2 , 1( 1 ni q C m j i j ji = = = )2 , 1( 1 = =i q C i i 02),( 2121 =+=qqqq 1 2 1 121 1 1 11 2, = = = q C q C )2 , 1( 1 = = = i q C q L q L dt d m j i j ji ii ? 02 2 2 8 2 )( 2 22 12 2 3 4 2 11 2 3 4 1 = + = + q l N l EI q lm tf p l q l N l EI q lm ? ? ? ? 02 21 =+ qq )(),(),( 121 ttqtq BA + = + = + = a dx gy y xyTdx gy y dtgydx dt y dt ds v 0 222 2 1 )( 2 1 2 1 )(xyT )()()( * xyxyxyy+