测绘技术应用基础知识.pdf

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1、第 二 篇 测绘技术应用基础知识 第一章概述 第一节测绘的基本概念 一、测绘学与测量学 测量学与制图学统称为测绘学。测绘学研究的对象是地球整体及其表面和外层空间 中的各种自然物体和人造物体的有关信息。它研究的内容是对这些与地理空间有关的信 息进行采集、处理、管理、更新和利用。它既要研究测定地面点的几何位置、地球形 状、地球重力场，以及地球表面自然形态和人工设施的几何形态；又要结合社会和自然 信息的地理分布，研究绘制全球和局部地区各种比例尺的地形图和专题地图的理论和技 术。前者和后者构成测绘学。由此可见，测量学是测绘学科的重要组成部分。 二、测绘学研究的对象 传统的测量学研究的对象是地球及其表面

2、，但随着现代科学技术的发展，它已扩展 到地球的外层空间，并且已由静态对象发展到观测和研究动态对象；同时，所获得的量 既有宏量，也有微量。使用的手段和设备，也已转向自动化、遥测、遥控和数字化。 三、测绘学的分料 伴随着社会的进步，科学技术的发展，各方面对测量的要求不断变化和提高，测量 学的分科也越来越细，诸如以下学料： （一）大地测量学 研究和测定地球的形状、大小和地球重力场，以及测定特定地面上点的空间位置。 大地测量学分几何大地测量学、物理大地测量学和卫星大地测量学（或空间大地测 量学）三个分支学科。几何大地测量学是以一个与地球外形最为接近的几何体（旋转椭 球）代表地球形状，用天文方法测定该椭

3、球的形状和大小。物理大地测量学是研究用物 !“# 第一章概述 理方法测定地球形状及其外部重力场的学科。卫星大地测量学是利用人造地球卫星进行 地面点定位及测定地球形状、大小和地球重力场的理论、方法的学科。现代大地测量学 是综合利用几何、物理、空间大地测量的理论和方法，解决大地测量学中各种问题的学 科。摄影测量与遥感学是研究用摄影和遥感的手段，获取被测物体的信息，进行分析、 处理，以确定物体的形状、大小和空间位置，并判定其属性的科学。摄影测量与遥感学 分为地面摄影测量、航空摄影测量学和航天遥感测量学。 （二）工程测量学 研究工程建设和资源开发中，在规划、设计、施工和运营管理各个阶段进行的控制 测量

4、、地形测绘和施工放样、变形监测的理论、技术和方法的学科。由于建设工程的不 同，工程测量学又分为矿山测量学、水利工程测量学、公路测量学、铁道测量学，以及 海洋工程测量学等；又由于工程的不同，精度要求的不同，而有精密工程测量学、特种 精密工程测量学等。 （三）地图制图学（地图学） 研究地图的编制和应用的学科。它研究用地图图形信息反映自然界和人类社会各种 现象的空间分布、相互联系及其动态变化。 （四）海洋测绘 是研究以海洋水体和海底为对象所进行的测量和海图编制理论、方法的学科。 （五）测量学 研究对地球表面局部地区进行测绘工作的基础理论、工作方法、技术和应用的学 科。其内容包括图根控制网的建立、地形

5、图测绘及一般工程的测设。 也有人称地形测量学为测量学。但这种测量学只是为测量地球局部的形状和绘制地 形图服务，不包括其他内容。 第二节测绘工作在社会主义建设中的作用 我国幅员广大，辽阔的土地需要我们去描绘和规划；丰富的地下矿藏，天然的水下 资源要靠我们去勘察、开发和利用；当世界上还存在着侵略者和破坏者的时候，美好河 山、现代化的建设以及人民的幸福生活就需要我们去保卫。在建设和保卫祖国的伟大事 业中，测绘工作的作用和意义是十分巨大的。 在地质矿产勘查中，测绘工作是一项重要的先行性、基础性并具有精确性特点的工 作。现已成为一门专业测绘 地勘测绘。它为地质矿产资源勘查、矿山建设、环境地 质监控和治理

6、等方面，提供基础信息资料和科学技术方法。例如，为地矿资源勘查区 !“# 第二篇测绘技术应用基础知识 （陆地、海洋、空间）提供大地定位基础；为描述勘查区各种地形、地质、矿产分布形 态规律和赋存关系，测绘或编制各种地形图、地质图、专题地图；为防治地质灾害，监 测地面沉降、滑坡、泥石流等及时提供各种形变数据；为矿山开发建设提供测绘保障； 等等。 在农业和林业中，正确地进行土地整理以及森林的建设与经营，改良土壤、整理土 地、开垦荒地以及实现许多旨在发展农业和林业的其他措施时，不仅需要利用地图和地 形图，更需要进行精确的测量工作。 在交通运输业中，当修建铁路、公路、通航运河及它们的附属建筑工程时，初步方

