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1、选修选修4 4系列系列 选修选修4444 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测234165 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测234165 2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫做极点,自 极点O引一条 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一 个 单位(通常取 )及其正方向(通常取 方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做 点M的极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐 标,记为 . 定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 距离
2、|OM| xOM (,) M(,) 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测234165 3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,), (2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差 2的整数倍).一般取0,0,2). 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测234165 4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则直线的方程 为:sin(-)= . (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 直线过极点:=0和 ; 直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ; 0sin(0-) =+0 cos =a sin =b 知识梳理 -7-
3、 知识梳理双基自测234165 5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 圆心位于极点,半径为r:= ; 圆心位于M(a,0),半径为a:= ; r 2acos 2asin 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测234165 参数方程 参数 y0+tsin 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测234165 a+rcos b+rsin acos bsin 2pt2 2pt 知识梳理 2 -10- 知识梳理双基自测3415 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 答案解
4、析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -12- 知识梳理双基自测23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -13- 知识梳理双基自测23415 4.(2018北京,理10)在极坐标系中,直线cos +sin =a(a0)与圆 =2cos 相切,则a= . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -14- 知识梳理双基自测23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -15- 考点1考点2考点3考点4考点5 考向一 直角坐标方程化为极坐标方程 例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1, 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
5、建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N, 求C2MN的面积. 思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程? -16- 考点1考点2考点3考点4考点5 -17- 考点1考点2考点3考点4考点5 考向二 极坐标方程化为直角坐标方程 例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平 面直角坐标系. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一 点,求ABP面积的最大值. 思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程? -18- 考点1考点2考点
6、3考点4考点5 -19- 考点1考点2考点3考点4考点5 -20- 考点1考点2考点3考点4考点5 解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化简即可. 2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)及方程 两边平方是常用的变形方法. 对点训练对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标 原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐 标为 ,半径为1. 求圆C1的极坐标方程; 设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.
7、-21- 考点1考点2考点3考点4考点5 (2)在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l: 以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立 平面直角坐标系. 求圆O和直线l的直角坐标方程; 当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标. -22- 考点1考点2考点3考点4考点5 -23- 考点1考点2考点3考点4考点5 -24- 考点1考点2考点3考点4考点5 (1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程; (2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距 离相等,求点P的坐标. 思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么? -25- 考点1考点2考点3考点
8、4考点5 -26- 考点1考点2考点3考点4考点5 解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用 的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与 角有关的参数方程,经常用到公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数 方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参 数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只 需套用公式即可. -27- 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练对点训练2(2018江西六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的 参数方程为 (其中t为参数).在以原点O为极点
9、,以x轴为 极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=4sin . (1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程; (2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的距离 的最小值. -28- 考点1考点2考点3考点4考点5 -29- 考点1考点2考点3考点4考点5 (1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)若射线OM:=0(0)平分曲线C2,且与曲线C1交于点A,曲线 C1上的点B满足AOB= ,求|AB|. 思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离? -30- 考点1考点2考点3考点4考点5 -31- 考点1考点2考点3考点4考点5 解题心得1.在极坐标系中
10、求两点间的距离,可以结合极坐标系刻 画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利 用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐 标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的 距离. 2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,),B(2,)的距离 |AB|=|2-1|. -32- 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练对点训练3在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16, 求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
11、 -33- 考点1考点2考点3考点4考点5 解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积 -34- 考点1考点2考点3考点4考点5 例5(2018全国,理22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程 于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长? -35- 考点1考点2考点3考点
12、4考点5 解:(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. -36- 考点1考点2考点3考点4考点5 解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数 方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|. -37- 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练对点训练4已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数,为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴 正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为=4cos . (1)写出曲线C的直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN| 的取值范围. -38- 考点1考点2考点3考点4考点5 -39-
13、 考点1考点2考点3考点4考点5 -40- 考点1考点2考点3考点4考点5 (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径. 思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么? -41- 考点1考点2考点3考点4考点5 解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); -42- 考点1考点2考点3考点4考点5 解题心得求解极坐标方程与参数方程综合问题的一般思路:分别 化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直 观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确 定选择何种方程. -43- 考点1考点2考点3考点4考点5 别与圆C1和圆C2交于不同于原点的点A和点B. (1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系,求圆C1和圆C2的极坐标方程; (2)求C2AB的面积.