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1、摘要以Fourier变换为代表的积分变换在许多工程领域有着广泛应用，因此，总结和分析Fourier变换的主要应用案例，对于加深对积分变换理论和方法的理解有着重要的实际意义。本文首先从Fourier变换的基本理论出发，对其常用性质和Fourier变换的几种重要变种进行了总结。在此基础上，对Fourier变换在一些实际应用中的思想方法以及快速Fourier变换(FFT)的算法实现进行了分析，得出了Fourier变换的一些应用特点。关键词：Fourier变换，应用分析，仿真模拟AbstractThe integral transformations, e.g., Fourier transforma
2、tion, have the widespread application in many project domains. Therefore, summarizing and analyzing the Fourier transformation has the highly practical significance to deepen the understanding of the integral transformation theory and method. Begining with the basic theory of Fourier transformation,
3、 we summarizes its characters and several kinds of variants. On the basis of these, we further analyze the methods of Fourier transformation via some application examples and the realization of Fast Fourier transformations algorithm, and then obtains the festures of Fourier transformation in applica
4、tion.Keywords:Fourier transform, Application analysis, Simulation目录1绪论11.1 Fourier变换概述11.2研究目的和意义22 Fourier变换基本理论32.1 Fourier级数的定义32.2 Fourier变换的定义32.3 Fourier变换的物理意义42.4 Fourier变换的基本性质53 Fourier变换几种重要变种83.1有限长序列的Fourier分析83.2离散Fourier级数(DFS)93.3离散Fourier变换(DFT)103.4分数阶Fourier变换(FRFT)的定义和性质174 Fouri
5、er变换的应用案例研究204.1离散Fourier变换(DFT)的应用分析204.2分数阶Fourier变换(FRFT)的应用分析275快速Fourier变换的算法以及实现355.1算法原理355.2按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较395.3算法的C+实现416总结和展望44参考文献45致谢48IIIFourier变换的应用分析 481绪论1.1 Fourier变换概述Fourier变换的基本思想首先由法国学者Fourier系统提出，所以，以其名字来命名以示纪念。1807年，Fourier向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三
6、角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。Fourier级数(即三角级数)、Fourier分析等理论均由此创始。最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的1。自此之后，Fourier变换经过了长时间的发展，衍生了很多不同的变种，在各个领域逐渐得到更为广泛的应用。在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域Fourier变换都有着广泛的应用(例如在信号处理中，Fourier变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。特别是在分数阶Fourier变换2被提出后，它的应用更是走上了一个新的台阶。在
7、现代数学的理论体系中，Fourier变换正在各个领域起着举足轻重的作用。从哲学上看，“分析主义”和“还原主义”3，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域也是这样，尽管最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论4想
