（高等数学）概率统计与随机过程.pdf

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1、第十六章概率统计与随机过程第十六章概率统计与随机过程本章扼要的介绍了概率论的重要内容，除了介绍随机事件及其概率、随机变量和分布函数、随机变量的数值特征、概率母函数、矩母函数和特征函数、大数法则和中心极限定理等基本概念外, 还介绍了正态分布表和概率纸的用途。这一章着重的叙述了常用数理统计方法，包括样本及其频率分布、总体参数的区间估计、统计检验、方差分析、回归分析、正交实验设计、抽样检验、质量评估（工序控制）等八个部分；最后简述了随机过程论的基本内容，突出了较为常用的马尔科夫过程和平稳随机过程。 1 概率论概率论一、事件与概率 1.随机事件及其运算关系随机事件必然事件

2、不可能事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的试验结果称为随机事件，简称事件，用 A , B , C ,表示。随机事件有两个特殊情况，即必然事件（在一定条件下，每次试验都必定发生的事件）和不可能事件（在一定条件下，各次试验都一定不发生的事件），分别记为和。事件的运算关系 1 包含当事件B发生时,事件A也一定发生，则称A包含B或B包含于A中，记作AB，或BA。 2 等价如果AB且AB，即事件A和B同时发生或不发生，则称A与B等价，记作A=B。 3 积表示事件A和B同时发生的事件，称为A与B的积，记作AI B(或AB）。 4 和表示事件A或事件B发生的事件，称为A与B的

3、和，记作AB(或A+B）。 U 5 差表示事件A发生而事件B不发生的事件，称为A与B的差，记作A B（或AB）。 6 互斥如果事件A与B不可能同时发生，即AB=，那末称A与B是互斥（或互不相容）的。 7 对立如果事件A与B互斥，又在每次试验中不是出现A就是出现B，即AB=I且 AB=，那末称B为A 的对立事件，记作B=UA。 8 完备如果事件A1 ，A2 , , An在每次试验中至少发生一个，即 n AAAULUU 21 0=，则称A1，A2，，An构成一个事件完备组。特别当A1 ，A2 ，，An又是两两互斥时，即AiIAj= （ij，i，j=1，2，，n），就称A 1

4、，A2 ，，An是两两互斥的事件完备组。 2、概率的几种定义频率与概率随机事件在一次试验中是否发生，固然是无法事先肯定的偶然现象，但当进行多次重复试验，就可以发现其发生的可能性大小的统计规律性。具体说，如果在相同条件下进行 n 次重复试验，事件 A 出现了 v 次，那末事件 A 在 n 次试验中出现的频率 n 当 n 无限增大时呈现稳定性。这一统计规律性表明事件 A 发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改变的一种客观属性。事件 A 发生的可能性大小称为事件 A 的概率，记作 P(A)。当试验的次数 n 足够大，可用事件的频率近似地表示该事件的概率，即 n v AP

5、)( 概率的古典定义设一个随机试验（不能事先准确的预言它的结果，而且在相同条件下可以重复进行的试验）只有有限个不同的基本事件1 , 2 , ,n（基本事件也是一种事件，一般的事件总是有几个基本事件共同组成的），每个基本事件都是等可能*的，基本事件的全体记作，称它为基本事件空间，如果事件A由k (kn) 个不同的基本事件组成，那末规定A的概率P(A)为 n k AP=)( 不可能事件的概率规定为 0)(=P 概率的公理化定义定义 1 设=，F|=AA,如果 F 满足下面条件：（i）F; (ii) 若AF，则AF（AA =）; (iii) 对于任意F (n=1,2,)，有 n A U

6、 = 1n n AF 则称 F 是中的一个代数。定义 2 设是)(FAAP代数 F 上的实值集函数，如果它满足条件：（i）对任意AF，有 0P(A)1；（ii）； 1(=)P （iii）对任意F(n=1 , 2 , )，A n A iIAj= ( ij ) 有 * （在应用中，往往当一种事件没有任何理由比另一事件更容易发生时，就认为这两个事件等可能） P( )=A U =1n A =1 ( n P n) 则称 P(A)为 F 上的概率测度，或简称概率。这时，称为基本事件，A(F)称为事件，F 是事件的全体，P(A)称为事件 A 的概率，称为概率空间。 3概率的基本性质 1 0P

