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1、分类号 编 号 毕业论文题 目N次单位根的性质 及其应用 学 院 姓 名 xxxxxxx 专 业 数学与应用数学 学 号 研究类型 应用研究 指导教师 xxxxx 提交日期 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：目 录N次单位根的定义2N次单位根的性质2N次单位根的应用4N次单位根在中学数学竞赛中的应用4N次单位根在因
2、式分解中的应用5N次单位根在几何中的应用7N次单位根在多项式整除中的应用8N次单位根在三角函数中的应用9数学与统计学院2009届毕业论文N次单位根的性质及其应用 摘要:n次单位根是复变函数论中的重要内容，本文主要论述n次单位根的性质,以及在因式分解,几何作图，三角函数，多项式整除中的应用，说明n次单位根可拓宽解题思路，是一种方便快捷的解题方法。.关键词:单位根;因式分解；性质；几何画图中图分类号: O292数学与统计学院2013届毕业论文N次单位根的定义定义一在复数域上的n个值； k=0,1,2，n-1就是多项式的n个根，称它们为n次单位根.定义二在复数域上的n个值=，k=0,1,2，n-1就
3、是多项式的n个根，称它们为n次单位根N次单位根的性质（1）=1证明 由定义一，得=1（2）令=，则，k=1，2，n-1证明 由欧拉公式（），知=，即，k=1，2，n-1（3）= （mkn）由定义二知=（4）对于每个单位根：1+=0证明 因为=（x-1）（1+x+），令x=，则原式可变为，=（-1）（1+）=0当0时，0，所以1+=0（5）对于每个单位根：1+=n（当n整除m时） 1+=0（当n不整除m时）证明 由于为n次单位根则=1当n整除m时，令m=nq，则=1同理：=1故1+=1+1+1=n当n不整除m时，1，由 知：1+= =0（6）两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根证明令、是n此单
4、位根，则=11=1=1，命题得证.（8）=证明由定义二，得=，即=（9）=（0kn）；证明因为 =+i=则 =+i =+i =+i =+i =-i=N次单位根的应用N次单位根在中学数学竞赛中的应用例1(2001年全国高中数学联赛)若的展开式为+x+，求+的值.解：令=+ =+ =+ 在=+x+中，令x=1，（是三次单位根，0），则 += =+,即 +=0 在中、按实、虚部分别展开，并由复数相等可得 （+）=0 =0 则由、得=3故 +=例2（1978年我国八省市中学数学竞赛）设=+isin，求以、为根的方程.解：因为=+isin，则=+所以、是1的10个10次方根，则（x）（x）（x）=1 又
5、、是1的5个5次方根，则（x）（x）（x）（x）=1 由，的（x）（x）（x)(x)(x)=+1又=-1，x=x+1，所以（x）（x）（x）（x）=x+1，即所求方程为，x+1=0N次单位根在因式分解中的应用例 在有理数范围内对1进行因式分解.解：在复数范围内1可分解为一次因式的乘积：1=（x1）（x）（x）（x），其中=+;而1,是方程1=0即=1的全体复数根.再将1的15个复系数一次因式分成若干组，使每一组的乘积是有理系数多项式. 1=0的所有的复数根也就是所有的15次单位根，它们的15次幂都等于1.但其中有些根的更低次幂就已经等于1.事实上，由于1、3、5都是15的因数，满足条件=1或=
6、1或=1的复数z也都满足条件=1，都是1的根，也就是说1次单位根，3次单位根，5次单位根也都是15次单位根.对于每个15次单位根，存在最小的正整数d，使得=1，我们证明d是15的因子.用d除15得到商q和余数r,则r=15dq，=1.鉴于d是使=1的最小正整数，而=1且rd，这迫使r不是正整数，只能r=0.这证明了使=1的正整数d、一定是15的因子，等于1,3,5或15.我们称d为z的乘法周期，称z为d次单位原根.这也就是说：z是d次单位根，且z不是更低次数的单位根.以下我们按周期的不同值1,3,5,15将1=0的根分成4组，从而将1的一次因式x分成4组，我们分别计算出各组的一次因式的乘积，并
7、且证明这些乘积都是有理系数多项式，从而将1分解成这四个有理系数因式的乘积.周期为1的单位根只能是1，它单独组成第一组，以它为根的一次因式=x1.周期为3的单位根都是1的根而不是x1的根，它们就是的全部根，以这些根为根的一次因式的乘积 =+x+1.周期为5的单位根都是1的根而不是x1的根，它们就是的全部根，以这些根为根的一次因式的乘积 =+x+1.周期为5的单位根都是1的根而不是，的根，它们就是的全部根，以这些根为根的一次因式的乘积 = = = =+.这样就得到 1=（ x1）（+x+1）（+x+1）（+）1被分解成了4个有理系数因式，的乘积. 严格说来，要完成上例必须证明所得到的4个因式在有理
