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1、2.1.2 函数的表示方法 1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别 与联系. 2.掌握求函数解析式的一般方法. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 123 1.函数的表示方法 123 123 123 123 【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( ) 解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯 一的y与之对应,故选D. 答案:D 123 【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下: 在这个函数中,定义域为 ,值域为 . 答案:1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 123 2.用集合语言对函数的图象进行描述 对于
2、函数y=f(x)(xA)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它 对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即 P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即 F=P(x,y)|y=f(x),xA. 这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标 (x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在 图象F上. 123 123 3.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对 应法则,这样的函数通常叫做分段函数. 答案:A 123 【做一做3-2】 已知f(x)=2 014-x,
3、x表示不超过x的最大整数, 则f(2 016.5)的值为( ) A.-2.5B.2.5 C.-2 D.-3 解析:根据题意,可知f(2 016.5)=2 014-2 016.5=-2.5=-3. 答案:D 一、不是所有的图形都是函数的图象 剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数 是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数 值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x1,2,3,4,5). (2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴 的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两 个或两个以上的交点时,该图形一定不是函
4、数图象.这是因为直线 x=a(aR)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数 a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x 对应矛盾,故不是函数图象. 如图所示, 在图中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之 相对应,不符合函数的定义;而图和图中,当自变量x分别在R上 和-1,1上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图和图中的 y与x具备函数关系. 二、对分段函数的理解 剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析 法的一种形式. (2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如, (3)画分段函数的图象时,一定要考
5、虑区间端点是否包含在内,若 端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表 示. (4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏. (5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范 围,然后选取相应的对应关系. (6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分 别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在 每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值. (7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段 函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为 三、分段函数图象的画法 步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图
6、象,再取其在区间(-,0上的图 象,其他部分删去; (2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+)内的图象,其他部 分删去; (3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示. 由此可得,画分段函数 的图象的步骤是: (1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删 去; (2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删 去; (3)依次画下去; (4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象. 四、教材中的“思考与讨论” 如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则. 如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,
7、为什么? 剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y 值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以 作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形 就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象. 由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函 数的定义,故(2)不是函数的图象. 题型一题型二题型三题型四 【例1】 作出下列各函数的图象: (1)y=-x+1,xZ; (2)y=2x2-4x-3,0x2时,f(m)=2m=18,解得m=9. 综上可知,m的值为-4或9. 题型一题型二题型三题型四 反思1.求分段函数的函数值
8、时,一定要注意自变量的值所在的区 间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f” 符号时,应由内向外依次求解; 2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论 求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的 条件. 题型一题型二题型三题型四 【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动 点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为 x,PAB的面积为y. (1)写出y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域; (2)画出函数的图象,并求出函数的值域. 题型一题型二题型三题型四 分析:通过画草图可以发
9、现点P运动到不同的位置,y的求法是不 同的(如图阴影部分所示). 可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,它们的面积由 AB边上的高来决定,故只要由运动路程x求出AB边上的高即可. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立 关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函 数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义; 2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把 区间分成0x4,4x10,10x14,则是不对的.避免出现此类 错误的方法是对端点进行验证. 题型
10、一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每 一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘 记检验. 题型一题型二题型三题型四 1 2 3 4 5 6 1已知函数f(x)由下表给出: 则f(f(0)的值为( ) A.4B.2C.0D.1 解析:因为f(0)=2, 所以f(f(0)=f(2)=1. 答案:D 1 2 3 4 5 6 答案:D 1 2 3 4 5 6 答案:C 1 2 3 4 5 6 4下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹 跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是( ) 答案:D 1 2 3 4 5 6 5已知函数f(x)在-1,2上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 . 解析:观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数, 利用待定系数法求出函数解析式.当-1x0时,f(x)=x+1;当0x2时,