8、法又是非常的相似。这就引起了人们对Fourier变换的广泛关注和研究，现代数学理论发现Fourier变换具有非常好的性质，例如：(1)Fourier变换是线性操作数，若赋予适当的范数，它还可以是酉操作数；(2)Fourier变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；(3)正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；(4)著名的卷积定理5指出：Fourier变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单
9、手段；(5)离散形式的Fourier变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速Fourier变换算法(FFT)。由于上述的良好性质，并且Fourier变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们积分的线性组合。在不同的研究领域，Fourier变换还具有多种不同的变体形式，如连续Fourier变换和离散Fourier变换等。也正因为此，Fourier变换不光在物理学、数论、组合数学、概率论、统计学等经典学科中有着十分重要的应用，而且还在信号处理、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学、经济学等新学科中有出色的表现。1.2研究目的和意义在许多科学分支的理论中，F
10、ourier变换都扮演着重要的角色。就像其他的变换一样，它们可以被单纯的看做数学泛函。同时，在很多领域，它们恰好和它们所起源的函数一样有明确的物理意义。例如，一个波形光的，电的，声的和它可以同样地理解为实际上可想象的和可测量的实体：示波器可使我们看见点波形，而分光镜或是频谱分析仪使我们可以看见光的或是电的谱。我们对声音的鉴别甚至更为直接，因为耳朵听到的是谱。波形和谱互为Fourier变换，因此，Fourier变换是一个不寻常的物理关系。另外，Fourier变换应用的领域之广也是令人吃惊的。通常，在研究的一个学科分支中的熟悉概念，在另一个学科分支中就稍有不同。例如，相称显微镜的原理使我们联想到鉴
11、频调制电路，对两者的解释都可以采用变换形式用同样的方法方便地进行。再比如，统计学中的问题可以使用在级联放大器研究中熟悉的方法。这仅仅是出现在不同物理实体中Fourier变换理论的基本原理的一个实例6。将已有的经验从一个物理领域转移到另一个物理领域甚至是多个不同领域是很有益的，但有必要重新解释新的领域术语。Fourier变换涉及各种各样丰富的应用，可见，Fourier变换理论是非常普及且万能的数学工具。本文着力于Fourier变换理论的基本原理分析，再通过各个领域其典型的应用实例来对其原理进行进一步深刻的理解，从而得出它们应用的一些普遍性和不同方面的缘由。在此基础之上，我们用其包罗万象的应用原理
12、来有效地来启发人们认识和解决自然界中的问题。本文的主要工作包括从理论到应用分析再到理论算法实现的三部分。在第一章绪论的指导之下，第二章从Fourier的基本理论开始展开讨论，从最基本的定义和性质出发，层层推进，为后面的应用分析打下坚实的基础。第三章对Fourier变换的一些重要变换做进一步的理论介绍，强化理解，再做铺垫。第四章对Fourier变换的各种变种形式的典型应用案例展开研究分析，了解和掌握了Fourier变换应用的基本方法，得出了一些有用的结论。第五章选取了应用比较广泛的DFT的快速算法FFT作为代表，利用C+语言进行了算法的计算机仿真实现，为各种案例的仿真实现做了一个抛砖引玉。最后，
13、本文对研究的结果做了全文的总结和提出了一些展望。2 Fourier变换基本理论本章主要介绍的是Fourier变换的基本理论，从Fourier级数和Fourier变换的定义出发，分析了其物理意义，提出了几种常用的性质并进行了证明，为下面的案例分析提供了理论基础。2.1 Fourier级数的定义7在物理学中，我们已经知道最简单的波是谐波(正谐波)，它是形如的波，其中A是振幅，是角频率，是初相位。其他的波如矩形波，锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来。这就是说，设是一个周期为的波，在一定的条件下可以把它写成： 其中=是阶谐波，。我们称上式右端的级数是由所确定的Fourier级数，它是一种三
14、角函数。2.2 Fourier变换的定义7传统的Fourier变换是一种纯频域分析，它可将一般函数表示为一簇标准函数的加权求和，而权函数亦即的Fourier变换。设是R上的实值或复值函数，则为一能量有限的模拟信号。那么我们就称是的Fourier变换，并把它记成或者，即=反之，我们可以得出Fourier逆变换的公式：=2.3 Fourier变换的物理意义7对任何非周期函数，作周期为T的函数如下：当时，=，然后将它延拓为整个实轴上周期为T的函数，延拓后的函数记为。显然会有：将展开为Fourier级数：=其中 =，即 =既然非周期函数可看做是周期函数当时的极限，那么上式中令，所得到的就可以看作是的展