7、 案，要根据地形图来制定；在勘察、设计和施工的各个阶段，都要进行测量工作。 在水利建设工程中，例如新安江水电站及举世闻名的葛洲坝综合水利枢纽工程，在 进行规模如此巨大的工程建设时，首先要根据详细的地形图作出初步方案研究，然后进 行勘察设计、施工。测量工作应在勘察过程中为工程设计提供原始资料；在施工过程 中，应保证正确地将设计转移到实地上。即使工程已经建成并交付使用后，仍然要进行 精确的测量工作，以观察和发现工程建筑物所产生的变形、下沉和偏移，并提出准确的 资料。 在城市建设中，科学的规划和整理居民地，城市的扩充与改建计划，建设城市交通 路线，敷设地下管线、兴建地下铁道等，都必须有地形图和地图，

8、并进行专门的测量工 作。 人类赖以生存地土地，如何科学地利用和管理，是每个国家都必须解决的问题。而 为了解决这一问题，首先就要进行地籍测量工作。 在工程建设方面，工程的勘测、规划、设计、施工、竣工及运营后的监测、维护都 需要测量工作。在军事上，首先由测绘工作提供地形信息，在战略的部署、战役的指挥 中，除必须的军用地图（包括电子地图、数字地图）外，还需要进行目标的观测定位， 以便进行打击。至于远程导弹、空间武器、人造地球卫星以及航天器的发射等，都要随 时观测、校正飞行轨道，保证它精确入轨飞行。为了使飞行器到达预定目标，除了测算 出发射点和目标点的精确坐标、方位、距离外，还必须掌握地球形状、大小、

9、重力场的 精确数据。航天器发射后，还要跟踪观测飞行轨道是否正确。总之，现代战争与现代测 绘技术紧密结合在一起，是军事上决策的重要依据之一。 在科学实验方面，如地震预测预报、灾情监测、空间技术研究、海底资源探测、大 坝变形监测、加速器和核电站运营的监测等等，以及其他科学研究，无一不需要测绘工 作紧密配合和提供空间信息。 此外，对建立各种地理信息系统（!“#） 、数字城市、数字中国，都需要现代测绘科 学提供基础数据信息。 综上所述可知，测绘工作在经济和国防建设方面有着多么重大的意义和作用。随着 国家各方面建设工作的规模日益巨大、复杂的形势下，测绘工作在国家建设事业中所承 担的任务也就愈来愈大。人们

10、把测量工作者称作社会主义建设副业的“尖兵” ，这是对 测绘事业最崇高的评价。 $% $% () 能准确地反映现代测绘学的内容实质。 !“#$% 8 ?!6 # “ ! 6 % ! “ ?!6 # $ %（7 ) 8; （/）调节竖盘水准管气泡调节螺旋使水准管气泡居中，或打开竖盘自动补偿开关， 使竖盘指标线处于正确位置，读取竖盘读数 !（或 ) ! （!7 ) 8; 2,;*3，则精测显示 ;2,;*，精测显示 ./，仪器显示的距离为 ./;2,;*3。 二、测距仪测量步骤及其他 目前国内外生产的短程红外测距仪型号很多，有几十种，各种仪器由于其结构不 同，操作也各不相同，使用时应严格按照仪器使用

11、手册来操作。 一般测距仪测量步骤如下： （1）安置仪器：包括对中、整平等内容，接通电源。 （“）安置常数或观测记录竖直角、气压、气温等项。 （*）距离观测。 （-）成果计算（仪器可自动进行气象及各种常数改正则无此项） 。 测距仪在使用时应注意以下几点： （1）在阳光下作业（或雨天作业） ，一定要打伞保护，以防损坏。 （“）仪器应在大气比较稳定和通视良好的条件下使用。 （*）测距结束立即关机，迁站时要拔掉电源线。 （-）测距仪在运输过程中要注意防潮、防震和防高温。 第四节直线定向 确定地面上两点的相对位置时，除知道两点的水平距离外，还必须确定该直线与标 准方向之间的水平夹角，以确定直线的方向。把

