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1、本科毕业论文（设计）论文（设计）题目：S凸函数与一类推广的Hermite-Hadamard型不等式 学 院：理学院 专 业： 数学与应用数学 2013年 月 日贵州大学本科毕业论文（设计）诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日 目录摘要.关键词.Abstract.Keywords.第一章 前言.1第二章 2.1 预备知识.3 2.2 主要结论.4第三章 推广.8 结束语.13参考文献.13致谢.14 IS-凸
2、函数与一类推广的Hermite-Hadamard型不等式摘要s-凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的各领域中占有十分重要的意义。本文主要在许多学者讨论的基础上再进行推广。许多学者已经讨论了凸函数的一系列Hermite-Hadamard不等式和s-凸函数一阶的一系列Hermite-Hadamard不等式，本文则主要将凸函数推广到s-凸函数且及s-凸函数二阶的情形。本文主要采用的方法是黎曼刘维尔分数积分、幂平均积分不等式，还有Hlder不等式等。另外，再推广到了三阶的情形，建立了等式，再根据等式用二阶的方法来建立一系列不等式。关键词：Hermite-Hadamard不
3、等式，s-凸函数，黎曼刘维尔分数积分，积分不等式。IIHermite-Hadamard Inequalities Involving Riemann-Liouville Fractional Integrals via s-convex FunctionsAbstractFirst of all, s-convex functions is a special function. It has been researched as a branch of Mathmatics and has very vital significance in the all kinds of fileds
4、of Mathmatics. In this paper, I mostly develop on the basic of many scholars,who have studied a series of Hermite-Hadamard type inequalities of convex functions and fist-order s-convex functions. Moreover, this paper mostly popularizes from the convex functions to the second order s-convex functions
5、. The main ways are Riemann-Liouville fractional integrals, power mean integral inequality, and Hlder inequality. Moreover, I have developed a three-order equality, and have developed a series of inequalities with the same ways. Keywords:Hermite-Hadamard type inequalities, s-convex functions, Rieman
6、n-Liouville fractional integrals, integral inequality. III15 贵州大学本科毕业论文（设计） 第一章 前言1.1 研究意义和选题背景 数学问题的研究中，同时往往存在若干个量，研究他们之间的相互关系，常常被归结为不等式问题。在纯粹数学与应用数学的研究中，表示量与量之间的关系时，并不是所有的问题都可以用等式来解决，在很多时候需要用到不等式，运用不等式我们可以得到某一个界限，对所求的结果加以限制来求解。凸函数的定义本身就是用不等式来引入的，所以凸函数的许多理论研究均属于不等式理论范畴。凸函数在其他众多学科中均有重要应用，如工程与管理科学、数理
7、经济、最优化理论及泛函分析等。凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的数学研究中有重要意义和广泛的应用，从而引起了众多数学家的兴趣。多年来，Hermite-Hadamard型不等式被数学家们研究及推广，并得到了很多优美的结果。而s凸函数比凸函数的性质更加特殊。讨论s凸函数的一类Hermite-Hadamard不等式也具有了更为重要的意义。在本文中主要研究的是s-凸函数的一类推广的Hermite-Hadamard型不等式问题。我首先将函数定为s凸函数，即满足，的函数。分数积分的函数从原来的一阶伸展为函数的二阶形式，再分别利用幂平均积分不等式、赫尔德不等式等进行讨论。更加精确了的值，从而
8、能更好的估计的值。1.2 Hermite-Hadamard型不等式的研究现状 1881年，Hermite首先提出了凸函数的一个积分不等式.设是区间上的凸函数，则 。1893年，Hadamard证明了：设是区间上的凸函数，则 ，称上述不等式为Hermite-Hadamard不等式。Hermite-Hadamard型不等式是凸函数的性质之一，也是一个含有积分形式的不等式。目前，对于凸函数Hermite-Hadamard型不等式的研究已经从经典的凸函数拓广到多种类型的凸函数上，鉴于此本文选择凸函数的Hermite-Hadamard不等式作为研究对象。 Hermite-Hadamard型不等式建立后，
9、国内外许多数学家对其进行了进一步的研究，得到了许多推广式。现阶段对Hermite-Hadamard型不等式的研究已经不仅仅局限于经典凸函数的范畴，许多数学家开始研究一些广义的凸函数下的Hermite-Hadamard型不等式。著名的不等式专家S.S.Dragomir在Hermite-Hadamard型不等式的研究方面做出了巨大贡献. 第二章2.1 预备知识 2.1.1 定义1 设是上的凸集，若任取，有成立，则称为上的凸函数，当为凸函数时，称为凹函数。 定义2 设，若对都成立，其中，则称在上是凸函数。 定义3（Hermite-Hadamard积分不等式） 设在区间上是凸函数，其中，那么 。当是凹
