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1、-1- 4.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 首页 课前篇 自主预习 一二 一、利用具体函数模型解决实际问题 1.除了上一章涉及到的数学模型,常见的数学模型还有哪些? 提示:利用具体函数解决实际问题是我们要关注的内容,具体函 数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希 望同学们能重点运用上一章提到的函数及指数函数和对数函数等 常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型: (1)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,且b1); (2)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,且a1); 课前篇 自主预习 一二 2.做
2、一做 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,现有2个这 样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( ) A.y=2xB.y=2x-1 C.y=2xD.y=2x+1 解析:分裂一次后由2个变成22=22(个),分裂两次后变成 42=23(个),分裂x次后变成2x+1个. 答案:D 课前篇 自主预习 一二 二、拟合函数模型 1.应用拟合函数模型解决问题的基本过程 课前篇 自主预习 一二 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? 提示:第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数
3、学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建 立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解. 课前篇 自主预习 一二 3.做一做 “红豆生南国,春来发几枝.”图中给出了红豆生长时间t(月)与枝数 y(枝)的散点图,那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数 模型拟合最好?( ) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 解析:根据所给的散点图,观察可知图象在第一象限,且从左到右 图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增 长趋势可得,用指数函数模型拟合最好. 答案:A 课堂篇
4、探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 指数指数或对数函数模型的应用或对数函数模型的应用 例1 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐 面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年, (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 分析:可建立指数函数模型求解. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 解得n15.故今后最多还能砍伐15年. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 反思感悟反思感悟1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型 表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为原来
5、的基础数,p为增长 率,x为时间)的形式. 2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问 题,都常用到指数函数模型. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 变式训练变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某 企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种 植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年 增长10%. (1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x 的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将 超过200万元? (参考数据lg 0
6、.11-0.959,lg 1.10.041,lg 111.041,lg 20.301) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 解:(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元, 第二年投入的资金数为 100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元, 第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数 关系式为y=100(1+10%)x万元, 其定义域为xN*|x10. 即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过 200万元. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 对数函数模型对数函数模型 例例2科学研究表
7、明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度 I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声 音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式: (a是常数),其 中I0=110-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=110-11瓦/平 方米,它的强弱等级L=10分贝. (1)已知生活中几种声音的强度如下表: 求a和m的值; (2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过 50分贝,求此时声音强度I的最大值. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 分析:(1)根据条件代入关系式,即可求出a和m的值; (2)解不等式L50即可. 即I10510-12=1
8、0-7. 答:此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 反思感悟反思感悟 (1)基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给 出函数解析式,然后根据实际问题再求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给 出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答 其实际意义. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 变式训练变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼 的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与 成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v关于Q的函数解
9、析式; (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数; (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变 化? 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 拟合拟合函数模型的应用题函数模型的应用题 例3 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了 一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连 续10年的实测资料,如下表所示: 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 (1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y); (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模
10、型y=f(x),并作出 其图象; (3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以 灌溉的土地面积是多少? 分析:首先根据表中数据描出各点,然后通过观察图象来判断问 题所适用的函数模型. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 解:(1)数据点分布如图甲所示. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 (2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们 假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型 y=a+bx(a,b为常数,b0). 取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8), 用计算器可算得a2.4,b1.8. 这
11、样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙, 可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能 较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.825=47.4,即当最大积雪深度为 25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 反思反思感悟感悟 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关 系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答, 这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般 步骤是: (1)能够根据原始数据、表格,描出数据点. (2)通过数
12、据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合 曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那 么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不 会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得 出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决 策和管理提供依据. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 变式训练变式训练3某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别 为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型
13、 y1=ax2+bx+c,乙选择了模型y2=pqx+r,其中y1,y2为患病人数,x为月 份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为 66,82,115,你认为谁选择的模型较好? 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 -,得pq2-pq1=2, -,得pq3-pq2=4, ,得q=2. 将q=2代入式,得p=1. 将q=2,p=1代入式,得r=50. 乙:y2=2x+50. 计算当x=4时,y1=64,y2=66; 当x=5时,y1=72,y2=82; 当x=6时,y1=82,y2=114. 可见,乙选择的模型较好. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究
14、三随堂演练 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所 示,则图象所对应的函数模型是( ) A.分段函数B.二次函数 C.指数函数D.对数函数 解析:由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模 型应为分段函数. 答案:A 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加 值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y 关于年数x的函数关系较为近似的是( ) 解析:当x=1时,否定选项B;当x=3时,否定选项A,D,检验C项较为接 近. 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 3.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶 B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的 水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等, 再过 min,桶A中的水只有 L. 解析:因为5 min时,桶A和桶B中的水量相等, 所以ae-5n=a-ae-5n, 答案:10