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1、多粒子体系的统计理论初步,平衡态下的宏观量与微观量的关系。 平衡态下的物理量的分布（能量、速率等） 非平衡态下的热现象（热传导、扩散等）,1.经典统计的概念,一.理想气体微观模型：,2.除碰撞外，分子间相互作用力及重力可忽略，分子视为自由运动。,3.分子间、分子与器壁间为完全弹性碰撞。,实际气体在温度较高，压强较低时可视为理想气体。,1.分子间平均距离 分子线度，视为质点。,理想气体是大量自由的、无规则运动的弹性粒子组成的多粒子体系。,二、平衡态,在不受外界影响的条件下，物体的宏观性质不随时间变化的状态平衡态,不受外界影响，是指外界对系统不作功、不传热。,宏观性质不随时间变化，是指物体的宏观可
2、观测性质确定不变。,热动平衡,三.宏观量与微观量,1.宏观量：描述体系宏观性质的物理量，与宏观态相对应，可由实验测量。,2.微观量：描述个别粒子特性的物理量。,四.统计的规律性和涨落现象,1.统计规律,伽耳顿板实验,大量小球落下的分布宏观态 每个小球落下的位置微观态,2.涨落现象,一个宏观态下的微观态是不确定的、变化的，各种微观态以一定的概率出现，宏观态即是对应的微观态的统计平均值。,各次实验结果与理论统计平均值之间存在偏差，为统计规律的特点之一。,一个宏观态包含有大量的微观态，宏观态不是微观态简单的叠加，而是服从一种新的规律统计规律。,四.统计规律的定量分析,以伽耳顿板实验为例：,xi,hi
3、,则落在第个i槽中的小球数 N=Cxihi,xi,第i个槽的位置坐标为xi，槽的宽度为xi 在此槽中小球的高度为hi，C 为单位面积内的小球数。,小球总数,小球落入第 i个槽的概率,令x 0，则有,设：,则：,或,小球沿x的分布函数，小球落入x附近单位区间的概率（概率密度）。,归一化条件：,五.等概率假设,在经典统计理论中，波尔兹曼提出：对于处在平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率相等。设微观态的总数为P，则任一微观态出现的概率为1/P。等概率假设是经典统计理论的重要出发点，已为大量实验所证实。,2 分子平均平动动能统计分布规律,一.气体分子运动等概率假设,1.气体分子在容器中各处出
4、现的概率是均等的。即气体分子数密度处处相等。,2.气体分子沿各方向运动的概率相等，即分子速度在各方向上分量的各种平均值相等。,二.压强公式,1.气体产生压强的原因,气体压强不可能由气体分子的重力产生。,压强是大量分子对容器壁不断碰撞而产生的。,2.公式推导,推导思路,求i分子与器壁A碰撞一 次时施于A的冲量,求i分子在t时间内对A的碰撞次数,求i分子在t时间内施于A的冲量,N个分子t时间内施于A的总冲量,压强,分子数密度,X方向速率平方的平均值,分子平均平动动能,4.压强公式讨论,假设,分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。,宏观量与微观量联系起来，反映宏观量的微观本质,分子在运动中遵守力学
5、定律，在碰撞时可视为完全弹性小球。,压强取决于分子数密度和平均平动动能值值,分子沿各方向运动的分子数目相等,分子速度在各方向分量的各种平均值相同。,压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果，单个分子的压强没有意义。,三.温度的统计意义,1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统与另一系统处于热平衡的宏观标志。,温标温度的数值表示法，量化冷热程度。,摄氏温标(0C):规定1atm下，纯水的冰点为0度，汽点为100度。,华氏温标(0F):规定1atm下，水、冰和氯化铵混合物为00F，水的汽点为2120F。,热力学温标(K):与测温物质无关。,T = 273.15 + t,绝对0度能否达到？,2.微观统计
6、意义,分子数密度,玻尔兹曼常数,分子平均平动动能公式。,温度是分子平均平动动能的量度，表示大量分子热运动的剧烈程度，对个别分子温度没有意义。,3 分子能量的统计分布,质点：3个平动自由度(t),火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1； 轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2； 飞机（看成质点）在天空中飞行，自由度为3 ；,确定物体位置的独立坐标数.,刚体：,平动：,质心位置,轴线方位：,转动：,X、Y、Z,、（）,3个平动自由度(t),3个转动自由度(r),双原子分子,平动自由度t=3,平动自由度t=3,转动自由度r=2,三原子分子,平动自由度t=3,转动自由度r=3,二、能量均分定理,气
