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1、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,2.3.2,洛必达法则,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,推论.,定理 1 中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,例2 求,解,例3. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n
2、 为正整数) ?,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例4,解,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,证:,仅就极限,存在的情形加以证明 .,(洛必达法则),1),的情形,从而,2),的情形.,取常数,可用 1) 中结论,3),时, 结论仍然成立. ( 证明略 ),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,例5 求极限,解 原式,例6 求极限,极限,例7 求极限,解,例8 求,但是,在某些情况下洛必达法则的条件虽然满足，但仍然不能解决问题,例如,而,用洛必达法则,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 和 .,步骤:,步骤:,例9 求下列极限：,解,步骤:,例10 求下列极限：,解 原式,例11 求下列极限：,解 (1)原式,(2)原式,(1),(2),思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,原式,分析:,分析:,3.,原式,求下列极限 :,解:,备用题,解:,原式 =,