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1、6 6. .2 2 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测2341 1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前 一项的 等于 ,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表 示.数学语言表示为 (nN*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为an= . 第2项 差 同一个常数 公差 an+1-an=d 等差中项 a1+(n-1)d am+(n-m)d 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测2341 2.等
2、差数列及其前n项和的性质 (1)若m+n=p+q,则 (m,n,p,qN*);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,pN*). (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差 为 的等差数列. (3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列. (4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列 也是 数列. (5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). am+an=ap+aq md 等差 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测2341 3.等差
3、数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的 一次函数;当d0时,数列an为递增数列;当d0,d0, 则Sn存在最 值. 大 小 知识梳理 2 -6- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 an一定是等差数列. ( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ( ) (4)数列an为等差数列
4、的充要条件是对任意nN*,都有 2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ( ) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 2.(2018内蒙古赤峰期末)张丘建算经是我国古代内容极为丰 富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织 五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具 体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是( ) A.25日B.40日 C.35日D.30日 答案
5、解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 3.设Sn是等差数列an的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=( ) A.42 B.21C.23 D.44 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 4.(2017全国,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若 a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) A.1B.2C.4D.8 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 5.(2018上海,10)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14, 则S
6、7= . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -11- 考点1考点2考点3考点4 例1(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值 是( ) A.4B.3C.1D.2 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( ) A.3B.4C.5D.6 思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 答案 答案 关闭 (1)B (2)C -12- 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65, 公差d的值是3.故选B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm
7、+1-Sm=3, 数列an为等差数列, d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5. -13- 考点1考点2考点3考点4 (方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 则等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1. -14- 考点1考点2考点3考点4 -15- 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 已知
8、其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数 为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a- d,a+d,a+3d. -16- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99C.98 D.97 (2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 答案 关闭 (1)C (2)-72 -17- 考点1考点2考点3考点4 -18- 考点1考点2考点3考点4 -19- 考点1考点2考
9、点3考点4 例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 思考判定一个数列为等差数列的基本方法有哪些? -20- 考点1考点2考点3考点4 (1)证明 由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1, 即an+1-an=2n-1. 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项公式为an=n
10、2-2n+2. -21- 考点1考点2考点3考点4 解题心得等差数列的判定方法: (1)证明数列an为等差数列的基本方法有两种: 利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*); 利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*). (2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接 判断: 通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则 an是等差数列. 前n项和法:若数列an的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形 式(A,B是常数),则an是等差数列. (3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项) 不是等差数列即可.
11、 -22- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足 b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式; -23- 考点1考点2考点3考点4 -24- 考点1考点2考点3考点4 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -25- 考点1考点2考点3考点4 考向二 等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前 3m项的和为 . 思考本例题应用什么性质求解比较简便? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -26- 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.利用等差数列项的性质解决基
12、本量的运算体现了整 体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)与 am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量. 2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较 简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列 -27- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9- a11+a13等于( ) A.3B.6C.17 D.51 (2)已知等差数列an,bn的前n项和分 (3)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a
13、9= . 答案 答案 关闭 (1)A (2)D (3)45 -28- 考点1考点2考点3考点4 -29- 考点1考点2考点3考点4 (3)an为等差数列, S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45. -30- 考点1考点2考点3考点4 例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n 取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法? -31- 考点1考点2考点3考点4 -32- 考点1考点2考点3考点4 nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或n=13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.