15、开式，即：记，则，即，所以上式又可以写为：现在我们从形式上来考察上式。在(即)的条件下，一方面，积分的下限和上限变成和，变成。同时，离散的频率分布也就密布在整个轴上，变成连续的分布，因此上述积分在时成为=另一方面，展开式中和式内的每一项都趋于零，而和式又是无限累加，因此可以把这一和式看成积分。这样便获得其中 即的Fourier变换，并称是的Fourier逆变换，又称是的Fourier积分公式，把它和Fourier级数作比较，我们就会看出，一个非周期函数也可以分解为许多简单谐波的迭加积分，而Fourier变换=表示在中频率为的谐波所占有的“成分”。2.4 Fourier变换的基本性质8Fouri
16、er变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有很重要的应用。性质1 (线性性质) 设，为两个复常数，则根据Fourier变换的定义，证明是很明显的。性质2 (位移性质) 设，则(1) ，(为实数)(2) ，(为实数)证明：(1)由Fourier变换的定义，= = = (2) 由Fourier变换的定义， 注：在信号处理中，称为连续信号，称为是的频谱。这样，性质2(1)就称为时域上的位移性质；性质2(2)则称为频域上的位移性质。性质3 (微分性质)(1) 设在上存在，且在任何有限区间上除了有有限个第一类间断点外连续。设，则；(2) 设在上存在，且在任何有限区间上除了有有限个第一
17、类间断点外连续。设，则。证明：(1) 由于()，故由分部积分法法得到 (2)由于 故对上式两边同取Fourier变换，得到。性质4 (积分性质) 设，。若，则证明：由于在的连续点处由，且的间断点是第一类的，不影响积分值，故又因为故可得到。性质5 (卷积性质) 设，则(1) (2) 证明：我们仅证明(1)，(2)的证明与(1)相类似。由卷积的Fourier变换的定义， (交换积分次序)(由位移性质)注：设，在上由定义。若广义积分收敛，则称此积分为，在上的卷积，记为。3 Fourier变换几种重要变种本章选取了Fourier变换的两种重要的变种离散Fourier变换(DFT)和分数阶Fourier
18、变换(FRFT)作了重点的介绍。根据其应用的特点进行针对性的理论分析，主要是从定义和基本性质两方面进行重点分析。3.1 有限长序列的Fourier分析有时序列是有限长的，在这种特殊情况下可以推导出另一种Fourier表示，称作离散Fourier变换(DFT)。离散Fourier变换除了作为有限长序列的一种Fourier变换表示式在理论上相当重要之外，且由于存在计算离散Fourier变换的有效快速算法快速Fourier变换，因而在各种数字信号处理的算法中起核心作用。有限长序列的离散Fourier变换和周期序列的离散Fourier级数(DFS)本质上是一样的。为了更好的理解离散Fourier变换，
19、需要讨论离散Fourier级数。而为了讨论离散Fourier级数与离散Fourier变换，我们先回顾并讨论关于Fourier变换的几种可能形式。1. 连续时间、离散频率Fourier级数 (3-1) (3-2)2. 连续时间、连续频率Fourier变换 (3-3) (3-4)3. 离散时间、连续频率序列的Fourier变换 (3-5) (3-6)4. 离散时间、离散频率离散Fourier变换 (3-7) (3-8)3.2 离散Fourier级数(DFS)为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散Fourier级数(DFS)表示。一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期。周
20、期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即Z平面上没有收敛域。但是，正如连续时间周期信号可用Fourier级数表达，周期序列也可用离散的Fourier级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续Fourier级数的不同之处，即因此。将周期序列展成离散Fourier级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散Fourier级数只需包含这N个复指数 (3-9)利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和，得： (3-10) (3
21、-11)上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1，其他任意k值时均为零，所以有 (3-12)或者写成 (1)可求N次谐波的系数(2)也是一个由N个独立谐波分量组成的Fourier级数(3)为周期序列，周期为N 时域上周期序列的离散Fourier级数在频域上仍是一个周期序列。是一个周期序列的离散Fourier级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： (3-13) (3-14)习惯上记，则DFS变换对可写为： (3-15) (3-16)DFS 离散Fourier级数变换IDFS离散Fourier级数反变换。DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期
