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1、2.1.3 函数的单调性 1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证 明函数的单调性. 2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间. 3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会 函数单调性是函数的“局部”性质. 12 1.函数单调性的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA. 如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量x=x2-x10,则当 y=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图所 示. 12 当y=f(x2)-f(x1)f(x2)时必有x1x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2. 解析:对于反
2、比例函数 (k0),当k0时,在区间(-,0)内是减函 数,在区间(0,+)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写; 当kf(5)D.f(3)f(5) 解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3f(5). 答案:C 【做一做1-3】 若函数f(x)的定义域是(-4,4,其图象如图所示,则 其单调递增区间是 ,单调递减区间是 . 答案:-3,1 (-4,-3)和(1,4 12 2.判断函数单调性的步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤: (1)任取x1,x2M,且x=x2-x10; (2)作差:y=f(x2)-f(x1); (3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方
3、、分子有理化、分 母有理化、通分等); (4)定号(即判断y的正、负); (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性). 12 一、正确理解单调性的定义 剖析:(1)第一关键“定义域内”. 研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数 的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的 子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-,0上是减函数, 在区间0,+)内是增函数. (2)第二关键“某个区间”. 增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈 不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为 这时没有一种可比性,没
4、突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈 论某一个函数是增函数或是减函数. 这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-,+) 内是增函数,y=-2x在整个定义域(-,+)内是减函数;也可以是定义 域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-,+)内不具有单调性,但在(- ,0上是减函数,在0,+)内是增函数;还有一些函数不具有单调性, 例如函数 (3)别忽视“任意”和“都有”. 在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判 断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1f(x2),若由此判定y=x2在-2,2上是减函数,那 就错了. 同样地,理解“都有”,我们也可以举例说
5、明,y=x2在-2,2上,当x1=- 2,x2=-1时,有f(x1)f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)0时,在(-,+)内是增函数;当k0时,在(-,0)和(0,+)内都是减函数;当 k0时,与y=f(x)的单调性相同;当c0. =(x1-x2)(x1+x2+4). 因为x10. 故函数f(x)=-x2-4x+2在(-,-2上是增函数. 题型一题型二题型三题型四 【例2】 (1)画出函数f(x)=2-|x-1|的图象,并根据图象求出函数的 单调区间; (2)已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写 出函数的单调区间. 分析:首先分类讨论,去掉绝
6、对值号,将函数化为分段函数,然后画 出图象求解即可. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法,但一定要 注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点, 则要写成开区间;若端点在其定义域内,则最好加上区间端点,写成 闭区间. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=|3x-1|; (2)f(x)=-x2+2|x|+3. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 【例3】 (1)已知函数f(x)在(-,0)内是减函数,试比较f(-a2+4a-6) 与f(-2)的大小; (2)
7、若函数f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)g(1-3t),求t的 取值范围. 错解:因为g(x)是增函数,且g(t)g(1-3t), 所以根据单调性的定义,得t1-3t. 错因分析:只考虑利用单调性化简,而忽略了函数的定义域对参 数t的限制. 题型一题型二题型三题型四 反思关于抽象函数单调性问题,要注意自变量的取值范围以及自 变量是否在函数的单调区间内.若在同一单调区间内,则直接转化; 若不在同一单调区间内,则需要讨论或化归到函数的同一单调区间 内再求解. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 若将例4中的条件改为“g(x)是定义在0,2上的 减函数”,再求t的取值范围. 题型一题型二
8、题型三题型四 易错点2:混淆“函数在I上单调”与“函数的单调区间是I”的区别致 错 【例5】若函数y=|x-a|在区间(-,4上是减函数,则实数a的取值 范围是 . 错解:函数y=|x-a|的图象如图所示,由于函数在区间(-,4上是单 调递减的,因此a=4. 答案:a=4 题型一题型二题型三题型四 错因分析:错解中把“函数在区间(-,4上是减函数”误认为“函数 的单调减区间是(-,4”,二者的含义是不同的,函数的单调递减区间 是(-,4,说明函数在(-,4及其子区间以外的其他区间上不再是单 调递减的;而函数在(-,4上是减函数,说明函数至少在(-,4上是 单调递减的,也可能在另一个包含该区间的
9、区间上是单调递减的. 正解:因为函数y=|x-a|的图象如图所示,所以只要a4,就能保证 函数y=|x-a|在区间(-,4上是单调递减的.因此,a4. 答案:4,+) 题型一题型二题型三题型四 【变式训练5】 若函数f(x)=4x2+bx-1的单调递减区间是(-,-1, 则b= . 答案:8 1 2 3 4 5 6 1若f(x)=(2-a)x+1在R上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.a2D.a2 解析:由已知,得2-a0,故af(1)的实数x的取值范围 是( ) A.(-,1) B.(1,+) C.(-,-1)D.(-1,+) 解析:由已知,得-4x+51. 答案:B 1 2 3 4
10、 5 6 3设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的递增区间,且x1(a,b),x2(c,d),x1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 解析:因为在函数的定义中特别强调了x1,x2两个值必须属于同一个 单调区间,不是同一单调区间时不能比较函数值的大小,所以f(x1)与 f(x2)的大小关系无法确定.故选D. 答案:D 1 2 3 4 5 6 答案:B 1 2 3 4 5 6 5已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调递减区间为 . 1 2 3 4 5 6 (1)求函数f(x)的定义域; (2)求证:函数f(x)在定义域上是增函数; (3)求函数f(x)的最小值. 分析:(1)求函数的定义域转化为解不等式;(2)根据判断函数单调性 的步骤证明;(3)利用函数f(x)的单调性求最小值.