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1、3.3 幂函数 12 1.幂函数的定义 一般地,我们把形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x为自变 量,为常数. 关于定义的理解: 幂的底数是自变量; 幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; 幂值前面的系数是1,否则不是幂函数; 幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义 域也不同. 名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即x的系数为1, 指数位置的为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件 的均可. 12 【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是( ) 解析:幂函数必须符合y=x(为常数)的形式. 答案:D 【做一做1-2】 若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则
2、实数k的值是( ) A.0B.1 C.0或1D.k0,且k1 解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1. 答案:C 12 12 已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断 幂函数y=x的单调性时,通常借助其指数的符号来分析. 12 答案:B 12 答案:C 12 答案:二、四 一、详述幂函数的定义和定义域 剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如 y=mx,y=(mx),y=x+m,y=(x+m)(以上m均为不等于零的常数)的函 数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都 不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不
3、是幂 函数;y=x0是幂函数. (2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数 为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量. 二、幂函数的图象与性质 剖析:(1)幂函数的图象 幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主 要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图 象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图 象分布进行一番考查. 考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面: 定义域:有xR,x0,x0,x0四种情况. 奇偶性. 单调性:侧重点在第一象限.当指数0时,尤其要注意以(0,0)和 (1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况. 曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况. (2)幂函数的性质 所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都通过点(1,1); 若0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是增函 数; 若1与01还是01时,幂指数大的函数的函数值 较大,故有bcda. 方法二(类比法): 当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴, 类似于典型幂函数y=x-1,故a1. 故0 (2)