12、确定直线与标准方向线之间的水平角度 的关系，称为直线定向。 +/“ 第三章距离测量与直线定向 一、标准方向的种类 （一）真子午线方向 将通过地球表面上一点的真子午线的初线方向称为该点的真子午线方向，用 ! 表 示。真子午线方向通过天文观测方法进行测定，通常用指向北极星的方向来表示近似的 真子午线方向。 （二）磁子午线方向 通过地球表面上一点的磁子午线的切线方向称为该点的磁子午线方向，用 !“表示。 磁针自由静止时其 ! 极所指的方向即为磁子午线方向，磁子午线方向可用磁针或罗盘 仪测定。 （三）坐标纵轴方向 我国采用高斯平面直角坐标系，其每一投影带中央子午线的投影为坐标纵轴方向， 即 # 轴方向

13、。 二、表示直线方向的方法 测量工作中，表示直线方向的方法常用方位角和象限角表示。 （一）方位角 由标准方向线的北端起顺时针方向量到某直线的水平夹角，称为该直线的方位角。 角值为 $% $! * “ $033 /0% 第四章水准测量 各测段的改正数，分别列入表 ! “ # “ $ 中的第 % 栏内。改正数总和绝对值应与闭合 差的绝对值相等。第 ()。 （五）外界条件的影响 测量总是在一定的外界条件下进行的，因此，外界条件如风力或不坚实地面均会影 响仪器的稳定性，气温将影响仪器的使用性能，而地面的热辐射则会引起影像跳动或折 光等。在测量时，应根据规范要求操作，尽量避免这些不利因素，使其影响达到最

14、小。 第四节竖直角测量 一、竖直度盘 光学经纬仪的竖盘中心固定在横轴的一端，随望远镜一起在竖直面内旋转。竖盘分划 的注记分顺时针和逆时针两种，其起始读数的位置也有 $%、3$%、“#$%、*9$%四种状况（见 图 *2+2*$（） 、 （=） ） ，竖盘系统包括竖盘、测微尺，指标水准管和水准管的微动螺旋。 第五章角度测量 二、竖直角观测与计算 如图 ! “ # “ !$ 所示，竖直角观测与计算的方法如下。 图 ! “ # “ !$ （%）安置仪器，使仪器处于盘左位置，旋松望远镜制动螺旋，粗略瞄准目标 22 第五章角度测量 图 ! “ # “ !$ 验，如需校正，应由专业维修人员处理。 五、竖盘

15、指标差的检验和校正 检验：安置仪器，用盘左、盘右两个镜位观测同一目标点，分别使竖盘指标水准管 气泡居中，读取竖盘读数 % 和 &，计算指标差 。如 超出 ( )*的范围，则需改正。 校正：经纬仪位置不动（此时为盘右，且照准目标点） ，不含指标差的盘右读数应 为 & “ 。转动竖直度盘指标水准管微动螺旋，使竖盘读数为 & “ ，这时指标水准管气 泡必然不再居中，可用拨针拨动指标水准管校正螺旋使气泡居中。这项检验校正也需反 复进行。带有自动归零补偿器的经纬仪，如发现有指标差打开照准部支架上高调节指标 差的盖板，调整里面的螺丝，使读数窗指标对准应有的竖盘读数即可。 第六节电子经纬仪简介 电子经纬仪与

16、光学经纬仪的主要不同之处在于度盘的读数系统和显示系统。电子经 纬仪采用了光电扫描、自动计数及电子显示系统。另外，电子经纬仪的竖轴补偿器也采 用了电子纠正方法，与光学经纬仪的补偿器有所区别。操作过程采用菜单或指令。 一、电子经纬仪的测角原理 电子经纬仪的测角系统主要有三种，即光栅测角、编码盘测角和动态测角。 （一）增量式光栅测角系统 增量式光栅测角系统采用光栅度盘，如图 ! “ # “ !+ 所示。图（,）为直线光栅，图 （-）为指示光栅，图（.）为径向光栅。 /01 第二篇测绘技术应用基础知识 图 ! “ # “ !$ 图（%）中 ! 为栅距，% 为刻线宽度（不透光区） ，& 为缝隙宽度（透光

17、区） ，通常 % &。 将两个栅距相同的光栅圆盘重叠起来，并使它们的刻线相互斜交成一小角度!。光 线通过时，将形成明暗相间的莫尔条纹，图 ! “ # “ ()（%）中，两个暗条纹的宽度叫做 纹距，用“表示。莫尔条纹纹距与两光栅夹角!有关，即“ ! “!。 光栅盘每一栅距对应一相应角值，在光栅盘上下对应位置分别安置一发光二极管和 一光电接收传感器（图 ! “ # “ ()（&） ） 。当照准部旋转时，主光栅随之转动，而指示光 栅、发光二极管和光电接收传感器相对固定，发光二极管发出信号，因指示光栅方向与 主光栅方向夹角为!，因此莫尔条纹也向光栅夹角!的平分线方向移动，光电接收传感 器累计出条纹移动