22、内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。3.3离散Fourier变换(DFT)3.3.1离散Fourier变换(DFT)的定义我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系： (3-17)周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：
23、 (3-18)为矩形序列，符号是余数运算表达式，表示n对N求余数。3.3.2频域上的主值区间与主值序列周期序列的离散Fourier级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示： (3-19)再看周期序列的离散Fourier级数变换(DFS)公式： (3-20) (3-21)这两个公式的求和都只限于主值区间()，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散Fourier变换定义。长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为： (3-22) (3-23)x(n)与X(k)是一
24、个有限长序列离散Fourier变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列(复序列)都有N个独立值，因而具有等量的信息。3.3.3离散Fourier变换(DFT)的性质91.线性性质如果和是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，若式中，a、b为任意常数，取，则的N点的DFT为 ， (3-24)式中，和分别为和的N点DFT。2.循环移位性质(1)序列的循环移位设为有限长序列，长度为N，则的循环移位定义为 (3-25)式(3-25)表明，将以N为周期进行周期延拓得到，再将左移m位得到的主值序列，则得到有限长序列的循环
25、移位序列。及其循环移位过程如图3-1所示。显然仍是长度为N的有限长序列。由图3-1可见，循环移位的实质是将左移m位，而左移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。图3-1 循环移位过程示意图(2)时域循环移位定理设是长度为N的有限长序列，为的循环移位，即则 (3-26)其中 证明：令，则有由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得：(3)频域循环移位定理如果，则 (3-27)式(3-27)的证明方法与时域循环定理相似，直接对进行IDFT即得证。3.循环卷积定理10有限长序列和长度分别为N1和N2，。和的N点DFT分别为如果，则 (3-28)
26、或者一般称式(3-28)所表示的运算为和的循环卷积。下面先证明式(3-28)，再说明其计算方法。证明：直接对式(3-28)两边进行DFT令，则有因为上式中以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果不变。因此 图3-2 循环卷积过程示意图式(3-28)的循环卷积过程如图3-2所示。循环卷积过程中，求和变量为m，n为参变量。首先将x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反转形成x2(-m)N，取主值序列则得到x2(-m)NRN(m)，通常称之为x2(m)的循环反转。对x2(m)的循环反转序列循环移位n，形成x2(n-m)NRN(m)，当n=0,1,N-1时，分别将x1(m)与x2(-m)NRN(m)
27、相乘，并对m在0N-1区间上求和，便得到x1(n)和x2(n)的循环卷积x(n)，如图3-2(f)所示。由于循环卷积过程中，要求对x2(m)的循环反转和循环移位，特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称为循环卷积，记为由于 所以 即循环卷积亦满足交换律。如果 则 (3-29)或式中相对于频域循环卷积定理，称式(3-28)为时域循环卷积定理。4.DFT的共轭对称性10(1)如果，由DFT的线性性质可得 (3-30)其中 的共轭对称分量 的共轭反对称分量(2)如果 (3-31)其中综上所述：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部(包括j)的DFT
28、分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)， 则(1) X(k)共轭对称，即X(k)=X*(N-k)， (3-32)(2) 如果x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3-33)(3) 如果x(n)= -x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即X(k)= -X(N-k) (3-34)3.4 分数阶Fourier变换(FRFT)的定义和性质3.4.1 分数阶Fourier变换(FRFT)的定义11相应于非负整数m=0,1,2,