7、(A)1 2 P(必然事件)=P()=1 3 P(不可能事件)=P()=0 4 P(AU B)=P(A)+P(B)P(AB) I 若 A , B 互斥，则 P(AB)=P(A)+P(B) U 若A1 , A2 , , An两两互斥，则 P()=P(A n AAAULUU 21 1)+P(A2)+P(An)=1 5 若AB，则P(A)P(B) 6 若AB，则P(A)P(B)=P(AB) 7 对任意事件A，P(A)=1 (A) P 8 若A1 , A2 , , An是两两互斥的事件完备组，则 P( )=P(A n AAAULUU 21 1)+P(A2)+P(An)=1 9 设AnF，AnAn+1

9、事件 A 与 B 满足 P(A|B)=P(A)，那末称事件 A 关于事件 B 是独立的。独立性是相互的性质，即 A 关于 B 独立，B 一定关于 A 独立，或称 A 与 B 相互独立。 A 与 B 相互独立的充分必要条件是： P(AI B)=P(A)P(B) 如果事件A1 ,A2 , An中任意m个()都满足关系式 nm 2 m iii AAA, 21 L )( 11 = = m k i m k i kk APAPI 称A1 , A2 , An是总起来独立的，简称为相互独立。全概率公式如果事件组B B 1 , B2 B ,满足 = ji BB I )(ji P(U)=1, P(B =1i

10、 i B B i)0 (i=1,2,) 则对于任意一事件 A，有 = = 1 )()|()( i ii BPBAPAP 如果B B i只有n个，公式也成立，此时右端只有n项相加。贝叶斯公式如果事件组B B 1 , B2 B ,满足 = ji BB I (ij) 1 1 = = U i i BP, 0)( i BP), 2 , 1(L=i 则对于任一事件 A(P(A)0)，有 P(B B i |A)= =1 )|()( )|()( i ii ii BAPBP BAPBP 如果B B i只有n个，公式也成立，此时右端分母只有n项相加。伯努利公式设一次试验中某事件A出现的概率为p，则n次重复

11、试验中事件A出现k次的概率 pn,k为 pn,k = p k n k(1 p)n-k (k=0,1,n) 式中为二项系数。 k n 当 n 和 k 都很大时，有近似公式 pn,k 2 1 2 2 x e 式中)1 (pnp=, npk x =。泊松公式当 n 充分大，且 p 很小时，有近似公式 pn,k ! k k e 式中= np。二、随机变量与分布函数随机变量及其概率分布函数每次试验的结果可以用一个变量的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用,表示。它是随机现象的数量比。给定随机变量，它的取值不超过实数 x 的事件

12、的概率 P(x)是 x 的函数，称为的概率分布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P()x ()0，则称 F(x|B)=P (x|B) 为在事件 B 已发生的条件下的条件分布函数。 1 设(,)是二维离散型随机变量，和的可能取值分别为xi (i=1,2,)和yk (k=1,2,).又记 (,)的联合分布为 P(=), ki yx= pik 两个一维边缘分布为 P() i x= i p = k ik p (i=1,2,) P() k y= k p i ik p ), 2 , 1(L=k 则称 P( i x=| k y=)= k ik p p ), 2 , 1, 0(L= ip

13、k 为在 k y=条件下离散型随机变量的条件分布。类似的，称 P( k y=| i x=)= i ik p p (0, k=1,2,) i p 为在 i x=条件下离散型随机变量的条件分布。 2 设(,)是二维连续型随机变量，其联合分布密度是f(x,y)，在点y ,则称 0d),( tytf ()() = tytf tytf yxPyxF x d),( d),( 为在=y 条件下的条件分布函数，在点 x，则称 0d),( ttxf ()() = ttxf ttxf xyPxyF y d),( d),( 为在x=条件下的条件分布函数。 3 如果(, 21 ,) n 的联合分布函数等于所有一维边缘

14、分布函数的乘积，即 F(x1 , x2 , xn)= )()()( 2211nn xFxFxFL （它相当于P( 2211 ,xx,nxn)=)()( 11nn xPxPL那末称 21, , n 是相互独立的。三、随机变量的数字特征数学期望（均值）与方差随机变量的数学期望（或均值）记作E（或M），它描述了随机变量的取值中心。随机变量(E)2的数学期望称为的方差，记作D（或Var），而D的平方根称为的均方差（或标准差），记作=D。它们描述了随机变量的可能取值与均值的偏差的疏密程度。 1 若是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，分布函数为F(x)，则（当积分绝对收敛时） E=