18、量，从而计算出主光栅移动量，得到角度值，再经过一套相应计数电 路，显示读数。 图 ! “ # “ () *+( 第五章角度测量 由于光栅盘上没有绝对度数，只能累计光栅条数，所以称之为增量式光栅度盘。另 外，这种度盘线路中还具有判别旋转方向的电路，以保证无论是顺时针旋转时还是逆时 针旋转时其计数的正确性。 （二）编码盘测角系统 图 ! “ # “ $% 中的度盘为一刻有数条环形码道的圆盘，分为透光和不透光两种状态， 分别表示二进制中的“&”和“%” 。在码盘下方设置了数个接收元件，测角时，码盘不 动，光源与接收器随照准部转动，可得到每一位置的读数，再通过译码器将二进制转换 为角度值，并予以显示。

19、由于在任意位置上都可直接读取度、分、秒的数值，编码测角 又称为绝对式测角。 图 ! “ # “ $% （三）动态测角 如图 ! “ # “ $! 所示，度盘由等间隔的明暗分划线构成，其间隔角为! &。在度盘上 图 ! “ # “ $! 设置了两个光栏，一个设在度盘外缘，为固定光栏，其作用相当于光学经纬仪度盘上的 &刻划线；另一个安置在度盘内缘，为可移动光栏，它随照准部一起转动，其作用相当 !($ 第二篇测绘技术应用基础知识 于望远镜视线在度盘上的读数指标线。测角时，度盘由微型马达带动以一定的速度旋 转，光栏上装有发光二极管和光电接收传感器，且分别位于度盘的上下，通过计取两光 栏之间的分划数，即

20、可得到角度值。图中 !、为固定光栏，!“为可移动光栏，!“# ! 为 被观测角!。在被观测角!中，包括粗测和精测两部分，粗测求得! $的个数 !，精测求 得“ !的值。 !% !$&“! 式中：! $为整周期值；! 为整周期的个数；“!为不足整周期的值。 动态测角的特点是，记数精度高，并能消除度盘刻划误差，但结构较复杂。目前较 先进的电子经纬仪均采用此种测角系统。 二、竖轴倾斜补偿器 一些精度较高的电子经纬仪中，采用双轴补偿器的方法，以抵消竖轴倾斜对水平角 和竖直角观测的影响。双轴液体补偿器在其补偿范围内（ ()） ，补偿精度可达 $*+,。 如图 - # . # ( 所示为一种补偿器的原理图

21、。在补偿器下方分别设置了发光和接收二极 管，两者轴线夹角为 /$0，发射光线经液体全反射后，被接收管接收，当仪器竖轴倾斜 时，发射光轴在液体补偿器的落点就产生了变化，反映出 1 与 2 的方向倾斜量（1 为 视准轴方向，2 为横轴方向） ，接收管就可探测到该落点变化，并将变化信息传输给微 处理器，仪器对所测角度进行自动补偿。 图 - # . # ( (3( 第五章角度测量 第六章测量误差基础知识 第一节测量误差概述 在测量工作中，无论测量仪器多么精密，观测多么仔细，测量结果总是存在着差 异。例如，对某段距离进行多次丈量，或反复观测同一角度，发现每次观测结果往往不 一致。又如观测三角形的三个内角

22、，其和并不等于理论值 !“#$。这种观测值之间或观测 值与理论值之间存在差异的现象，说明观测结果存在着各种测量误差。此外，在测量过 程中还可能出现错误，如读错、记错等等。错误不是误差，是由于观测者操作不正确或 粗心大意造成的，观测结果中不允许存在错误，一旦发现应及时加以更正。 一、测量误差产生的原因 测量误差产生的原因概括起来有下列几个方面： （!）仪器及工具。测量仪器和工具的精密度以及仪器本身校正不完善等，都会使测 量结果受到影响。例如使用刻划至厘米的标尺就不能保证厘米以下尾数估读的准确性； 使用视准轴不平行于水准管轴的水准仪进行水准测量就会给观测读数带来误差。 （%）人。观测者是通过自身的

23、感觉器官来工作的，由于人的感觉器官鉴别能力的限 制，使得在安置仪器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。 （&）外界条件。观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因素 会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带来误差。 人、仪器、外界条件是引起观测误差的主要因素，这三个因素的综合影响称为“观 测条件” 。观测条件好测量结果的精度就高，观测条件差测量结果的精度就低。观测条 件相同的一系列观测称为等精度观测，观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。 二、测量误差的分类 测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类。 & 第二篇测绘技术应用基础知识 （一）系统误差

