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1、-1- 4 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 导数的运算法则 (1)函数的和差的导数:f(x)g(x)=f(x)g(x). (2)函数的乘积的导数:f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x). 特别地,当g(x)=k时,有kf(x)=kf(x). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首
2、页 名师点拨1.导数运算法则的特点. 对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的 积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误.应特别注意积与商 中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”. 2.应用运算法则时的注意点. 解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确 的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化 简,再求导,以减少运算量. 3.运算法则的推广. 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即 f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)=f1(x)
3、f2(x)f3(x)fn(x). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 函数f(x)=sin x+x的导数是( ) A.f(x)=cos x+1B.f(x)=cos x-1 C.f(x)=-cos x+1D.f(x)=-cos x+x 解析:f(x)=(sin x+x)=(sin x)+(x)=cos x+1. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “
4、”. (1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( ) (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)在任何情况下都不成立. ( ) (3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( ) (4)cf(x)=cf(x). ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 利用导数的四则运算法则求导利用导数的四则运算法则求导 【例1】 求下列函数的导数. 分析:仔细观察和分析各函数的结构特征,紧扣求导运算法则,联 系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的要进行适当变形. XINZHIDA
5、OXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 解:(1)y=(xtan x)=xtan x+x(tan x) (2)y=(x4-3x2-5x+6) =(x4)-(3x2)-(5x)+6=4x3-6x-5. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧 (1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正 确的公式和法则. (2)对三角函数在求导之前可先利用三角恒等变换进行化简,再进
6、 行求导. (3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导 法则,能展开的先展开成多项式,再求导. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练1函数y=sin xcos x的导数是( ) A.sin2xB.cos2x C.sin 2xD.cos 2x 解析:y=(sin xcos x)=(sin x)cos x+sin x(cos x)=cos2x-sin2x=cos 2x. 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJ
7、IEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练2求下列函数的导数. (1)y=2xlg x; y=(1+cos x)=-sin x. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 导数计算的综合应用导数计算的综合应用 【例2】 设函数f(x)=ax- (x0),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线 方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成 的三角形面积为定值,并求此定值. 分析:(1)利用求导
8、公式求得切线的斜率,建立关于a,b的方程组求 解;(2)由导数的几何意义表示出切线方程,根据题意表示出三角形 的面积. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 将y=x与曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程联立, 即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x的交点坐标为 (2x0,2x0). 所以,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切
9、线与y轴和直线y=x所围成的 三角形面积为 即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三 角形的面积为定值,此定值为6. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则, 快速求得函数的导数,代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点 处的切线斜率,这样比利用导数定义要快捷得多. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练3曲
10、线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 . 解析:因为y=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率 k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. 答案:y=3x+1 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 因运算法则应用不恰当而造成失误 【典例】 求下列函数的导数. (1)y=(x2+1)2;(2)y=cos2 . 易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够 直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等 变换,转化为易于求
11、导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求 导,例题(2)进行三角恒等变换后求导. 解:(1)y=(x2+1)2=x4+2x2+1, y=(x4+2x2+1)=(x4)+(2x2)+1=4x3+4x. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 纠错心得1.应用基本初等函数求导公式和法则,一定要熟记公式, 透彻理解函数结构特点,恰当选择公式,挖掘内在联系和规律. 2.对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形,常见形式有把乘积 式展开,分式形式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂,三角形 式多为三角恒等
12、变换. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练求下列函数的导数. y=(x2+x3+x4)=(x2)+(x3)+(x4)=2x+3x2+4x3. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 2.已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为( ) A.1B.1 C.-1 D.-2 由可得x0=1,a=1. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 3.已知抛物线y=ax2+bx-5(a0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7, 则a= ,b= . 解析:令y=f(x)=ax2+bx-5(a0), 则f(x)=2ax+b,f(2)=4a+b. 即4a+b=-3. 又点(2,1)在y=ax2+bx-5上, 4a+2b-5=1,即4a+2b=6. 答案:-3 9