15、 =)(dd)(xFxxxxp D= =)(d)(d)()( 22 xFExxxpEx 2 若是离散型随机变量，其可能取值为xk , k=1,2,，且P(=xk)=pk，则（当级数是绝对收敛时） E = = 1k kkp x D=p 2 1 )( = k k Ex k 均值与方差的几个公式 1 D=E 2-(E )2 2 Ea=a , Da=0 （a为常数） 3 E(c)=cE , D(c)=c2D（c为常数） 4 E()()EEEEE+= 5 若1 , 2 , n为互相独立的n个随机变量，则 E(1+2+n)=E1+E2+En D(1+2+n)= )( 1, jji n ji i EEE

16、= 6 若1 , 2 , n为互相独立的n个随机变量,则 E(12n)=(E1)(E2)(En) D(1+2+n)=D1+D2+Dn 7 若1 , 2 , n为互相独立的随机变量，且 k E=0, Dk=(k=1,2,n)则随机变量 2 = = n k k n 1 1 的均值与方差分别为 n DE 2 , 0 = 契贝谢夫不等式对任一给定的正数，有 () 2 D EP 条件数学期望与全数学期望公式设 F(x|B)是随机变量对事件 B 的条件分布函数，则 ()() =BxFxBEd 称为（当积分绝对收敛时）对事件 B 的条件数学期望。若是连续型随机变量，其条件分布密度为 p(x|B)，则

17、()()xBxxpBEd = 若是离散型随机变量，其可能取值为x1 , x2 ,，则 () = k kk BxPxBE)( 若B B 1 , B2 ,Bn B 是两两互斥的事件完备组，则有全数学期望公式 = = n k kk BEBPE 1 )()( 中位数、众数与均值的关系满足 P( 2 1 )m, P( 2 1 )m 的数 m 称为随机变量的中位数。换句话说，m 满足下面两式： P()()mPm P()()mPmqpqp n为正整数 np npq n qp)(+ n qp)(+ nit qpe)(+ 泊松分布 )(P =e x xP x P ! )( L, 2 , 1=x 为正整数 )1

18、( e )1( t e e )1( it e e 几何分布 )(pG 1 )( = x G pqP L, 2 , 1=x 1, 0, 0=+qpqp p 1 2 p q q p 1 qe p t it it qe pe 1 负二项分布 ),(paB xx B qp x xa xP + = 1 )( L, 2 , 1 , 0=x 1, 0, 0=+qpqp a为正实数 p aq 2 p aq a q p 1 a t qe p 1 a it qe p 1 单点分布 )(c = = cx cx xP , 0 , 1 )( c为正整数 c 0 c ct e ict e 名称记号概率分布及其定义域参

19、数条件均值E方差 D 概率母函数 )(p 矩母函数 )(t 特征函数 )(t 对数分布 )(pL x q p xP x L ln 1 )(= L, 2 , 1=x 1, 0, 0=+qpqp pp q ln p q q ln ln 1 2 + p a ln )1ln( p qet ln )1ln( p qeit ln )1ln( 超几何分布 ),(NMnH = n N x M xn MN xPH)( , 0maxLMNnx+= ,minMn nMN,为正整数 NnNM0 ,0 M N nE= 2 ( 1 N MNM N nN n D = ie enMNMnF n N n MN t; 1;,

20、()(+ = （为超几何函数） F 2、常用连续分布名称记号分布密度及其定义域参数条件均值E 方差D 矩母函数 )(t 特征函数 )(t 均布函数 ),(bau 2 2 2 4 指数分布 ),(e = cx cx ecx xp cx c+ 2 () t ect1 it eict1 对数正态分布 ),( 2 n L 0, 0 0 , , 2 1 )( 2 2 2 )(ln = x x x e x xp x Ln 2 2 + e ) 1( 22 2 + ee 2 分布（自由度为 )n )( 2 n = 0, 0 0, 2 2 1 )( 2 1 2 2 2 x xex n xp xn n