7、体分子沿 x、y、z 三个方向运动的平均动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,在温度为T的平衡态下，分子的每个自由度具有相同的平均动能，其大小都等于,1.能量按自由度均分定理：,2.平均总能量理论实验对比 单原子分子：吻合 双原子分子：不吻合,我们的研究以常温下为主。只考虑双原子分子的平动和转动自由度，不考虑振动自由度。,1.气体的内能：所有分子的（N个分子）各种形式的动能和势能的总和。,动能：,平动动能,转动动能,振动动能,势能：,分子间的势能,分子内原子间的势能,2.理想气体的内能：所有分子的（N个分子）平动动能和转动动能的总和。,3.注意 自由度数的确定
8、 单原子分子i3，双原子分子i5,区别平均平动动能、平均总动能、平均总能量以及内能。,一定质量理想气体的内能为,1mol理想气体的内能为,itr,例题：某容器内装有氧气，m=1mol，P=1atm， t=27，求：、n、,四.气体分子的能量分布,讨论分子数与力场的关系。,当气体分子处在重力场或带电离子处在电场中，此时分子数的分布与力场有关，单位体积的分子数（n）不再均匀。,波尔兹曼提出：,势能为零分子数密度,势能为Ep分子数密度,海平面上压强,L,兰媚耳实验:,4.气体分子速率的统计分布,讨论气体分子数随速率的分布情况,S,P,平衡态下，一定量气体分子总数为N,分子速率处于 区间的分子数为dN
9、。,一.麦克斯韦速率分布函数,表示速率分布在 区间内的分子数占总分子数的比率。,与速率v有关,与速率区间dv有关,速率分布函数,速率在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。,归一化条件,二.速率分布曲线 （ f(v) v 曲线）,分布在vp所在区间内的分子数占总分子数的几率最大。,1.最概然速率,最概然速率：与分布函数f(v)的极大值相对应的速率。,极值条件,2.麦克斯韦分布曲线随温度变化,温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。,3.麦克斯韦分布曲线随质量变化,分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条
10、件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。,三.两种速率,1.平均速率,对于连续分布,2.方均根速率,例题：温度300K时，氧气分子的最概然速率，平均速率与方均根速率。,解：,5.分子碰撞的统计分布,一.平均碰撞频率,单位时间内分子的平均碰撞次数。,碰撞机构的简单模型, 假设气体分子都是直径为d的刚球（有效直径）,分子之间的碰撞是完全弹性的, 柱体中的分子数, 凡是能够与a发生碰撞的分子，其球心必须在半径为d的圆柱体内, 平均碰撞频率, 修正后的平均碰撞频率,d,2.计算,1.定义,分子在连续两次碰撞所通过的自由路程的平均值平均自由程, 6.气体的输运过程,从非平衡态过渡到平衡态
11、的过程,二.热传导现象,一.扩散现象,三.粘滞现象,四.渗透现象,一.扩散现象,1.微观解释：接触层密度的区别，使进入双方的分子数不同，出现质量迁移。,2.基本规律菲克定律,接触时间,接触面积,扩散系数,密度梯度,质量输运方向,3.实质：密度不一致引起分子质量的输运,1.微观解释：接触层通过交换分子，使分子热运动动能发生迁移。,二.热传导现象,3.实质：温度不一致引起分子热运动能量的输运,2.基本规律傅立叶定律,热导率,接触面积,接触时间,温度梯度,热量传递方向,1.实验规律,接触面积,粘滞系数,流速梯度,2.实质：气体内定向动量的输运,三.粘滞现象,四.渗透现象,h,2.微观解释,1.宏观现
12、象选择性扩散现象,半透膜：对溶液的通透具有选择性,3.基本规律范托夫定律,渗透压,mol浓度,1升水溶解20克的糖，可产生14米水柱高的渗透压。,腹泻与脱水：,土壤的呼吸：,1.强相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持为一个整体，尽管质子间存在很大的排斥作用。,2.电磁力：长程力，它使原子核与电子能聚集在一起形成原子。,3.弱相互作用：短程力，能引起粒子间的某些过程，例如中子和原子的放射性衰变，以及其它粒子的衰变。,4.引力：长程力，在宇宙的构造和演化过程中起主要作用。,小常识：自然界中的四种基本相互作用,宏观物体之间所能观测到的，只有电磁力与引力。我们已经认识到物质世界千变万化的现象，归根结底只通过这四种基本相互作用起作用。,类型,相对强度,作用距离（m）,强相互作用,弱相互作用,电磁相互作用,引力相互作用,1,10-13,10-2,10-38,10-15,10-18,长,长,