织物组织的群表达方法.pdf

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1、第3 l 卷第6 期纺织学报V 0 1 3 1 ，N o 6 2 0 l O 年6 月 J o u m a lo fT e x t i l eR e s e a r c h J u n 。2 0 1 0 文章编号：0 2 5 3 9 7 2 l ( 2 0 1 0 1 0 6 0 0 4 8 0 4 织物组织的群表达方法 金耀1 ，张聿2 ( 1 浙江理工大学信息电子学院，浙江杭州3 1 0 0 1 8 ；2 浙江理工大学服装学院，浙江杭州3 1 0 0 1 8 ) 摘要将代数中群的概念引入织物组织，提出织物组织的一种群表达方法。该方法基于集合理论，根据织物组 织纬纱排列序号集与经浮点排列序号

2、集的映射关系，采用置换方法定义织物组织，建立其数学模型。在此基础上， 以纬循环数相同的组织为研究对象，通过将其划分成I 类与类组织，以及定义这2 类组织间的复合运算关系，探 讨在这种运算关系下2 类组织的群结构及其运算方法，并结合具体实例对织物组织的群表达方法进行相关讨论， 从而为组织的数字化表达模式探索新的途径。 关键词织物组织；集合；群；置换；轨道组织 中图分类号：T S1 0 5 1 l文献标志码：A S t u d i e so nf a b r i cw e a V er e p r e s e n t a t i o nb yg r o u pt h e o r y J I NY

3、a 0 1 。Z H A N GY u 2 ( 1 c o 慨e 旷坳舰m 函n & 层如c t r o n 如，Z _ I l 咖增S c i 一死曲踟面e m 妙，舭呼I I o u ，肌q 洳增3 1 0 0 1 8 ，册i w ； 2 c o Z 垤e 矿，协 如n ，肌巧施昭蹦一 如觇乃时，舶粥如u ，秭咖增3 l o o l 8 ，珊i 阳) A b s t r a c tT h i sp a p e ri n t r o d u c e 8g m u pi n t 0f a b r i cw e a v ea n dp r o p o s e san e wf a b r i c

4、w e a v er e p r e s e n t a t i o n m e t h o db yg r o u pt l l e o r y F i r s d y ，o nt l l eb a s i so fs e tt h e o r ya n dm a p p i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt | l es e to f w e f ts e r i a lo r d e 瑙a n dt h es e to fw a r pn o a ts e r i a lo r d e 璐，i tu t i l i z e sp e m l

5、 u t a t i o nt od e f i n ef a b r i cw e a V e ，a n d b u i l d 8i t sm a t h e m a t i c a lm o d e l S e c o n d l y ， i tt a k e sw e a v e sw i t ht h es a m ew e f tr e p e a ta st h em a i no b j e c t i n v e s t i g a t e d ，c l a s s i f i e st h e mi n t ow e a v eI a n dw e a v e，a n dd

6、 e f i n e sc o m p o s i t eo p e r a t o rb e t w e e nt t l e s e t w ot y p e 8o fw e a v e 8 T h e ni ti n v e s t i g a t e st h eg r o u ps t m c t u 弛a n d 陀l a t i V eo p e r a t i o n 8o ft h ec o r r e s p o n d i n g t y p eo fw e a v e su n d e rt h eo p e m t o rd e f i n e d F i n a l

7、 l y ，i td i s c u s 8 e 8t h em e t h o do ff a b r i cw e a V er e p r e s e I I t a t i o n w i t hs o m ee x a m p l e s T h em e t h o de x p l o r e san e wd i g i t a lw a yt o 陀p r e s e mf a b r i cw e a V ec o n 8 e q u e n t l y K e yw O r d s f a b r i cw e a v e ；s e t ；g r o u p ；p e 珊

8、u t a t i o n ；o r b i t a lw e a V e 织物组织是影响织物结构、外观以及物理机械 性能等方面的重要因素，因此，织物组织设计是 纺织品设计中的一项重要内容和研究课题。 织物组织的传统表示方法常以分式为基础，结 合汉字或符号加以说明。文献 2 通过定义新符号 并拓展传统符号，探讨了一种准确、简洁的表示方 法。在纺织品设计的数字化发展趋势下，不少学者 提出了各种不同的数学模型来表示和设计织物组 织。其中，布尔矩阵( 亦称组织矩阵) 已成为描述织 物组织的有力工具。例如，文献 3 引入基本纹板 概念和基本纹板阵，运用分解与综合算法设计组织； 文献 4 通过引入旋转设