24、在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，如果观测误差的数值大小和符号呈现 出一致性倾向，即按一定规律变化或保持为常数，这种误差称为系统误差。例如用一把 名义长度为 !“# 而实际长度为 $%&%# 钢尺量距时，每丈量一尺段就比实际长度大了 “&“#，其误差数值大小与符号是固定的，所以丈量距离越长，尺段数愈多，误差就愈 大。又如用视准轴不平行于水准管轴的水准仪进行水准测量，观测时在水准尺上的读数 便产生误差，这种误差的大小与水准仪至立尺点的距离成正比，这些误差都属于系统误 差。系统误差具有积累性，对测量成果影响甚大，但它的数值大小和符号有一定的规 律，可以设法将它消除或减弱。例如上述钢尺量距中的

25、尺长误差，可通过检定钢尺求出 尺长改正数，然后对所丈量结果进行尺长改正的方法来消除尺长误差的影响。又如，在 水准测量中，用后、前视距相等的方法消除视准轴不平行于水准管轴而引起的高差误 差。在水平角测量中，用盘左、盘右观测取平均值的方法来消除视准轴误差、横轴误差 以及照准部偏心差等对水平方向的读数影响。 （二）偶然误差 在相同的观测条件下对某量进行一系列的观测，如果观测误差的数值大小和符号都 不相同，表面上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。例如读数的估读误差；瞄 准目标的照准误差等都属于偶然误差。偶然误差随各种偶然因素综合影响而不断变化， 其数值大小和正、负符号呈现出偶然性，找不到消除其影

26、响的方法，因此任何观测结果 都不可避免地存在有偶然误差。 一般来说，在测量工作中偶然误差和系统误差是同时发生。由于系统误差对测量结 果的危害性很大，所以总是设法消除或减弱其影响，使其处于次要地位，这样在观测成 果中可以认为主要是存在偶然误差。研究偶然误差占主导地位的一系列观测值中求未知 量的最或然值以及评定观测值的精度等是误差理论要解决的主要问题。 （三）偶然误差的统计特性 由于观测结果主要地存在着偶然误差，因此，为了评定观测结果的质量，必须对偶 然误差的性质作进一步分析。从单个偶然误差来看，其误差的出现在数值大小和符号上 没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定的统计规律性，并且

27、误差的 个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量实例来分析偶然误差的特性。 某测区在相同的观测条件下观测了 !() 个三角形的内角，由于观测值存在偶然误 差，故三角形内角之和不等于理论值 )“*（也称真值） 。观测值与理论值之差称为真误 差，用!示。设三角形内角和的观测值为 +,，真值为 -，则三角形的真误差可由下式求 得： !. “!/ # （! . ，$，!，!()）（$ / 0 / ） 用式（$ / 0 / ）算得 !() 个三角形内角和的真误差，现将 !() 个真误差按 !1为一区间， (2! 第六章测量误差基础知识 并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误差个数

28、 !，并将 ! 除以总个数 “（此处 ! “ #$%） ，求得各区间的相对个数（! # “ 称为误差出现的频率） ，其 结果列于表 & ( )。 从表 & ( ) 中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现 的机会多，绝对值相等的正、负误差出现的个数相近；最大的误差不超过一定的限值 （本例为 &*+） ，其他测量结果也表现出同样的规律。通过大量的实验统计结果表明，偶 然误差具有如下的特性： !在一定的观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值（有 界性） ； 表 & ( ) 偶然误差区间分布 误差区间 ,“ 负误差正误差合计 个数- ! 频率- ! # “个数

29、- ! 频率- ! # “个数- ! 频率- ! # “ . / #+*$.0)&(*(.0)&%1).0&$* # / (*0)&*).0)$%).0&2 ( / 1#.0.1&#.0.1&(.0)%* 1 / )&#.0.(*&).0.$1*.0)&# )& / )$)2.0.*2)(.0.*$#.0.1& )$ / )%)#.0.#()#.0.#(&(.0.2& )% / &)(.0.)2$.0.)*).0.#) &) / &*.0.)&.0(.0).2 &*+以上 ! )%).0$.$)22.0*1$#$%)0. #绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性） ；

30、 $绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性） ； %当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性） 。即： 345 !“6 !)7!&7 7!“ “ “ 345 !“6 “ “ “ .（& ( &） 式中“ ”为总和号，即“ “ “)7“&7 7“!。 为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布，图 & ( & 就是按 & ( ) 的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐标表示 误差出现于各区间的频率（! # “）除以区间的间隔值（,“） 。这样，每一区间按纵坐标 做成矩形小条的面积就代表误差出现在该区间的频率。如图 & ( ) 中斜线的

