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1、函数的单调性,为了预测2010年上海世博会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2004年到2009年每年这一天的天气情况，下图是预测的上海市明年5月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.,t（ h ）,问题1 怎样描述气温随时间的增大而变化的情况呢？,问题2 怎样用数学语言（从函数的角度）来描述从4点到14点时段内，“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征呢？,问题3 在区间4，16上，气温值是否随时间增大而增大？,创设情境，引入课题,1,x,y,o,x,观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？,0,y,1,1,2,4,-1,-2,-1,1,(-,0上当x增大
2、时f(x)随着减小,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,当x增大时f(x)随着增大,函数在R上是上升的,函数在(-,0上是下降的,(0,+)上当x增大时f(x)随着增大,函数在(0,+)上是上升的,1,问题4：能否根据自己的理解，说说什么是增函数，减函数呢？,如果函数在某个区间上随自变量x的增大，函数值y越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，函数值y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数。,问题5：如何根据函数的解析式，用数学语言从“数”的角度来说明函数 f(x)=x2在(0,+) 为增函数呢？,x12,x22,x,0,x1,x
3、2,y,f (x1),f (x2),在(0,+)上任取 x1、x2 ,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,某个区间D,某个区间D,问题6：请类比描述单调减函数的定义？,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f
4、(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。,注意：,判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1
5、)，则函数 f (x)在R上是增函数；,（3） x 1, x 2 取值的任意性,在(-,0)上是_函数,在(0,+)上是_函数,减,减,反比例函数 ：,-2,y,O,x,-1,1,-1,1,2,y,O,x,-1,1,-1,1,取自变量1 1， 而 f(1) f(1),说明： 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数,解:函数y=f(x)的单调区间有5,2）,2,1) ，1，3), 3，5.,逗号 隔开,例1. 如图是定义在闭区间5,5上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函
6、数？,其中y=f(x)在区间2，1)，3，5上是增函数；,说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.,证明函数 在R上是减函数.,即,例2.利用定义：,证明：设 是R上任意两个值，且 ，,则,取值,作差变形,判断差符号,下结论,4.下结论:由定义得出函数的单调性.,1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1 x2,2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；,3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负；,证明函数单调性的步骤：,证明函数 在区间(0,+)上是增函数,证:设 是(0,+)上任意两个值且,即,在区间(0,+)上是增函数,取值,作差变形,判断差符号,下结论,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,3.(定义法)证明函数单调性的步骤:,2.图象法判断函数的单调性：,1. 增函数、减函数的定义；,上升,下降,如何确定函数,的单调区间？,思考题：,作业:课本39页A组第1、2、3题,