8、数范围内都不能再分解，在有理数范围内的因式分解已经进行到底.但这个证明比较难，就不在这里叙述了.上面例题中的思路和方法也适用于对别的正整数n分解-1.如果n=21，则考虑21的所有因子1,3,7,21，按这四个因子可以得到-1的四个因式它们分别为：=x-1=+=N次单位根在几何中的应用例用尺规作图做出圆的内接正五边形，使已知点A是正五边形的一个顶点.解：我们以已知圆的半径为单位长，以圆心为原点.OA为x轴的正方向建立直角坐标系.只要能够在圆周上做出正五边形的下一个顶点，使得=，在圆周上依次截取=,就可以得到正五边形A，.将直角坐标系中每个点用复数x+yi表示.则表示个顶点A的复数就是1的5个单
9、位根，1，.其中= + ，又与=共轭，它们的和=+=2；与=共轭，它们的和=.只要能够用圆规和直尺得到，则可得到=.在OA上截取OD=，再过D作OA的垂线交圆于与，则正五边形可做出. +=+是=的4个根，之和，等于1.又=（+）(+)=+=+=1.于是与是一元二次方程=0的两个根，=2是其中的正根 =.以1，为直角边作直角三角形则其斜边长为.再减去既得.具体做法可以设计如下：做相互垂直的半径OA和OB，作OB的中点M,连接MA，则 =.以M为圆心、MO为半径作圆弧交MA于C,则CA=.作CA的中点N,在OA上截取=,过D作OA的垂线交圆周于，则为正五边形的边长.N次单位根在多项式整除中的应用例
10、1求证被+ax+整除，其中a0.证明:由于 +ax+=按这样写公式 =设为任一不等于1的3次单位根，则= = =0故被+ax+整除例2求证：=+1被+x+1整除，其中m，n为非负整数.证明：设为任一不等于1的3次单位根，则=+1 =+1=+1=0故被+x+1整除N次单位根在三角函数中的应用例求证=证明：设2n+1次单位根为1，（k=1,2，n; =）又（x）（x）=+12x，1=（x1）（）（）（）+x+1=（）（）（）令x=1，得2n+1=（）（）（）=由于右边角都为锐角，故开方得命题成立.参考文献：13 张莲珠.渺位四角系统完美匹配数的计算 J . 厦门大学学报:自然科学版, 1998,
11、37(5): 629-633.1严贤灿.三次单位根的性质及应用J.数学通讯，2002，（1）.2赵丽棉，黄基廷.n次单位根在代数问题中的应用J.高等数学研究，2010，13（4）.3李永正.复平面上一个正n边行的充要条件J.中国民航飞行学院计算机学院，2009.4党效文.单位根的性质及其应用J.数学教学研究，2002.5邵逸民.单位根的性质及其应用J.苏州教育学院学报，2001.6兰君，翁金武.单位根与原跟J.安康师专学报，2006.7刘初生.单位根在多项式整除性中的应用J.娄底师专学报，1999，57.8许宝芬.单位根在计算三角函数连乘积中的应用J.泉州师专学报，1999，17，（2）.9李
12、长坡.三次单位根的应用J.洛阳师范学院学报.2000，（5）.10王月秋.应用单位根解题两例J.唐山师专学报.1999，21，（2）.11 钟玉泉.复变函数论M.北京：高等教育出版社.2004. 12 张景中，李尚志.数学的神韵M.北京：科学出版社.2010.致谢（内容按小四号宋体输入，1.5倍行距） 几类图完美匹配的数目唐保祥 (天水师范学院数学与统计学院 ,甘肃天水 741001)摘要:图的完美匹配的计数问题是匹配理论研究中的一个重要课题,此问题与统计晶体物理中的dimmer问题有关.但是,对于一般图的完美匹配计数问题是难的.给出了几类图的完美匹配数的显式表达式.作为应用,计算出了一些图的
13、Hamilton圈的数目. 关键词: 线性递推式;完美匹配;Hamilton圈;边割中图分类号: The Number of Perfect Matching in Several Types of GraphsTANG Bao-xiang ( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu,741001,China )Abstract: Enumeration of perfect matchings of graphs is an important subject in th