31、长方形面 积就代表误差出现在 7 ( / 7 1+区间的频率 .0.1&，这种图称为频率直方图。 当观测次数足够多时，误差出现在各区间的频率就趋向于稳定。可以想象，当 “ 6时，如果把区间 ,“无限缩小，图 & ( ) 中各小长方形的顶边折线就会变成图 & ( & 所示的一条光滑的曲线，该曲线称为误差分布曲线，又称正态分布曲线。描绘这种 (*# 第二篇测绘技术应用基础知识 图 ! “ # “ $频率直方图 图 ! “ # “ !正态分布曲线 分布曲线的函数为： ! % “（! ） % $ “ ! ! &“ “ ! !# ! （! “ # “ ） 式中参数 # ! % ()* +“, “ ! +

32、 （! “ # “ -） #是观测误差的标准差或均方差，# ! 称为方差。 图 ! “ # “ $ 中各小长方形的面积为： # $ % .“ .“% # % 由概率统计定义可知，频率（# $ %）就是误差出现在小区间 .“上的概率 /（“） ，记为： /（ “ ） % # $ % .“ .“% “（!） % .“（! “ # “ 0） 称式 ! “ # “ 0 为概率元素。由（! “ # “ 0）式可知，当函数 1（“）较大时，则误差 出现于小区间 .“上概率也大，反之则较小，因此称函数 1（“）为误差分布的概率密度 函数，简称密度函数。 第二节评定精度的指标 评定观测成果的测量，就是衡量测量

33、成果的精度。这里先说明精度的含义，然后介 绍几种常用的衡量精度的指标。 一、精度的含义 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一定的误差分布。观测条件好，误 差分布就密集，则表示观测结果的质量就高；反之观测条件差，误差分布就松散，观测 2- 第六章测量误差基础知识 成果的质量低。因此，精度就是指一组误差分布的密集与离散的程度，即离散度的大 小。显然，为了衡量观测值的精度高低，可以通过绘出误差频率直方图或画出误差分布 曲线的方法进行比较。如图 ! “ # “ $（%）所示为两组不同观测条件下的误差分布曲线 !、“，观测条件好的一组其误差分布曲线!较陡峭，说明该组误差更加密集在#& 附近，即绝

34、对值小的误差出现较多，表示该组观测值的质量较高；另一组观测条件差， 误差分布曲线较平缓，说明该组观测误差分布离散，表示该组观测值的质量较低。但在 实际工作中，采用绘误差分布曲线的方法来比较观测结果的质量好坏很不方便，而且缺 乏一个简单的关于精度的数值概念。下面引入精度的数值概念，这种能反映误差分布密 集或离散程度的数值称之为精度指标。 二、衡量精度的指标 衡量精度的指标有多种，这里介绍几种常用的精度指标。 （一）中误差 由误差分布的密度函数（! “ # “ $）式可知，#愈小，(（#）愈大。当#& 时，函 数 (（#）达到最大值 ) ! !$ % ；反之，#愈大，(（#）愈小。当#“* +时，

35、(（#）“ 。 图 ! “ # “ $误差分布曲线 所以，横轴是曲线的渐近线。如图 ! “ # “ $（,）所示，误差分布曲线在纵轴两边各有 一个转向点称为拐点。如果对函数 (（#）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标 为：#拐& *%。由于曲线 (（#） ，横轴和直线#& “%、#& -%之间的曲边梯形面积为误 差个数的总和与全部观测个数之比，是个定值，即恒等于 )。所以%愈小曲线愈陡峭， 即误差分布愈密集；而%愈大时曲线愈平缓，即误差分布愈离散。由此可见，误差分布 曲线形态充分反映了观测质量的好坏，而误差分布曲线又可以用具体的数值%予以表 达。也就是说，标准差%的大小，反映了观测精度的高

36、低，所以标准差%是描述观测值 精度的数值指标。由式（! “ # “ .）得观测值的标准差定义式为： /.$ 第二篇测绘技术应用基础知识 ! “#$ %!& “ “ “ （( ) * ) *） 由定义式（( ) * ) *）可知，标准差是在 %!&时的理论精度指标。在测量工作中，观 测次数 ! 总是有限的，为了评定精度，只能用有限个真误差求取标准差的估值，测量 中通常称标准差的估值为中误差，用 “ 表示，即： “(! “ “ ! （( ) * ) +） 或 “ ! , “ “ “! （( ) * ) -） 式中“可以是同一个量观测值的真误差，也可以是不同量观测值的真误差，但必 须都是等精度的同类

