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1、2.2.2 二次函数的性质与图象 1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性 质. 2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研 究函数的性质. 3.学会用从特殊到一般的思想方法来研究二次函数,并注意与初 中所学知识的类比和联系. 12 1.二次函数的定义 函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数,它的定义域为R. 【做一做1-1】 下列函数中是二次函数的是( ) A.y=x-2B.y=1-x2 答案:B 【做一做1-2】 若函数f(x)=(m2-2m-3)x2-(m+1)x+5是一次函数,则 m的取值范围为 ;若f(x)是二次函数,则m的取值范围为 . 答案
2、:m=3 m-1,且m3 12 12 知识拓展1.当二次函数图象的对称轴与y轴重合,即b=0时,二次函 数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数. 2.在y=ax2(a0)中,当a0时,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物 线的开口越大;当a0)的最值问题,应采用配方法, 化为y=a(x-h)2+k的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨 论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一 轴”指的是对称轴. 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间p,q上的最值问题可作 如下讨论: 名师点拨1.当a0时的情况得到; 2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小
3、值,它们只能在区间 的端点或二次函数的对称轴上取到. 题型一题型二题型三题型四 【例1】 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴和顶点坐标,求 出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图象. 分析:本题考查配方法和二次函数的性质与图象.解题的关键是 配方,完成配方后再结合图象研究其性质. 题型一题型二题型三题型四 因为x2项的系数为负数, 所以函数图象开口向下;顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1; 函数在区间(-,-1上单调递增,在区间-1,+)上单调递减; 函数有最大值,没有最小值,函数的最大值为4. 采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点 与y轴的交点D(0,1)
4、,再任取一点E(-2,1),过这五个 点画出图象,如图所示. 题型一题型二题型三题型四 反思从这个例子可以看出,根据配方法得到的性质画函数的图象, 可以直接选取关键点.这样做可减少选点的盲目性,使画图操作更 简便,使图象更精确. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 【例2】 已知二次函数f(x)=-x2+kx+k在区间2,4上是单调函数, 求实数k的取值范围. 分析:首先求出f(x)的单调区间,要使f(x)在2,4上具有单调性,需使 区间2,4为f(x)单调区间的子集,从而建立不等式求解k的取值范围. 题型一题型二题型三题型四 反思利用二次函数的单调性
5、可以求解函数解析式中参数的取值 范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借 助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进 而求解参数的取值范围. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 若函数f(x)=2x2+kx-1在-3,-2上不是单调函数,求 实数k的取值范围. 题型一题型二题型三题型四 【例3】 函数f(x)=x2的图象经过怎样的平移,能得到函数f(x)=x2- 2x-1的图象? 分析:一般地,二次函数y=a(x+h)2+k(a0),a决定了二次函数图象 的开口大小和方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左 移,h负右移”;k决定了二次函数图象
6、的上下平移,而且“k正上移,k负 下移”.解决本题的突破口是将函数f(x)=x2-2x-1的解析式配方成 y=(x-h)2+k的形式. 题型一题型二题型三题型四 解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2. 平移的步骤是: 将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(x-1)2的 图象; 将函数y=(x-1)2的图象向下平移2个单位长度得到y=(x-1)2-2的 图象,即得到函数f(x)=x2-2x-1的图象. 反思所有二次项系数为1的二次函数的图象均可以由函数y=x2的 图象经过平移得到.平移前,应先将二次函数的解析式化为顶点式, 再确定平移的步骤. 题型一题型二题型三题型四
7、题型一题型二题型三题型四 【例4】 (1)函数y=3x2-6x+1,x0,3的最大值是 ,最 小值是 ; (2)求函数f(x)=x2+2ax+2在-5,5上的最小值; (3)求函数f(x)=x2-4x-4在t,t+1(tR)上的最小值g(t). 分析:(1)小题可根据函数在区间0,3上的单调性求出最值;(2)和 (3)小题需按照对称轴与给定区间的关系讨论求解. 题型一题型二题型三题型四 (1)解析:由于y=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,该函数的图象如图所示. 从图象易知,f(x)max=f(3)=10,f(x)min=f(1)=-2. 答案:10 -2 (2)解:f(x)=x2+2ax
8、+2=(x+a)2+2-a2,x-5,5, 当-a-5,即a5时,函数f(x)在区间-5,5上 单调递增,故f(x)min=f(-5)=27-10a. 当-52时,f(x)在t,t+1上单调递增, g(t)=f(t)=t2-4t-4. 题型一题型二题型三题型四 反思本例给出了二次函数在闭区间上最值的三种常见题型,其中 的(2)(3)小题都需要进行分类讨论.特别地,在(3)小题中,求f(x)最小 值,字母t应视作常量,f(x)的最小值应该用t表达,而不可再求g(t)的最 小值. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 求函数f(x)=2x2-4x-3在下列各个区间上的最值: (1)-2,0;(
9、2)0,3;(3)2,4. 解:f(x)=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,函数图象开口向上,对称轴为x=1. (1)当x-2,0时,f(x)在-2,0上单调递减,故ymax=f(- 2)=13,ymin=f(0)=-3; (2)当x0,3时,f(x)在0,1上单调递减,在1,3上单调递增, 故ymax=f(3)=3,ymin=f(1)=-5; (3)当x2,4时,f(x)在2,4上单调递增, 故ymax=f(4)=13,ymin=f(2)=-3. 题型一题型二题型三题型四 易错点:对问题进行非等价转化致误 【例5】 已知f(x)=x2+ax+3-a,若x-2,2,f(x)0恒成立,求a的
10、取 值范围. 错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图象可知,要使f(x)0在 x-2,2上恒成立,则只需=a2-4(3-a)0对任意x-2,2恒成立,而错解 中误认为f(x)0对任意xR恒成立,因此使所求范围缩小了. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 即a0,解得a-7. 又因为a-4,所以-7a-4. 综上所述,a的取值范围是(-7,2). 反思解答时不能凭空想象,一定要充分利用题干中的信息,并且在 化简或化归时要做到等价转化.例如,错解中就不是等价转化. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练5】 在例5中,将条件改为“若x-3,-1时,f(x)0恒成 立”,再
11、求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 1将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长 度得到的函数的解析式是( ) A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)2-3 C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2+3 答案:A 1 2 3 4 5 6 2已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(- 1,7),则a,b的值分别是( ) A.2,4B.2,-4 C.-2,4D.-2,-4 答案:B 1 2 3 4 5 6 3已知函数y=-x2-4x+1,当x-3,3时的值域是 ( ) A.(-,5 B.5,+) C.-20,5D.4,5 解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5, 所以f(x)图象的对称轴为x=-2,开口向下. 因此ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20, 故函数的值域为-20,5. 答案:C 1 2 3 4 5 6 4若f(x)=(k-2)x2-(k-1)x-3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以一次项系数-(k-1)=0,即k=1. 此时f(x)=-x2-3. 故f(x)的递增区间是(-,0. 答案:(-,0 1 2 3 4 5 6 5若函数f(x)=ax2+2x-4的图象全部位于x轴下方,则a的取值范围是 .