21、 n为正整数 n 2n 2 )21 ( n t 2 )21 ( n it 分布（自由度为） t n )( 2 nt2 1 2 1 2 2 1 )( + + + = n t n x n n n xp n为正整数 0 (n1) 2n n )2(n n t N n t n n n 2 2 2 2 1 )( 2 yNn为诺依蔓函数 F分布（自由度(m,n)） F(m,n) n n n ) 4( ) 4() 2( ) 2(2 2 2 + n nnm nmn = it m nnm F t ; 2 ; 2 )( 11 （库默尔函数）威尔布分布 ),(mW m0，位置参数 + + m am

22、1 1 1 ) 1 1 ( ) 2 1 ( 2 2 m m am + + 柯西分布 ),(C 0, )( 1 22 ， 1lim= ， 1 1 lim 1 = ， 1 11 lim 2 2 11 = veP v （或从值与值对应表中查出 K =K的值来）。 2 已知，确定积分 = 1d 2 1 2 2 u u v ve 中的。由对称性 u = 2 22 d 2 1 2 d 2 1 22 K v u v veve 从值与值对应表中找出 K 2 K，则 22 Ku=。 3 遵从正态分布的随机变量),( 2 N落在区间, 21 内的概率为 )()()( 2 21 =P 单边概率为 )()(

23、=P )(1)( =P 2 数理统计方法数理统计方法一、总体参数的估计 1、总体（母体）与样本（子样）研究某个问题，它的对象的所有可能观测结果称为总体（或母体），记作。总体中抽取一部分样品称为总体的一个样本（或子样）。样本中样品的个数称为样本的大小（或容量）。，可以认为是大样本，否则称为小样本。 n xxx, 21 L 30n 数理统计方法就是应用概率论的结果，通过样本来了解和判断总体的统计特性的科学方法。 2、样本特征数与总体数字特征对照表名称样本特征数总体数字特征均值 = = n k k x n x 1 1 E= 方差 = = n k k xx n s

24、1 22 )( 1 1 D= 2 标准差 = = n k k xx n s 1 2 )( 1 1 D= 变异系数 x s Cv= = E D C 偏态系数 3 1 3 )( )2)(1(s xx nn n C n k k s = = 3 3 )( D Cs= 峰态系数 4 2 1 2 4 1 4 2 )( )3)(2)(1( )32(3 )( )3)(2)(1( 32 s xx nnnn n s xx nnn nn C n k k n k k e + = = = 3 )( 2 4 = D Ce 注意，1 当n较大时，取 = = n k k xx n s 1 22 )( 1 （有时称此为样本方差

25、，而称表中的为样本修正方差） 2 s 2 s 3 1 3 )( 3 1 s xx n C n k k s = = 4 2 1 2 234 1 4 2 )( 6116 6 )( 116 2 s xx nnns xx nn n C n k k n k k e + + = = = 2 样本特征系数还有：样本r阶原点矩 = n k r k x n 1 1 样本阶中心矩 = n k r k xx n 1 )( 1 样本中位数 1 2 1+n x （样本大小n为奇数）样本均差 = n k k xx n 1 1 样本极差 k nk k nk xx 11 minmax 3、总体参数的点估计记x1 ,x2

26、 ,xn是从总体中取出的一个样本，可用样本的特征数来估计总体的数字特征。其常用方法有以下两种：矩法矩法是用样本的r阶矩作为总体r阶矩的估值。具体步骤如下：设的分布函数包含k个参数 k , 21 （其取值未知），记作),( 21k xF 。假定的k阶原点矩存在，它们自然是 k , 21 的函数，即 ),(d),( 2121k r krr xFxvvLL = (r=1,2,k) 考虑总体的一个样本作出这一样本的r阶矩 n xxx, 21 r ，即 r =), 2 , 1( 1 1 krx n n i r i L= = 然后解方程组 ( r v), 21k = r (r=1,2,k)

27、记所得的解为 ),( ,),( 2211 1 nkkn xxxxxx = = 用分别作为 k , , 21 k , 21 的估值。最大似然法设总体的分布是连续型的，分布密度函数为),( 21k xp ，其中 k , 21 是待估计的未知参数。对于给定的 n xxx, 21 使函数达到最大值的，并用它们分别作为 ),( 21 1 k n i i xp = k , , 21 k , 21 的估值。由于ln与在同一点()上达到最大值，因此，引入函数 ),( 21 1 k n i i xp = ),( 21 1 k n i i xp = k , , 21 L( k , 21 )=ln=)