9、计法的数学原理和相关算 法变换组织矩阵以获得新组织；文献 5 根据基础 组织的特点，借助多臂织物C A D 系统设计多种纹板 连接和穿综进行组合，自动生成组织；文献 6 基于 图像变换理论，对组织矩阵进行各种仿射变换获得 新组织；文献 7 根据组织矩阵的映射关系，构造二 元域上7 种基本映射构成的结合代数，丰富了组织 收稿日期：2 0 0 9 一0 5 0 4修回日期：2 0 0 9 一l O 1 3 基金项目：浙江省科技计划项目( 2 0 0 7 C 2 1 1 6 0 ) ；浙江省新苗人才计划项目( 1 4 5 3 0 0 3 1 6 6 0 8 1 7 ) 作者简介：金耀( 1 9 8

10、4 一) ，男，硕士生。主要研究方向为计算机图形学与辅助设计、纺织品设计。张聿，通讯作者，E m a i l ： h z z y l l l l l 1 6 3 c o m 。 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 第6 期 金耀等：织物组织的群表达方法 4 9 变化的数字化手段。有学者尝试了一些新型的组织 设计方法。例如：用全息组织的概念，结合数码设计 技术进行织物组织设计哺- ；基于分形几何学提出运 用L 系统设计织物组织一1 。 本文尝试将代数学中

11、“群”的概念引入织物组 织，用“置换”定义组织，并由此通过讨论织物组织 的群结构、运算方法以及用“群”表达织物组织的相 关实例，初步探索一条应用“群”方法进行织物组织 设计的具体途径。 1 织物组织“置换“ 的定义 设组织a 的经纬循环数分别为n 、m ，经纱排列 序号的集合l ，= ，J 7 、r I1 ，l ，纬纱排列序号 的集合x = 戈I1 菇m ，第i 根纬纱上经 浮点排列序号的集合为互。根据组织学的描述习 惯，规定浮点的排列序号在纬纱方向上从左至右增 大，在经纱方向上自下而上增大，如图1 所示。 纬 图l织物组织经纬纱方向上的排列序号 F i g 1 s e r i a lo r

12、d e 鸺o nw a r pa n dw e f ty 啪so f 铀r i cw e 吖e 由组织纱线的交织规律可知，集合z i 具有以下 性质： 1 ) z 。中元素是1 ，2 ，l 的组合，即Z ；2 ； 2 ) 每根纬纱的经浮点数至少有1 个且不大于 m l ，因此，Z i 多，y ，Vi X ； 3 ) 每根经纱的纬浮点数至少有1 个且不大于 n l ，因此，UZ = y ，nZ i = 痧。 设形为纬纱排列序号集的一个集族，形= 茗 I 茗x ，_ ，为经浮点排列序号集的一个集族， ，= Z 2 IZ 少，y ，则织物组织经纬纱线沉 浮的规律确定了一个从形到，的映射a ，即a ：

13、 麓_ o 为方便讨论，根据映射a 的原像集形与像集J 的关系将织物组织分成2 类。 I 类组织：形= _ ，即映射a 是自映射。这类组 织的经纬循环数相同，且每根经纬纱线仅交织1 次。 类组织：矽_ ，即非l 类组织的所有其他组 织。这类组织中至少有1 根纬纱对应多于1 个经 浮点。 由置换的定义驯可知，l 类组织因映射口是自 映射，因此可用置换定义。现拓展置换的概念，使任 意组织也用类似置换的表示法表示。设组织乜对 应于第i ( i = 1 ，2 ，1 ) 根经纱上的纬浮点排列 序号集是a ( i ) ，则组织a 便可表示为 a ：f 12 f n 1 、a ( 1 )口( 2 ) a (

14、 f ) a ( ，1 ) 为书写方便，异于置换的轮换表示方法引，把 组织a 简记为a = ( a ( 1 ) ，口( 2 ) ，a ( n ) ) 。 例如，图l 所示的5 枚缎纹组织，映射a 的原像 集形与像集_ ，相同，因此它是I 类组织；并且a 的 映射关系是a ( 1 ) = 2 ，a ( 2 ) = 5 ，a ( 3 ) = 3 ， a ( 4 ) = 1 ，a ( 5 ) = 4 ，于是该5 枚缎纹组织可记为 ( 2 5 3 1 4 ) 。类似地，图2 所示的4 个组织自左向右 便可分别表示为( 2 4 1 3 ) 、( 3 2 ( 1 4 ) 3 ) 、( ( 3 5 ) (

