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1、-1- 5.1.1 任意角任意角 首页 课前篇 自主预习 一二三 一、任意角 1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的 角的范围是什么? 提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、 平角、周角;0360. (2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常 播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说 “107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝 (第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半, 以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运 动员翻腾的周数吗?
2、怎样度量这种形式的角呢? 提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角 的认识必须将以前学过的角的概念进行推广. 课前篇 自主预习 一二三 2.填空 (1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类 温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记成 “”; 2.如果是零角,那么记=0. 课前篇 自主预习 一二三 二、第几象限角 1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角的始边与x轴的 非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题: (1)=45的角终边落在第几象限? 提示:第一象限. (2)=120的角终
3、边落在第几象限? 提示:第二象限. (3)=-90的角终边落在第几象限? 提示:y轴的负半轴上. (4)若终边落在第二象限,则角的范围是多少? 提示:90+k360180+k360,kZ. (5)若将的终边再继续旋转角得到的角如何表示? 提示:+ 课前篇 自主预习 一二三 2.填空 象限角的定义 (1)前提: 角的顶点与原点重合; 角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角; 角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限. 课前篇 自主预习 一二三 三、终边相同的角 1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们 的终边
4、有什么关系,这些角之间相差多少度? 提示:终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍. 2.填空 一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集 合:S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表 示成角与整数个周角的和. 课前篇 自主预习 一二三 3.做一做 (1)与-40角终边相同的角的集合是( ) A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZ C.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ 答案:A (2)与1 680角终边相同的最大负角是 . 解析:1 680=5360-120,故与1 680角终边相同的最大负角是- 120. 答案:-12
5、0 (3)今天是星期一,那么7k(kZ)天后的那一天是 ,7k+2(kZ)天后的那一天是 ,2 020天后的那一天是 . 答案:星期一 星期三 星期天 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 任意角的概念及其表示任意角的概念及其表示 例例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A.60,720B.-60,-720 C.-30,-360 D.-60,720 (2)下图中的角的度数是 . 解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都 是负的,而 360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过 的角度分别是-60,-720. (2)要正确识
6、图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角旋转的 大小是360-30=330,旋转方向是逆时针,所以=330. 答案:(1)B (2)330 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟反思感悟 确定任意角的方法: (1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的, 由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负 角. (2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形 成的角是( ) A.120B.-120 C.240D.-240
7、(2)图中角= ,= . 解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是 -240,故选D. (2)由题图可知=-(180-30)=-150,=30+180=210. 答案:(1)D (2)-150 210 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 坐标系中角的概念及其表示坐标系中角的概念及其表示 角度1 终边相同的角的求解 例例2写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601 080范围内 与75角终边相同的角. 分析:根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ, 写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601 080 范围内的角. 课堂篇
8、 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 解:与75角终边相同的角的集合为 S=|=k360+75,kZ. 当3601 080时,即360k360+751 080, 又kZ,所以k=1或k=2. 当k=1时,=435; 当k=2时,=795. 综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435 角和795角. 反思感悟反思感悟 求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成 k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的 值,求出满足条件的角. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 角度2 终边在某条直线上的角的集合 例例3写出终边在如图所
9、示的直线上的角的集合. 分析:定0360范围内终边在所给直线上的两个角分别写出 与两个角终边相同的角的集合写出两个集合的并集即可 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 解:(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和 180,又所有与0角终边相同的角的集合为 S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角的集合为 S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为 S=S1S2=|=k180,kZ. (2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个, 即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为 S=|
10、=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135 +k180,kZ. (3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ,结合 (2)知所求角的集合为 S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2 k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟反思感悟 终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴 的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ; 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为 x|
11、x=k360+180,kZ; 终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ; 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ; 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ; 终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ; 终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 角度3 区域角的求解 例例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在 阴影部分内的角的集合(包括边界). 分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写; (2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180就
12、会重复出现. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 解:(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可 得终边落在阴影部分内角的集合为|- 60+k36075+k360,kZ. (2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性 可知集合为|60+k18090+k180,kZ. 反思感悟反思感悟 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写 法可分为三步: (1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始 边界和终止边界; (2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的- 360360范围内的角和; (3)分别将起始边界,终止
13、边界的对应角,加上360的整数倍,即 可求得区域角. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 答案:C 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 象限角及其应用象限角及其应用 角度1 给定一个角判断它是第几象限角 例例5已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半 轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0360范 围内与其终边相同的角. (1)405;(2)-45;(3)495;(4)-520. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 解:作出各角的终边如图所示. 由图可知:(1)405是第一象限角;(2)-45是第四象限角;(3
14、)495是 第二象限角;(4)-520是第三象限角角. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 (1)405=45+360,所以在0360范围内,与405角终边相同的角 是45. (2)-45=315-360,所以在0360范围内,与-45角终边相同的角 是315角. (3)495=135+360,所以在0360范围内,与495角终边相同的 角是135角. (4)-520=200-2360,所以在0360范围内,与-520角终边相 同的角是200角. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟反思感悟 (1)作给定的各个角时,可先找出在0360范围内与其 终边
15、相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应 的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和 旋转方向即可. (2)判断角是第几象限角的常用方法为将写成+k360(其中 kZ,在0360范围内)的形式,观察角的终边所在的象限即可. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 (1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域; (2)标号:自x轴正
16、向逆时针方向把每个区域依次标上 ,(如图所示); (3)确定区域:找出与角所在象限标号一致的区域,即为所求. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 对任意角的概念不清导致角的范围写错 典例典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合. 错解一终边为OA的角为k360+30(kZ), 终边为OB的角为k360+150(kZ), 所以终边在阴影部分内的角的集合为 |k360+30k360+150,kZ. 错解二终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为 k360+150(kZ), 所以终边在阴影部分内的角的集合为 |k360+150k360+30,kZ. 以上解答过程
17、中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正? 怎么防范? 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以 外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集. 正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为 =30+k360,kZ,终边为OB的角为=-210+k360,kZ.所以终 边在阴影部分内的角的集合为|- 210+k36030+k360,kZ. 防范措施 1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合 形式是否能够合并,能合并的一定要合并. 2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 1.下列叙述正确的是( ) A.三角形的内角必是第一或第二象限角 B.始边相同而终边不同的角一定不相等 C.第四象限角一定是负角 D.钝角比第三象限角小 解析:90角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280 角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角 小,故D错. 答案:B