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1、2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学) 1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义. 2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性. 3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性 及函数的图象等. 123 1.奇、偶函数的概念 名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是 说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原 点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD, 这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于 坐标原点对称. 123 A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
2、答案:C 【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( ) A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x) B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x) C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x) D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x) 答案:D 123 解析:满足奇函数的定义,满足偶函数的定义. 答案: 123 2.奇函数、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对 称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是
3、以y轴为对称轴 的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数 是偶函数. 123 答案:C 【做一做2-2】 函数f(x)是偶函数,则其图象( ) A.关于原点对称B.关于x轴对称 C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称 答案:C 123 3.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤 (1)给自变量x赋值; (2)给出计算法则,求对应的y值; (3)由x和对应的y值组成有序数对集合; (4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应 的点集; (5)通过这些点集描出函数的图象. 注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象. 一、解读函数的奇偶性 剖析:(1
4、)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域 上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势. 奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性 不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇 偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=- f(x)(或f(-x)=f(x),才能说f(x)是奇(偶)函数. (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇 偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因 此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域 关于原点对称.换言之,若所给函数
5、的定义域不关于原点对称,则函 数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-,+)内是奇函数,但在-2,3 上不具有奇偶性. (3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非 偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点 对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)时,f(x)是 非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,xA,若定义域A关于原点对称,则 它既是奇函数又是偶函数. (4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要 注意,反之结论是不一定成立的. (5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=
6、f(|x|). 知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称 区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(00;当x(-5,-2)时,f(x)0;当x(-2,0) 时,f(x)0 上. 解:当x0时,-x-, f(-3)f(-),即f(3)f(). 题型一题型二题型三题型四题型五 正解:要使函数f(x)有意义,应满足x-20,即x2, 即函数f(x)的定义域为x|x2,显然定义域不关于原点对称, 故f(x)是非奇非偶函数. 题型一题型二题型三题型四题型五 解:显然f(-3)=0,但f(3)无意义, 即函数定义域不关于原点对称, 故f(x)是非奇非偶函数. 1 2 3 4 5
7、6 1 2 3 4 5 6 答案:A 1 2 3 4 5 6 3有下列说法: 偶函数的图象一定与y轴相交; 若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0; 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR; 若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象. 其中不正确的是( ) A.B. C.D. 解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处 可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数 集);中该图形可能不是函数的图象.故均错误. 答案:D 1 2 3 4 5 6 4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶
8、函数和奇函数,则下列结论恒成 立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 1 2 3 4 5 6 解析:因为函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,所以f(- x)=f(x),g(-x)=-g(x). 令F(x)=f(x)+|g(x)|, F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x). 故F(x)为偶函数, 即f(x)+|g(x)|是偶函数. 答案:A 1 2 3 4 5 6 5若f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=3x2-4x,则f(1)= . 解析:f(1)=-f(-1)=-3(-1)2-4(-1)=-7. 答案:-7