14、e matching theory, It is much related with statistical physics of crystal dimmer issue.But the enumeration problemfor perfect matchings in general graphs is NP-hard .The explicit formulae for the number of the perfect matching in some types of graphs are deduced. As an pplication, the number of hami
15、lton cycles of some graphs has been calculated. Key words: linear recurrence relation; perfect matching; hamilton cycle; edge cut1引言 本文所指的图均是有限无向标号图(即顶点间是有区别的),未给出的定义见文献1.图的完美匹配数作为一个很重要的拓扑指标,已经在多个领域得到应用.例如,估计共振能量和电子能量,计算鲍林键级(pauling bond order)等24.物理学家Kasteleyn用匹配理论研究磁学伊辛(Ising)模型时,首先提出用Pfaffian法计算图
16、的完美匹配个数56.目前,图的完美匹配计数已经引起了众多数学家,物理学家和化学家的广泛关注79.遗憾的是,L.Valiant在1979年证明了,一个图(即使是偶图)的完美匹配计数是难问题.因此,计算出一般图的完美匹配数是困难的,特别是要得到显式的计算公式是更加困难.所以,通常只有对具有特殊结构或形状的部分图,才可以给出其完美匹配数的显式计算表达式.目前,已有一些文章对特殊图的完美匹配作了相关的研究1015 .本文运用组合递推方法给出了几类特殊图完美匹配数显式表达式的新结果.作为应用,计算出了一些图的Hamilton圈的数目.定义若图的两个完美匹配和中有一条边不同,则称和是的两个不同完美匹配.定
17、义若图的两个Hamilton圈和中有一条边不同,则称和是的两个不同Hamilton圈.2主要结果及其证明引理 14设两条长为的路为和.分别连结路和上的顶点和(),所得到的图记为,如图所示.表示图的所有不同的完美匹配数,其中.则定理设两条长为的路为和.分别连结路和上的顶点和(),所得到的图记为;连结图的顶点和,和所得到的图记为,如图所示.表示图的所有不同的完美匹配数,其中.则证明设图的所有完美匹配的集合为,其中显然有且,于是首先求. 因为所以与图的子图(如图所示)的完美匹配数相等.情形由引理知,中图的这类完美匹配数为的定义见引理.情形 由图知,必有,从而.中的这类完美匹配恰有个.由图知必有,从而
18、.故中出现两边相邻.矛盾.因此,若,则.综上所述,其中由引理所定义.再求. 因为故与图的子图(如图所示)的完美匹配数相等.情形中这类完美匹配数为情形这类情形类似于求的情形,当时,恰有中个完美匹配;当时,不存在此类完美匹配.所以最后求.因为所以易知综上所述,所以,由引理有定理设两条长为的路为和.分别连结路和上的顶点和(),所得到的图记为.连结图的顶点和,和所得到的图记为,如图示.表示图的所有不同的完美匹配数,其中.则证明设图的所有完美匹配的集合为,其中显然有且,于是类似于定理的证明可得,其中由引理定义.所以,定理设两条长为的路为和.分别连结路和上的顶点和(),和以及和(),所得到的图记为,如图所
19、示.表示图的所有不同的完美匹配数,其中.则 证明设图的所有完美匹配的集合为,其中显然有且,于是由定理的证明方法和的定义容易知道:,如下图所示. 图因此,. (1)解线性递推式(1),得定理设是个长为的圈(,),分别连结顶点和,和,和(),所得图记为,如图所示.设,表示图的所有不同的完美匹配数, 则证明设图的所有完美匹配的集合为,其中显然有且,于是首先求. 因为所以必有.因此,与图的完美匹配数相等.情形 因为,所以由图和的定义知,中这类完美匹配的数目为情形 因为所以由图知,必有.因此,与图的完美匹配数相等.故中含边的这类完美匹配的数目为情形 因为,所以由图知,必有.因此,与图所示的图的完美匹配数
20、相等.故中含边的这类完美匹配的数目为情形 中含边的这类完美匹配的数目为情形 中不含边的这类完美匹配恰有个.综上所述,同理可得,再求. 因为所以,与图的完美匹配数相等.由图知,若,则中这类完美匹配的数目为情形 因为,所以必有.若则中这类完美匹配的数目也为情形,因为,所以必有.中这类完美匹配的数与图的完美匹配数相等.若,则中这类完美匹配的数目也为情形 因为,所以必有.中这类完美匹配的数与图的完美匹配数相等.若,则中这类完美匹配的数目也为 如此下去,易知综上所述 (2)易知于是由(2)式就有这样有递推式 (3)解线性递推式,得例 和中的完美匹配如图和所示.当时,. 图中的个完美匹配当时,. 中的个完