10、函数时，这个不等式将反号。 众所周知，Hermite-Hadamard型不等式在非线性分析中起到重要作用。最近几年，这种经典的不等式已经被许多方式发展和推广，许多论文也主要研究这种不等式。引理2.1.1 设，在上是可积函数。如果在上是凸函数，则成立 ，其中，。另外，这里伽马函数。引理2.1.2 设在的子区间上是二次可微函数，假设在上是可积函数，其中，则 2.1.2 （Hlder积分不等式） 设在上连续，为满足的正数，则 。2.1.3 （幂平均不等式） 设在上连续，为正整数，则 。2.2主要结论及证明 定理2.2.1 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则 证明：运用
11、引理1.2，又因为在上是一个凸函数可知，又因为，所以上述不等式 定理2.2.2 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则其中。证明：运用引理1.2及Hlder不等式，由在上是一个凸函数可知，其中。定理2.2.3 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则证明：从引理1、的凸性可知：再利用幂平均积分不等式可知：第三章 推广 根据引理2.1.2，我将其等式推广到了三阶的情形，并根据等式导出了它的一系列不等式。定理3.1 设在的子区间上是三次可微函数，假设在上是可积函数，其中，则证明：根据引理2.1.2可知 上述等式的右端中 （1） （2）将（1）、
12、（2）与相加即可。定理3.2 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则证明：根据定理3.1，又在上是一个凸函数定理3.3 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则 其中。证明：由于在上是一个凸函数，则根据定理3.1可知运用Hlder不等式可得原不等式定理3.4 设在上是一个二次可微映射且在上是一个凸函数。若，是上的可积函数，则证明：因为在上是一个凸函数和定理3.1，运用幂平均不等式可知原不等式结束语 本文主要讨论了在不同情形的近似值，主要从已讨论过的原函数和函数的一阶导是s-凸函数推广到了函数的二阶，还有二阶的次方是s-凸函数时，再推广到三阶
13、等式，运用Hlder不等式和幂平均积分不等式等进行放缩，建立了一系列不等式进行估计。参考文献：1 张小明，石焕南.国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍.2 D.S.Mitrinovi and I.Lackovi, Hermite and ConvexityJ, Aequat.Math.,28(1985), 229-232.3 E.F.Beckenbach, Convex FunctionsJ, Bull, Amer,Math, Soc. 54(1948),439-460.4 S.S.Dragomir C.E.M.Pearce, Selected Topics on Hermite-Hadam
14、ards type inequalities and Applications, Melboume, 2002.7.5 MUHAMMAD IQBAL BHATTI,MUHAMMAD IQBAL,AND SEVER S.DRAGOMIR.SOME NEW GRACTIONAL INTEGRAL HERMITE -HADAMARD TYPE INEQUALITIES,2005. 6 JinRong Wang,Xuezhu Li,Yong Zhou.Hermite-Hadamard Inequalities Involving Riemann-Liouville Fractional Integra
15、ls via s-convex Functions and Applications to Special Means ,2012. 7Mehmet Zeki Sarikaya,Erhan Set, Hatice Yaldiz, Nagihan Baak. Hermite-Hadamards inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities, 2011.8林玎，刘伟，Jensen不等式的几个推广及其应用。9 石宁生，二元积分幂平均不等式，2003.10 蒋永锋，关于积分不等式的几种证明方法，201
16、2. 致谢词 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师 老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。从论文的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了王老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！此外，我还很感谢 学姐的耐心指导。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位
17、学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多的素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！致 谢我首先感谢电子科技大学软件学院给我们新疆班的学生提供的这次攻读硕士学位的难得的机会，衷心感谢指导老师罗克露教授，能够成为罗老师的学生真的是我最大的荣幸，她严谨的治学态度，认真的工作作风，正直的为人方式都无不让我对她充满了深深的敬意。没有罗老师的帮助和指点，我的论文不可能完成，在罗老师的指引下我才对自己的论文有了越来越清晰的思路，也才能顺利地完成这次答辩。其次要感谢电子科技大学给我们上课的老师们，他们到新疆来给我们新疆班上课，这些老师渊博的学识，严谨的治学态度，勤奋的工作作风，科学的研究方法使我受益匪浅，他们在平时的学习中给予我很多帮助和启发。谨在此向他们表示衷心的感谢。这三年时间的学习对我有许多启发，对我的专业提高也有很大的帮助。谢谢财经大学计算机科学与工程学院副院长郭文强教授，他对我的学习和科研工作给予了很大的帮助和支持，在我的科研工作和论文撰写中，他们都给我提出了宝贵的意见和建议，在此表示深深的谢意还有许多要感谢的人，要感谢的话。就让我把感谢放在心里，用以后的点滴进步来报答吧。