15、1 4 ) ( 3 5 ) ( 2 6 ) ) 和( 4 ( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 4 2 ) 。其中，组织1 是 I 类组织，其他3 个组织属于类组织。 豳髓田园 组织I组织2组织3组织4 图2 不同的组织 F i g 2 D i f k 聆n tt y P e Bo fw e a v e B 2 I 类组织的群结构 由置换的性质可知，I 类组织可作为一种算子， 作用于其他组织而实现组织间的运算。即I 类组织 可以与具有相同纬纱循环数的另一组织进行复合运 算“。州m 1 ，亦即乘法运算。 设2 个I 类组织分别为a = ( a ( 1 ) ，a ( 2 ) ， ，a ( ，1 )

16、) 和| B = ( 卢( 1 ) ，卢( 2 ) ，p ( ，1 ) ) ，则 口。厣得到1 个新组织。这种复合( 乘法) 运算有着鲜 明的意义：组织a 的第i 根纬纱的经浮点排列序号， 恰是组织p 中第( Ea ( i ) ) 根纬纱对应的经浮点 排列序号集。 显然，经纬循环数为n 的I 类组织全体为n 根 纬纱序号的重排列集合，共有n ! 个不同组织。于 是循环数为，l 的I 类组织全体构成对称群s 。对称 群S 。的任意一个子群称为置换群H0 | 。观察发现， 在每个置换群中都有：1 ) 任意2 个组织都能通过复 合( 乘法) 运算得到在该群中的组织；2 ) 单位元是 万方数据 PDF

17、 Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 5 0 纺织学报 第3 1 卷 l - 斜纹组织；3 ) 任意组织的逆元是关于原组织 ，I l 的对角线的转置。 图3 示出2 4 个组织是循环数为4 的I 类组织 全体，即S ，其中组织1 是单位元。 田留日嚣田囝 234 56 口口舀日目田 醑田酗田田圈 1 92 02 l2 22 32 4 图3 循环数为4 的I 类组织全体 F i g 3 W h o l em e m b e 瑁o fw e a v e1 w i t h 弛

18、p e a t4 3 类组织的群结构构造 类组织之间不能像I 类组织直接进行复合运 算，但类组织可通过I 类组织群的作用实现置换。 将I 类组织构成的置换群G 作为变换群们，作用于 类组织膏，所形成新的组织集合鼠，即为原类组 织茗的轨道0 1 ，称之为组织茗在C 作用下的“轨道 组织”。 根据映射a 的类型，把类组织细分为2 类： 1 ) 无重复纬纱组织。映射a 是单射，即任意 2 根纬纱i 、，都有a ( f ) a ( _ ) ，此时，任意2 根纬 纱上的组织点分布均不相同。 2 ) 有重复纬纱组织。a 不是单射，即至少存在 2 根纬纱i 、，有口( f ) = 晓( _ ) ，此时，存在

19、组织点分 布相同的纬纱。 由定义知，无重复纬纱组织菇，经I 类组织群的 子群G 作用生成的轨道组织酝，对于V 下。，7 。G ， r 。f 6 ，均有r 。茹r 6 茹，因此生成I G l 个不同组织。 对于有重复纬纱组织茗，设其循环数为n ，有s 根 有重复的纬纱，重复数分别为r 。，r ：，一，经S 。作 用后，其轨道的势叫I 仇I = r 了型_ ，即 7 l ! 。7 2 ：。r ，! 生成I 酝1 个不同组织。这类组织经I 类组织中元 素| r 。，r 6 ，f 。f 6 作用，可能有f 。茹= r 6 舅，亦即生成 同一个组织，见图4 。2 个不同的I 类组织作用于组 织( ( 2

20、 4 ) ( 1 5 ) 3 ( 2 4 ) ( 1 5 ) ) ，均生成组织( ( 2 4 ) ( 1 5 ) 3 ( 1 5 ) ( 2 4 ) ) 。 田。国= 西 田。目= 西 图4 某组织在不同算子作用下生成同一组织 F i g 4Aw e a v et 饱n 8 f o 珊8t os a m ew e a v e u n d e ra c t i o no fd i f f e r e n to p e r a t o 鸺 为讨论鼠与G 的关系，作映射 G - 繇。在 任意无重复纬纱的组织并的轨道晚上定义1 种乘 法运算“幸”：V 茗I ，茹2 酝，| 唯一的g l ，9 2 G