29、，将Fourier变换对应的特征值写成，同时，相应的标准化特征函数可以写成 (3-35)也就是说，的Fourier变换恰好等于它自己与复数的乘积，标准化的含义是的等于1。式中表示第m个Hermite多项式，与m的递推关系是利用这些记号，VNamias的分数阶Fourier变换可以表示成Fourier变换标准化特征函数的无穷级数和形式式中，m=0,1,2,，是幂次的分数阶Fourier变换的特征值，组合系数是原始信号在Fourier变换的各个规范化特征函数上的正交投影。因为，分数阶Fourier变换和Fourier变换具有完全相同的特征函数，而他们的特征值之间是幂次关系，所以，分数阶Fourie
30、r变换是完全不同于Fourier变换的一种新的变换类，只有幂次取一些特殊的值比如1，5，9这样的比4的整数倍多1的整数时，分数阶Fourier变换才返回到经典的Fourier变换。这就是VNamias的分数阶Fourier变换的定义。ACMcbride和FHKerr在1987年给出了VNamias的分数阶Fourier变换积分形式。具体的说，对信号空间中的任何信号，它的分数阶Fourier变换可以写成积分形式 (3-36)其积分核是式中n是整数，是分数阶Fourier变换的幂次，可取任何实数。AWLohmann在1993年利用Fourier变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为/2的旋
31、转这一性质，说明分数阶Fourier变换在Wigner分布函数相空间中相当于角度是/2的旋转，这里是分数阶Fourier变换的阶。具体地，根据Wigner分布函数的定义12可以直接验证这里F表示函数f(x)的Fourier变换。因此，AWLohmann定义阶的分数阶Fourier变换为式中矩阵R()是时-频相平面x-上角度为(/2)的旋转矩阵实际上，分数阶Fourier变换的这三种定义在数学上是等价的。当分数阶Fourier变换的幂次从0连续增长到达1时，分数阶Fourier变换的结果相应地从原始信号的纯时间(空间)形式开始逐渐变化成为它的纯频域(谱)形式，幂次在0到1之间的任何时刻对应的分数
32、阶Fourier变换采取了介乎于时(空)域和频域的之间的一个过渡域形式，形成一个既包含时(空)域信息同时也包含频(谱)域信息的混合信号。因此，这样定义的分数阶Fourier变换确实是一个时(空)-频描述和分析工具。3.4.2 分数阶Fourier变换(FRFT)的性质2时频域通常用一个平面和两个分别表示时间和频率的正交轴来表示。如图3-3(=/2)，我们可以把Fourier变换算子F看作是时间信号沿着时间轴逆时针旋转/2的变换。重复进行该变换，可以得到与以上一致的结论：FF(t)=x(-t)，即沿着时间轴t连续进行两次角度为/2的旋转，结果是与时间轴的负方向重合。对应于FRFT算子，可以看作是
33、时间信号沿着时间轴逆时针旋转/2的变换。图3-3 FRFT的时-频分布根据FRFT的定义，容易看到FRFT具有以下性质(用表示FRFT算子，其中=/2，F为Fourier变换算子，I为恒等算子)：(1)零旋转： (3-37)(2)与Fourier变换的一致性： (3-38)(3)旋转可加性： (3-39)(4)2旋转： (3-40)FRFT的积分核，对应式(3-37) (3-40)具有类似的表达形式。注意：该积分核对于=/2在普遍意义下是连续的，尤其对于的整数倍而言有，积分核的性质：可见FRFT是一个线性变换，关于角连续，并且在时频平面上满足基本的旋转条件。4 Fourier变换的应用案例研究
34、前两章我们对Fourier变换的定义、性质以及Fourier变换的一些重要变种作了比较深入的研究和探讨，对Fourier变换的基础理论有了比较直观和全面的了解。在此基础上，我们将在这一章对Fourier变换的一些应用案例进行探讨与分析。 4.1离散Fourier变换(DFT)的应用分析DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图象处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础。4.1.1 用DFT计算线性卷积本节介绍用DFT计
35、算卷积和相关系数的基础原理以及用DFT对连续信号和序列进行谱分析等最基本的应用。只要掌握了这两种基本应用的原理，就为用DFT解决数字滤波和系统分析等问题打下了基础。如果且则由时域循环卷积定理有由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图4-1所示的计算框图在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。在实际应用中，为了分析时域离散线性非时变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。和计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环
