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1、-1- 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 首页 课前篇 自主预习 一二三 一、三角函数的定义 1.在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为 单位圆. 如图,如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所 学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标 表示sin ,cos ,tan ?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢? 课前篇 自主预习 一二三 提示:sin =y,cos =x,tan = .这一结论可以推广到是任意角. 课前篇 自主预习 一二三 2.填空 如图,是任意角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的正 半轴,建立平面直角坐标系.
2、设P(x,y)是的终边与单位圆的交点. (1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin ,即y=sin ; (2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos ,即x=cos ; (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切,记作tan ,即 =tan (x0). 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 3.填空 课前篇 自主预习 一二三 答案:B (2)如果在角的终边上有一点M(3,4),那么如何求角的三个三角 函数值? 课前篇 自主预习 一二三 5.如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是 什么?sin
3、,cos ,tan 的值是否还存在? 提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan 的值不 存在,因为分母不能为零,但sin ,cos 的值仍然存在. 6.填空 三角函数的定义域如下表所示. 课前篇 自主预习 一二三 二、三角函数值的符号 1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标 表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同, 因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin ,cos ,tan 在不同象限内的符号吗? 提示:当在第一象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第二象限 时,sin 0,cos 0;当在第四象限时,si
4、n 0,tan 0,cos 2300,tan 0,则实数a 的取值范围是( ) A.(-2,3B.(-2,3)C.-2,3)D.-2,3 解析:由cos 0,sin 0可知,角的终边在第二象限或y轴的正半 轴上,所以有 答案:A 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 诱导公式一的应用诱导公式一的应用 例例3求下列各式的值: (1)a2sin(-1 350)+b2tan 405-(a-b)2tan 765-2abcos(-1 080); 分析:将角转化为k360+(kZ)或2k+(kZ)的形式,利用公 式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值. 解:(1)原式=a2sin(-4360
5、+90)+b2tan(360+45)-(a- b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360) =a2sin 90+b2tan 45-(a-b)2tan 45-2abcos 0 =a2+b2-(a-b)2-2ab=0. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟反思感悟 诱导公式一的应用策略: (1)诱导公式一可以统一写成f(k360+)=f()或 f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角 函数值相等; (2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值, 即可把负角的三角函数转化为0到2间角的三角函数,亦可把大于 2的角的三角
6、函数转化为0到2间角的三角函数,即把角实现大化 小,负化正的转化. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 忽视对参数的分类讨论致误 典例典例 角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos = . 错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示:错解中,误以为a0,没有对a的正负进行分类讨论,导致r求 错,从而结果错误. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 防范措施 在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点 的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练变式训练已知角的终边在直线y=x上,则sin =_. 解析:易知角的终边在第一象限或第三象限, 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取一点P(1,1), 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 答案:A 3.若tan sin20,则角在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限 解析:因为tan sin20,所以tan 0,于是角在第二象限或第四象 限. 答案:C