28、,( 21 1 k n i i xp = ,(ln 1 = n i i xp k , 21 ) 它称为似然函数。只要解方程组 0= i L (i=1,2,k) 就可以从中确定所要求的，它们分别称为参数 k , , 21 k , 21 的最大似然估计值。如果总体的分布是离散型的，只要把上述似然函数中的),( 21ki xp 取为)( i xP=就可以了。例正态总体的参数估计，假定已知总体遵从正态分布N()，但参数未知。现在要用总体的n次观测值x , 2 2 , 1 , x2 , xn求的最大似然估值。 2 , 解因为总体的分布密度函数为 2 2 2 )( 2 1 ),( = x e

29、xp 因此，似然函数为 2ln 2 ln)( 2 1 ),( 1 2 2 n nxL n i i = = 解方程组 = = 0 0 L L 得 = = n i i x n x 1 1 = = n i i xx n 1 22 )( 1 容易检验确实使 2 , ),(L取到最大值。因此它们分别是的最大似然估值。 2 , 估值好坏的判别标准 1 无偏性如果参数的估值 x( n 1 , x2 , xn)满足关系式 = n E 则称是 n 的无偏估值。 2 有效性如果和都是参数的无偏估值。 DD 则称比有效。进一步，如果固定样本的容量n，使极小值的无偏估值就称为 =D的有效估值。 3 一致性如

30、果对任意给定的正数，总有 ()0 lim= n n P 则称的估值是一致的。 n 由契贝谢夫不等式（见1,三）易见，当 0 lim= r n n E 对某成立时，是0r n 的一致估值。在实用中，往往应用这一充分条件来验证是否是 n 的一致估值。例总体分布未知总体参数总体参数估值无偏性有效性一致性 ),( ),( ),( ),( ),( ),( )( ), 1 ( 2 2 2 2 e N N N N bau P pB 2 2 2 2 , , , ,ba p xp = x= n xbxa= , 1 x= = = n i i x n 1 22 )( 1 = = n i i xx

31、n 1 22 )( 1 = = n i i xx n 1 22 )( 1 1 x= 有有有有有有有有有有有有有有有有有 4、样本的频率分布频率分布较完整地反映实验数据的变化规律。建立频率分布的步骤（设样本为x1 ,x2 , xn）是：（1）找出最大值与最小值，求得极差 ii xxRminmax=。（2）根据样本大小分组，通常大样本分成 1020 组，小样本分成 56 组，再根据组数k 和极差R决定组距c，如果按等距分组，则 c k R 。（3）确定分点（常取比原数据的精度高一位）。（4）数出各组的频率 i 。（5）计算频率 n i （6

32、）画直方图（分点为横坐标，频率与组距之比为纵坐标）。（7）如果变量是连续的，则描出光滑曲线，近似的代替总体的分布。 5、总体参数的区间估计小概率原理在一次试验中，概率很小（接近于零）的事件认为是实际上不可能发生的事件；而概率接近于1的事件认为是实际上必然发生的事件。置信区间与显著性水平对总体参数（如）进行区间估计（即估计参数的取值范围）时，如果对于预先给定的很小的概率 2 , ，能找到一个区间( 21, )，使得 )( 21 或 2 1 22 或 2 1 22 0 当时,否定H a rr 0 r= min n+ , n- a=10% 查符号检验表(见下页),由 N=n+=1

33、2+7=19, n a=10% 得5= a r 即否定域为5= a rr. 77 ,12min=r 因为 r=75=r10% 所以接受H0,即以10%的信度认为甲乙两人的分析结果无显著差异. 符号检验表 N 1 5 10 25 (%) N 1 5 10 25 (%) N 1 5 10 25 (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 2 3 1 2 2 3 1 2

34、3 3 1 2 3 4 2 3 3 4 2 3 4 5 2 4 4 5 3 4 5 6 3 4 5 6 3 5 5 6 4 5 6 7 4 5 6 7 4 6 7 8 5 6 7 8 5 7 7 9 6 7 8 9 6 7 8 10 6 8 9 10 7 8 9 10 7 9 10 11 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 7 9 10 11 8 9 10 12 8 10 11 12 9 10 11 13 9 11 12 13 9 11 12 14 1