21、，使 得g l 茗= 菇I ，9 2 牟= 茹2 ，贝9 髫l 掌茹2 = g I 菇木9 2 菇= g 。g ：茗。由于是双射，且满足厂( g 。) 宰( g ：) = g 。g ：茗= g ( g ：茗) = 厂( g 。g ：) ，于是，是一个同构映 射。由于同构的2 个集合代数结构相同，因此，无重 复纬纱组织的轨道组织也构成一个群。 对于有重复纬纱组织的轨道鼠，若有r 。髫= _ r 5 髫，其中| r 。、r 6 G ，r 。r 6 ，引入上述乘法毫运算 是不合理的。事实上，若将C 中所有满足g j 茹= 茗； 的g ；，作为一个等价类 g ； ，于是有 g ； 算= 石；。而 毋

22、g 菇 g ；毋 茹，g G ，此时2 个等价类相 乘的结果与等价类中元素的选取有关，即不是唯一 的，因此，重复纬纱组织的轨道一般不形成一个群。 4 织物组织的群表达实例 定义了组织的复合( 乘法) 运算，并将群引入组 织，使组织能像代数那样方便地进行运算。本文简 单介绍2 个实例。 实例1 ，由1 个组织生成其他新组织。例如组 织( 2 ( 1 3 ) ( 2 4 ) 3 ) ，经图3 中4 阶对称群S 。作用后 生成该组织的轨道组织，见图5 。 髓层目酲嚣醯 盔爵留甚目酲 圈匿舀踞圈圈 固圈嚣目田田 1 92 02 l2 22 32 4 图5某组织在4 阶对称群作用下生成的轨道组织 F i

23、 g 5 0 r b i t a lw e a v e 8o f8 0 m ew e a v eu n d e ra c t i o no fS “ 他日”目M 羽器圈B 酗 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark 第6 期金耀等：织物组织的群表达方法 。5 l 实例2 ，将某些子群作为一类具有特定意义的 算子，应用于组织的设计。例如图6 中2 组图都是 以第1 个组织为生成元的4 阶循环群： 口1 ，口2 。 口，口4 ，其中口= 口。口。，。口，即i

24、个n 连续复合 ( 相乘) 的结果。图6 ( a ) 中4 个组织在组织学意义 上是表示同一斜纹组织，但它可作为一种“移位”算 子：其后每个组织，依次是将前一组织的最后1 根经 纱挪到第l 根经纱之前变换所得。图6 ( b ) 中4 个 组织在组织学意义上是表示不同类型的l 组斜纹组 织，但它可作为一种另一意义下的算子，即通过任意 1 个组织自乘2 次或自乘1 次获得相应变换。这些 变换均可应用于组织设计。 醑舀田田 ( a 4 阶循环群1 爵日田田 ( b J 4 阶循环群2 2 3 4 5 【6 图6 某4 阶循环群 F i g 6 T w o4 - o r d e rc y c l i

25、cg m u p s ( a ) 4 - o r d e rc y c l i c g u pl ；( b ) 4 - o r d e rc y c l i cg r o u p2 7 由此可见，运用群表达织物组织，并由此进行组 织设计，进一步拓宽了组织的数字化设计视角，从而 有可能产生新的设计效果。 5 结论 8 1 ) 基于集合理论，用“置换”定义组织，为织物 组织的描述提供了一种新的数字化的方法。 2 ) 将群引入组织，从新的角度建立了织物组织 L ，J 的数学模型，不仅为织物组织的数字化表达模式探 索了一条新的途径，而且为织物组织设计提供了新 的手段。 参考文献： 1 蔡陛霞织物结构与

26、设计 M 北京：中国纺织出版 社，2 0 0 5 ：3 2 4 0 c A IB i x i a w e a v es t m c t u r ea n dD e s i g n M B e i j i n g ： 1 0 C h i n aT e x t i l e A p p a r e IP r e s s ，2 0 0 5 ：3 2 4 0 徐山青，沈世德织物组织表示法新探 J 纺织学 报，1 9 9 4 ，1 5 ( 1 2 ) ：5 5 0 5 5 2 X US h a n q i n g ，S H E NS h i d e An e w a p p r o a c ht o 阳p