21、美匹配 中的个完美匹配 中的个完美匹配 图定理设是偶图,其中,.分别连结顶点和(,和,所得图记为,如图所示.表示图的所有不同的完美匹配数,则.证明设图的所有完美匹配的集合为,其中显然有且,于是求. 因为所以与图的完美匹配数相等.图中,若则必有中这类完美匹配数与图的完美匹配数相等.图中,若则必有中这类完美匹配数也与图的完美匹配数相等.易知图的图共有个不同的完美匹配.故同理可知求. 因为所以与图的完美匹配数相等.易知图的图共有个不同的完美匹配.故 所以推论定理中图(图所示)的不同Hamilton圈共有个.证明设图的完美匹配的集合为,.则是图一个边割,且,或.从图的每个子图中选取边集,或(),共有种
22、不同的选取方法.每种方法选出的这条边与中所有边恰好构成图的个不同的完美匹配.图中恰有这个不同的完美匹配包含边割.设图的包含的个完美匹配的集合为,令,则图的Hamilton圈集合与是一一对应的,所以图的不同Hamilton圈共有个.参考文献：1 Bondy J.A., Murty U. S .R.图论及其应用M.吴望名,李念祖,吴兰芳,等译.北京:科学出版社,1984.2 G.G.Hall,A graphic model of a class of molecules J ,Int. J.Math. Edu.Sci. Technol.4(1973)233-240.3 L.Pauling, The
23、 nature of chemical bond, CornellM. Univ.Press, Ithaca,New York,1939. 4 R.Swinborne-Sheldrake,W.C. Herndon,I.Gutman,Kekul structures and resonance energies of benzennoid hydrocarbonsM,Tetrahedron Lett.(1975)755-758.5 P.W.Kasteleyn,Graph theory and crystal physics,in:F.Harary(ED.),Graph Theory and Th
24、eoretical PhysicsM,Academic Press,London,1967,pp.43-110.6 L.Lovsz and M.D.Plummer,Matching TheoryM,Ann.Discrete Math.29,North Holland, Amsterdam,1986.7 M.Ciucu, Enumeration of perfect matchings in graphs with reflective symmetry J , J.Combin. Theory Ser.A 77(1997)67-97.8 I.Fischer, C.H.C. Little,Eve
25、n circuits of prescribed clockwise parity J , Electro. J.Combin. 10(2003)R45.9 W.Jockusch, Perfect mathings and perfect squares J , J.Combin. Theory Ser.A 67(1994)100-115.10 Brightwell G R, Winkler P, Hard C, et al. Adventures at the interface of combinatories and statistical physics J . ICM, 2002,I
26、II: 605-624.11 Zhang H P. The connectivity of Z-transformation graphs of perfect matchings of polyominoes J .Discrete Mathematics,1996(158): 257-272.12 Zhang H P, Zhang F J. Perfect matchings of polyomino graphs J . Graphs and Combinatorics,1997(13) :259-304.13 张莲珠.渺位四角系统完美匹配数的计算 J . 厦门大学学报:自然科学版, 1998, 37(5): 629-633.14 张莲珠.两类四角系统的匹配数与点独立集数 J .数学研究, 1999, 32(3): 97-102.15 林泓,林晓霞.若干四角系统完美匹配数的计算 J .福州大学学报:自然科学版, 2005, 33 (6):704-710. 22