35、0 12 13 14 10 12 13 14 11 12 13 15 11 13 14 15 11 13 14 16 12 14 15 16 12 14 15 17 13 15 16 17 13 15 16 18 13 15 16 18 14 16 17 19 14 16 17 19 15 17 18 19 15 17 18 20 15 18 19 20 16 18 19 21 16 18 20 21 17 19 20 22 17 19 20 22 17 20 21 23 18 20 21 23 18 21 22 24 19 21 22 24 19 21 23 25 61 62 63 64 6

36、5 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 20 22 23 25 20 22 24 25 20 23 24 26 21 23 24 26 21 24 25 27 22 24 25 27 22 25 26 28 22 25 26 28 23 25 27 29 23 26 27 29 24 26 28 30 24 27 28 30 25 27 28 31 25 28 29 31 25 28 29 32 26 28 30 32 26 29 30 32 27 29 31 33 27 30 3

37、1 33 28 30 32 34 28 31 32 34 28 31 33 35 29 32 33 35 29 32 33 36 30 32 34 36 30 33 34 37 31 33 35 37 31 34 35 38 31 34 36 38 32 35 36 39 注表中数字表示对应于符号和N与显著性水平的符号限。 r 秩和检验法此法比符号检验法的精度要高,能更好的利用数据提供的信息,并且不要求数据“成对”.其步骤用例说明如下: 例对用甲乙两种材料制成的产品进行寿命试验,得甲 1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙 1580 1600 164

38、0 1640 1700 问两种材料对产品质量的影响有无显著差异? 解把上述数据从小到大排成下表: 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲乙 1610 1650 1680 1700 1720 1750 1800 1580 1600 1640 1640 1700 上表中第一行秩表示从小到大排列的序数,数据1700甲乙均有,排在8,9两个序位,其秩按平均秩取为5 . 8 2 98 = + 。统计假设检验步骤过程分析（1）假设H0 （2）统计量（3）给出显著性水平（4）查出置信限（5）计算统计量（6）统计推断当 TTT =aaxy b 设

39、yYxXlg,lg= 则 bXaY+= lg (x , y)在双对数坐标纸上成一直线 )0(2=aaey bxo 设X = x , Y = ylg 则 XebaY)lg(lg+= (x , y)在单对数坐标纸上成一直线 xbaylg3+= o 设 yYxX=,lg 则 bXaY+= (x , y)在单对数坐标纸上成一直线 )0(4=aaey x b o 设 x X 1 = yYlg= 则 XebaY)lg(lg+= )0( 1 5 + = a bea y x o 设 x eX = y Y 1 = 则 bXaY+= caxy b += o 6 曲线与类型相同，只是在轴方向上作了移动，首

40、先在给定的曲线上取三点： , o 1 y ),(),( 2211 yxyx 213 (xxx = , 3 y ),则 321 2 321 2yyy yyy c + = c确定后，设 )lg( lg cyY xX = = 则 bXaY+= 曲线类型化直线型的变量替换 caey bx += o 7 曲线与类型相同，只是在轴方向上作了移动，首先在给定的曲线上取三点： o 2 y ),( 11 yx ),( 22 yx ), 2 ( 3 21 3 y xx x + = 则 321 2 321 2yyy yyy c + = 确定后，设 xXlg= )lg(cyY= 则 XebaY)lg(

41、lg+= )0, 0(8+ + =cac bax x y o 设 x X 1 = cy Y = 1 则 bXaY+= )0( 1 9 + =a bax y o 设 x X 1 = y Y 1 = 则 aXbY+= = + + =010 dc ba D dcx bax y o 在曲线上取一点(x0 , y0) 设X = x 0 0 yy xx Y = 则 BXAY+= 用回归直线法，从已给数据可定出A和B cbxaxy+= 2 11o 在曲线上取一点(x0 , y0) 设X = x 0 0 xx yy Y = 则 aXaxbY+=)( 0 曲线类型化直线型的变量替换 cbxax y + = 2 1 12o 设X = x y Y 1 = 则可化为类型11 cbxaxy+= 22 13o 设X = x Y = y2 则可化为类型11 cbxax x y + = 2 14o 设X =

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