27、 r e 8 e n t a t i o no ff a b r i cw e a v e 8fJ J o u 兀l a lo fT e x t i l e R e s e a r c h ，1 9 9 4 ，1 5 ( 1 2 ) ：5 5 0 5 5 2 赵良臣，闻涛织物组织设计中的综合和分解算 法 J 纺织学报，2 0 0 3 ，2 4 ( 5 ) ：4 7 l 一4 7 3 Z H A 0L i a n g c h e n ，W E NT a o T h ec o m p r e h e n s i v ea n d d e c o m p o s i n ga l g o r i t

28、 h mi nd o b b yw e a v ed e s i g n J J o u m a lo f T e x t i l eR e s e a r c h ，2 0 0 3 ，2 4 ( 5 ) ：4 7 l 一4 7 3 赵良臣，闻涛旋转组织设计的数学原理 J 纺织 学报，2 0 0 3 ，2 4 ( 6 ) ：5 4 l 一5 4 2 Z H A OL i 粕g c h e n ，W E NT 肋T h em a t h e m “c a l p r i n c i p l eo f r o t a t i o n a lw e a v ed e s i g n J J o u

29、m a lo f T e x t i l eR e s e a r c h ，2 0 0 3 ，2 4 ( 6 ) ：5 4 l 一5 4 2 施围生，梁道雷多臂织物组织矩阵的自动设计 J 纺织学报，2 0 0 2 ，2 3 ( 1 2 ) ：4 8 8 4 8 9 S H IG u 0 8 h e n g ，L I A N GD a o l e i A u t o m a t i cd e s i g no f w e a v em a t r i xf o rd o b b yf a b r i cw e a v e s J J o u m a lo f T e x t i l eR e

30、s e a r c h 。2 0 0 2 ，2 3 ( 1 2 ) ：4 8 8 4 8 9 施国生，张瑜秋，熊超图像变换在多臂织物组织设 计上的应用 J 纺织学报，2 0 0 6 ，2 7 ( 7 ) ：2 3 2 6 S H I G u o s h e n g ， Z H A N G Y u q i u ， X 1 0 N GC h A p p l i c a t i o no fi m a g et m n s f b m a t i o nt e c h n i q u eo nd o bb ：， f a b r i cw e a v ed e s i g n J J o u m a

31、lo fT e x t i l eR e s e a r c h ， 2 0 0 6 ，2 7 ( 7 ) ：2 3 2 6 顾平，蒋高明，张瑞云纺织品C A D 原理与应 用 M 北京：中国纺织出版社，2 0 0 5 ：6 5 7 2 G UP i n g ，J I A N GG a o m i n g ，Z H A N GR u i y u n P r i n c i p l e a n dA p p l i c a t i o no fT e x t i l ec A D M B e i j i n g ：c h i n a T e x t i l e A p p a r e lP r

32、e s s ，2 0 0 5 ：6 5 7 2 周赳，吴文正基于数码技术的机织物组织设计原理 和方法 J 纺织学报，2 0 0 7 ，2 8 ( 4 ) ：4 8 5 1 Z H O UJ i u ，F R A N K I EN g P r i n c i p l ea n dm e t h o do f w e a v e d e s i g n f o rw o v e nf a b r i c s u s i n g d i g i t a l t e c h n o l o g y J J o u 脚a lo fT e x t i l eR e s e a r c h ，2 0 0 7

33、 ， 2 8 ( 4 ) ：4 8 5 1 张聿，金耀，孙家武，等基于L 系统的织物分形组织 设计方法 J 纺织学报，2 0 0 7 ，2 8 ( 5 ) ：5 l 一5 4 Z H A N GY u ，J I NY a o ，S U NJ i a w u ， e ta 1 D e s i g n m e t h o do ff a b r i cf h c t a lw e a v eb a s e do nL 一8 y s t e m J J o u m a lo fT e x t i l eR e 8 e a r c h ，2 0 0 7 ，2 8 ( 5 ) ：5 l 一5 4 J O

34、 S E P HJR o t m a n 高等近世代数 M 章亮，译北 京：中国机械出版社，2 0 0 7 ：2 7 7 7 J 0 s E P HJR o t m a n A d v a n c e dM o d e mA l g e b r a M Z H A N GL i a n g ， T r a n 8 1 a t i n g B e I j i n g ： C h i n a 矾a c h i n e P r e 8 s 。2 3 0 7 ：2 7 7 7 万方数据 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkR to remove the watermark