37、观测值的真误差，! 为“的个数。在计算 “ 值时只需取 ( . / 位有 效数字，其值前冠以“ , ”号，数值后注明单位。 由中误差公式可知，中误差是代表一组等精度真误差的某种平均值，其值愈小，即 表示该组观测中绝对值较小的误差愈多，则该组观测值的精度愈高。 例 0 设某段距离使用 12$ 钢尺丈量了 * 次，其测量结果列于表 ( ) * ) ( 中，该段 距离用高精度铟钢基线尺丈量的结果为 3454-($，可视为真值。试求钢尺丈量一次的中 误差。 解：在（表 ( ) * ) (）中进行计算。 表 ( ) * ) ( 中误差计算 序号观测值6$ “6$“ (6$ 中误差计算 03454-7 *

38、/* (3454+1) +34 /3454-0) 00 33454+-) 30* 13454-+7 1(1 *3454-37 (3 $! , 0/0 “* ! , 35+$ # 0/0 （二）极限误差 偶然误差的第一特性表明，在一定的观测条件下偶然误差的绝对值不会超过一定的 限值，这个限值就是极限误差。由概率论可知，在等精度观测的一组偶然误差中，误差 出现在 )!， 7! ， ) (!， 7 (! ， ) /!， 7 /!区间内的概率分别为： 8（ )! $“$7!）%*-5/9 43/ 第六章测量误差基础知识 !（ “ #! !“!$ #!）“%&( !（ “ )! !“!$ )!）“%*(

39、 即是说，绝对值大于两倍标准差的偶然误差出现的概率为 +&(；而绝对值大于 ) 倍标 准差的偶然误差出现的概率仅为 ,)(，这实际上是接近于零的小概率事件，在有限次 观测中不太可能发生。因此，在测量工作中通常规定 # 倍或 ) 倍中误差作为偶然误差的 限值，称为极限误差或容许误差： “容- #! “#! （# “ . “ %） 或 “容- )! “)! （# “ . “ /,） 前者要求较严，后者要求较宽，如果观测值中出现大于容许误差的偶然误差，则认 为该观测值不可靠，应舍去并重测。 （三）相对误差 对评定精度来说，有时只用中误差还不能完全表达测量结果的精度高低。如距离测 量中，分别测量了 &

40、,0 和 1,0 的两段距离，中误差均为 2 #30。显然不能认为两者的 测量精度是相同，为了能客观反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对中误差 4 就是观测值中误差的绝对值与观测值的比值，并将其化成分子 / 的分数，即： 4 - 5 !5 6 - / 6 5 !5 （# “ . “ /） 上述两段距离的相对中误差为： 4/- / 6/ 5 !/5 - / #&, 4#- / 6# 5 !#5 - / +, 相对中误差愈小，精度愈高，因为 4/7 4#，所以 6/比 6#的测量精度高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差表示。例如图根导线测量中就规定 导线全头长相对闭合差不得超过

41、/8#,，这就是相对容许误差。还应指出的是，不能 用相对误差来评定角度测量的精度，因为角度观测的误差与角度大小无关。 第三节误差传播定律及其应用 前面介绍了相同观测条件下的观测量，即同精度观测量，以真误差来评定观测值的 精度的问题。但在实际工作中，有一些量往往不能直接测量，而是由其他观测值间接计 算出来的，它与直接观测量构成函数关系。例如，水准测量中，每站的高差 “ 就是直 ,&) 第二篇测绘技术应用基础知识 接观测的后视读数 ! 与前视读数 ! 之差求出的，即： “ “ ! # # 显然，高差 “ 是观测值! 和# 的函数。阐述观测值的中误差与函数的中误差之间关系的 定律，就称为误差传播定律

42、。 设 $ 是独立观测值 %$，%，%&的函数，即 $ “ （%$ ，% %，%&） 已知独立观测值 %(（( “ $，%，&）的中误差为 )(（( “ $，%，&） ，求观测值函 数 & 的中误差 )$。当 %(的相应观测值 *(（( “ $，%，&）在真误差!%( 时，则函数 & 随之产生相应的真误差!&。由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系， 可以近似地用函数的全微分表达，即得： $ “! !%$%$ (! !% ( (! ) !*+%& 因误差!%(及!& 均很小，用! &、 !*,代替微分量 &、*,，于是有： !$ “! !%$!%$ (! !%!% ( (! !%&

