高考数学总复习精品课件（苏教版）：第七单元第一节 数列的概念与简单表示法.ppt

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1、第一节 数列的概念与简单表示法,基础梳理,1. 数列的概念 （1）按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的 项. （2）数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an, ，数列简记为 an，其中a1称为数列的第1项(或称为首项），a2称为第2项，an称为第n项. 2. 数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列项数 有限 的数列； 无穷数列项数 无限 的数列.,3. 数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集1,2,k）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)

2、，如果f(i)(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),. 4. 数列的通项公式 如果数列an的 第n项与序号n之间的关系 可以用一个 公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式.,列举法、列表法、解析法、图象法.,典例分析,题型一 数列的概念及通项公式 【例1】写出下列数列的一个通项公式 (1) 3,5,9,17,33,; (2) (3) (4) (5),5. 递推公式 如果已知数列an的首项（或前n项)， 且 的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.,任一项 与它的前一项 （或前几项）间,分析 分析各项的特点

3、，找出规律，归纳出结论，然后再进行验算，从而得出答案.,解 (1)中3可看做 ,5可看做 ,9可看做 ,17可看 做 ,33可看做 ,所以 . (2)每一项的分母都是2，分子是相应项数的平方，所以 . (3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式 ,观察 各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可知，分母分别由奇数 7,9,11,13组成，而分子则是 , , ， ,按照这样 的规律,第1、2两项可改写为 , ,所以,(4)数列中的1可看成 ，而0可看成 ，即 . (5)数列中偶数项均为0,奇数项的符号正负相隔，则想到用正弦、 余弦函数来调整，若数列 为1,0,-1,0,1,0,则可用 来表示

4、,所以数列 1,0, ,0, ,0,的通项公式为,学后反思 由数列的前几项写出一个通项公式尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律，首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化，其次要分析变化的因素与序号n的联系,再次是写出通项后进行验证或调整.,举一反三 1. 数列 的通项公式an是.,解析: 将数列中的各项变为 故其通项公式,答案:,题型二 递推公式 【例2】 根据下列条件，写出数列的通项公式.,分析 (1)将递推关系写成n-1个等式累加. （2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.,方法二：由 ,得,学后反思 （1）对于形如an

5、+1=an+f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项. （2）对于形如 的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.,举一反三 2. 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1(n2);,解析： (1) 以上n-1个等式两边分别相加得,(2),以上n-1个等式两边分别相乘得,题型三 利用数列的前n项和公式求通项 【例3】已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式. （1）Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.,分析 当n2时，由 ,求出 .再验证当n=1时, 是否适合上式

6、.,解 (1)a1=S1=2-3=-1,当n2时， an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)- 2(n-1)2-3(n-1) =4n-5, 由于a1也适合此等式，an=4n-5.,(2)a1=S1=3+b, 当n2时， an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 当b=-1时，a1适合此等式； 当b-1时，a1不适合此等式. 当b=-1时，an=23n-1; 当b-1时，,学后反思 已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点： 应重视分类讨论的应用，分n=1和n2两种情况讨论,特别注意用an=Sn-Sn-1时需n2; 由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a

7、1也适合“an式”,则需统一“合写”;,由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示（“分写”）, 即,3. 已知数列 的前n项和 ，求数列 的通项公式. （1） (2) .,解析: (1)当n=1时， ; 当n2时， 又当n=1时， (2)当n=1时， ; 当n2时， ,题型四 数列与函数 【例4】（14分)已知数列 的通项公式为 (1)0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性.,分析 （1）令an=0.98,看能否求出正整数n； （2）判断 的正负.,解 (1)令 =0.98，解得n=7,故0.98是此数列的项. 6 （2） 10

8、 ,故此数列是递增数列.14,学后反思 （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解. （2）判断数列的单调性就是比较 与 的大小.,举一反三 4. 已知数列 的通项公式为 ,试问数 列 中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没 有，说明理由.,解析： 当n7时， ,即 当n=8时， ,即 当n9时， ,即,综上可知，存在最大项，最大项为,易错警示,【例】 已知数列an中 -kn(nN*)，且 单调递增，则实数k的取值范围是.,错解 因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若 递增，则必有 1，故k2. 错解分析 函数的单调性与数列的单调性既有联系又

9、有区别，即若数列所对应的函数单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)的特殊函数.故对于数列单调性的判断一般要通过比较 与 的大小来判断，若 ，则数列为递增数列;若 ,则数列为递减数列.,正解 由于 ,由于 单调递增，故应有 ,即2n+1-k0恒成立，得k2n+1,故只需k3即可.,考点演练,10. 数列 中， =1,对于所有的n2，nN*都有 ，求 的值.,11. 已知数列an的通项公式为 =n(n+2),问： (1)80,90是不是该数列的项？如果是，是第几项？ （2）从第几项开始，该数列的项大于

10、10 000?,解析: (1)令n(n+2)=80, 解得 =8, =-10(舍去)， 80是数列的第8项; 令n(n+2)=90,而此方程无正整数解, 90不是该数列的项. （2） =9910110 000, 而 =10010210 000, 从第100项开始，该数列的项大于10 000.,12. (2008全国)设数列 的前n项和为 ,已知 ,nN*. (1)设 ,求数列 的通项公式； (2)若 ,nN*，求a的取值范围.,解析: (1)依题意， ,即 由此得 因此，所求通项公式为 ,nN*. (2)由知 ,nN*, 于是，当n2时， 则,当n2时， 又 综上，所求的a的取值范围是-9,+

11、).,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal

12、= aman. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应

13、分q=1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1

14、.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)； (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (

15、3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列

16、的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19

17、+a20的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2， a17+a18+a19+a20=S424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）

18、求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）. (1)判断an是何种数列，并给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b

19、5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为

20、的等比数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列， 其中 ,即 , , 当n2时，,即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解 依题意，设这四个数为 , ,aq, , 则 , , 由得 ,代入并整理，

21、得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题 过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里. 正解 依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 解得 或,考点演练,10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求,解析： 由等比数列性质得， , , , 成等比数列， 则 由 得 ,又 解得,11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值； （2）若 ，求n的值.,解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.,12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式.,解析： (1)由 及 ,得 ,即 , , 当n2时， . -得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即,