36、卷积之间的关系以及循环卷积和线性卷积相等的条件。图4-1 用DFT计算循环卷积假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M，它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： (4-1) (4-2)其中，所以对照式(4-1)可以看出，上式中即 (4-3)式(4-3)说明，yc(n)等于y1(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。已知y1(n)长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度时，y1(n)以L为周期进行周期延拓才出现混叠，此时取主值序列显然满足yc(n)= y1(n)。由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是。图4-2中画出了h(n)、x(n)、和L分别取6、8、10时的波形。由于h(n)
37、长度N=4，x(n)长度M=4，N+M-1=8， 所以只有时，的波形才与相同。图4-2 线性卷积和循环卷积如果取L=N+M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算框图如图4-3所示，其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。图4-3 用DFT计算线性卷积框图实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如MN时。如选取L=N+M-1，以L为运算区间，用上述快速卷积法计算线性卷积，则要求对短序列补很多零点，长序列全部输入后才能进行快速计算。因而要求存储容量很大，运算时间长，很难实时处理。况且在某些场合，序列长度不定或者认为是无限长，如语音信号或者地震信号等。
38、所以在要求实时处理时，直接套用上述方法是不行的。解决这个问题的方法是将长序列分段处理计算。这种分段处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。这里只介绍重叠相加法。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将均匀分段，每段长度取M，则式中 于是，h(n)与x(n)的线性卷积可表示为 (4-4)式中 式(4-4)说明，计算h(n)与x(n)的线性卷积时，可先进行分段线性卷积yk(n)=h(n)* xk(n)，然后再把分段卷积结果yk(n)叠加起来即可，如图4-4所示。每一分段卷积yk(n)的长度为N+M-1，因此yk(n)与yk+1(n)有N-1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与yk+1(n)相
39、加，才能得到完整的卷积序列y(n)。显然可用快速卷积计算分段卷积，快速卷积的计算区间L=N+M-1。由图4-4可见，当第二个分段卷积y1(n)计算完后，叠加重叠点便可得到输出序列y(n)的前2M个值；同样道理，分段卷积yi(n)计算完后，就可得到y(n)的第i段的M个序列值。从而使存储容量小，且运算量和延时也大大减少。图4-4 重叠相加法卷积示意图4.1.2 DFT在无创测温中的应用近年来，国内外对超声测温已经提出了几种方法，如透射法、反射法、非线性声参量法、B超图像法等。透射法是利用超声波在传播过程中的非线性效应所产生的相位移动量随温度的变化关系进行无损测温的。由于透射法是收发分体式的，使用
40、不方便，且受到生物体体积大小、体位等制约，精度不高，临床应用不方便。反射法是通过分析超声散射信号在时域、频域或能量域的变化来提取生物组织的温度信息。基于时移的超声无损测温法要求对回波脉冲进行精确测定，基于频移的无损测温技术随温度的变化不明显。生物组织中由于衰减系数和声速随温度变化而引起的散射声功率的变化，基于散射声功率法可以克服这些缺点，但空间分辨率较差。卢莹等13对非线性声参量无损测温进行了研究，并通过实验找到了猪肌肉组织和猪肝组织的温度和非线性声参量的关系。侯珍秀等14提出利用超声图像的灰度变化来测定猪肉组织的温度，并通过实验的方法总结出了温度变化与超声图像灰度变化的非线性关系。文献15采
41、用二维离散Fourier变换直流分量法进行无创测温。该算法能较好地将反应温度的信息和噪声信息区分开来。实验中得到了较好的结果，为超声治疗提供了有效的温度监控信息。图像经数字化处理后，可以用二维的离散信号。对于二维离散信号，其离散Fourier变换定义为 (4-5)式中，称为空间频率。反变换定义为 (4-6)式中，。设f(m,n)是一个能量有限的模拟信号，则其Fourier变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义来看，Fourier变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，Fourier变换是将图像从空间域变换到频率域。换而言之，Fourier变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为频率分布函数。Fourier变换可以得出信号在各个频率点上的强度。图像处理时，一般选取图像块为NN的方阵，即M=N时取，这时二维Fourier变换为： (4-7)反变换为 (4-8)可以看出，当u,v=0时，=1， 即F(0,0)表示信号f(m，n)在变换系数中的直流分量，当u和v不等于0时，F(u,v)表示在不同频率上的能量大小。在超声无