43、!%& 上式中! !%( 是函数对各变量 *,的偏导数，将 %(“ *(代入各偏导数中可以得出其数值，它 们都是常数，令： ! !% () ( %(“ *( “ +( 则有： !$ “ +$!%$( +%!%( ( +&!%& 为了求得观测值中误差与函数中误差之间的关系，设想对 %(进行 , 次观测，则可写出 - 个类似的真误差关系式： !$（$）“ +$!%$ （$）( +%!%（$）( ( +&!%&（$） !$（%）“ +$!%$ （%）( +%!%（%）( ( +&!%&（%） !$（,）“ +$!%$ （,）( +%!% （,）( ( +!%& （,） 将上列等式两边平方后再相加，得

44、： !$% “ +% $!%$ ( +%!% ( +%&!%& ( “ & (， - “ $， (#-%+(+-!%( !%- 上式等号两边除以 , 得： !$% , “ +% $ !% $ , ( +% % !% % , ( ( +%& !%& , ( “ & (， - “ $， (#-%+(+- !%(!%- , （% # . # $%） 各 % (的观测值 /,为彼此独立的观测值，由于偶然误差有正负补偿的特性，所以当 -$0 时，上式的最后一项趋近于零，即 *() +$0 !*,!1 - “ 2 $34 第六章测量误差基础知识 故式（! “ # “ $!）可以写成： %& (!) !*!

45、 + , %& !) -! $ !.! $ + / -! ! !.! ! + / / -!( !.! ( + 对照方差定义式得： ! ! “, #!$! ! $/ #! ! !/ / #! ! ! 当 $ 为有限值时，可写成： %!“, #! $%!$/ #!%!/ / #!%! （! “ # “ $0） 即%!, 1#! $%!$/ #!%!/ / #!%!“! （! “ # “ $2） 公式（! “ # “ $2）就是计算由观测值中误差计算观测值函数中误差的一般形式，称为误 差传播定律，按照这一定律可导出表 ! “ # “ 0 所列的简单函数的误差传播关系式。 表 ! “ # “ 0 几个

46、简单函数的中误差传播公式 函数名称函数式函数的中误差 倍乘函数“ , $&% , 1 $% 和差函数“ , &$1 &!1 1 &! %“, 1%!$/ %!/ / %! “! 线性函数“ , $&$1 $!&!1 1 $!&! %“, 1$!$%!$/ $!%!/ / $!%! “! 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可按下述步骤进行： “按问题的性质列出函数式 “ , （&$ ，& !，&!） #对函数式求全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式 “ , # #& () $ “&$/ # #& () ! “&!/ / # #& () ! “&! $代入误差传播定律公式，求出函

47、数的中误差 %“, 1 # #& () $ ! %! $/ # #& () ! ! %! !/ / # #& () ! ! %! “ ! 值得注意的是，在应用误差传播定律公式时，要求各观测值误差必须是独立的，如果观 测值误差不独立，则要全并同类项，使误差独立后再应用误差传播定律。 【例 !】已知矩形的宽 & , 23，其中误差 %&, 1 343$3，长为 ( , 53，其中误差 %(, 1 343$!，试计算面积 6 及其中误差。 解：按应用误差传播定律的步骤 “列出计算矩形面积的函数式为： ) , &( , 23 7 53 , !333 #求各观测值的偏导数值 # #& , ( , 53；

48、 # #( , & , 23 !50 第二篇测绘技术应用基础知识 !代入误差传播定律公式，得中误差为： !“! “ !# ! () $ # !#$ !# !$ () % # !# “ %! “ %&( 所以) ! #%(“ %&( 例 * 在 +,+% 比例尺图上量得某线段长度为 - ! +./&0(，其中误差为 !&! “ %&#(，试求相应的水平距离 1 及其中误差 (1。 解：1 ! +%- ! +./&0( ! +%(! %&#( 所以1 ! +./&0(“ %&#( 例 2 设函数： ( ! + # $+$ + * $#3 + 2 $* $+ ，$ # ，$ *的中误差分别为 !+ ，! # ，! *，求 ( 的中误差!(。 解：根据线性函数中误差的公式得： !(! “ + 2 !# +$ + 4 !# #$ + +.!“ # * 例 0普通水准测量中，视距 +%( 时读取标尺的读数中误差 ( 读#“ *(（包括照 准误差、气泡居中误差） 。若以 * 倍中误差作为极限误差，试求普通水准测量高差闭合 差的容许误差。 解：普通水准测量每站的高差为： )*! +*3 ,*（* ! +，#，-） 则每站的高差中误差为： !站! “!#读$ !# “ 读! “ !读“#“