一维半金属的能态性质研究大学物理系论文.doc

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1、一维半金属的能态性质研究摘要 本课题就一维情况下半金属的能态性质进行研究。半金属是性质介于金属和非金属之间的物质。首先，在微扰的作用下，周期场中运动的电子的能级就形成能带。半金属的能带交叠比较少，所以其既具有金属性质又具有半导体性质。进而运用能带理论，求出在一定温度下半金属的能态密度。通过能态密度，求出半金属的费米能级。根据费米能级求出半金属的电子热容量和电导率。在一定温度下, 分析能态密度对半金属的电子热容量和电导性质的影响。关键词 半金属；能态密度；费米能级；电子热容量；电导率ABSTRACT The properties of the energy states is studied f

2、or the case of the one-dimensional semi-metallic. The semi-metallic is the material between the metal and nonmetal. Firstly, the effect of the perturbation causes energy levels of the moving electrons in the cycle potetial to form the energy band. As the overlap of the semi-metallic band is relative

3、ly small, its nature has both metal and semiconductor natures. And then the energy-band theory is used to obtain the energy density for the semi-metallic at a certain temperature. The Fermi energy level of the semi-metal is calculated by use of the density of states. According to the Fermi energy le

4、vel, the heat capacity and conductivity of the electron are computed for the semi-metallic. At a certain temperature, the affect of the density of energy states is analyzed for the properties of the electronic heat capacity and conductivity in the semi-metallic.KEY WORDS Semi-metallic; Density of th

5、e energy state; Fermi energy level; Electronic heat capacity; Conductivity目 录1. 前言 42半金属的定义63. 能带理论和金属电子论9 3.1能态密度函数 9 3.2的确定10 3.3电子热容量 12 3.4 电导率公式134. 一维半金属的能态性质研究19总结 27致谢 28参考文献 301. 前言传统的半金属是一种由于导带与价带有少量交叠（负带隙宽度）或导带底与价带顶具有相同能量（零带隙宽度），而使其宏观输运性质介于典型的金属与半导体之间的半金属。1在半金属磁体的能带结构中，两个自旋子能带分别具有金属性与绝缘性。

6、半金属材料从微观上具有导体和绝缘体双重性质：对一种自旋取向的电子其能带结构呈现金属性，而另一自旋取向的电子其能带结构呈现绝缘体性。2对半金属的研究重未停止过，并且取得许多优秀的研究成果。2009年，瞿婧，周岚运用量子力学的隧穿方法讨论一个铁磁半金属铁磁隧道结(FMHMFM)中的自旋极化输运和隧道磁电阻(TMR)。3 结果表明：当选定半金属材料自旋向上子能带呈现金属性时，自旋向上和自旋向下电子的隧穿系数都表现出共振隧穿特性发现与a,u和一的取值无关，但随着这些量的增加，和一振荡逐渐加快，峰也变得更为尖锐，并且相邻峰之间的间距也逐渐变窄更重要的是，当这些系数取值合适时，TMR值明显增大可见，半金属

7、材料对提高隧道结的磁电阻是十分有利的，只要选取合适的参数便能得到较理想的结果，从而有利于提高磁性存储器等磁性元件的性能32010年，陈志远，闵意运用平面波赝势法进行结构优化和自旋极化电子结构的密度泛函研究，使用的程序包是CASTEP，交换关联作用是Perdew-Burke-Ernzerhof(PBE)函数51的广义梯度近似(Generalized gradient approximation，GGA)。在一维的布里渊区中，走点取样为11X 7。原子的在位电荷和自旋磁通过Milliken分析r6获得。基于密度泛函理论的第一性原理计算，预测了Auv-(Cr)BNNT复合物和AuV(Cr)原子线的半

8、金属性行为。这些一维的半金属原子线具有较大的半金属隙，证明这种半金属铁磁体的半金属性是活跃的。RKKY交换机制导致了这些原子线呈现铁磁有序。研究表明，量子尺寸效应可以感应出半金属性行为，这为半金属的研究开辟了新的道路。42009年，刘俊，刘宇， 陈希明， 董会宁基于第一性原理，优化了含Cr的商温相尖晶石结构材料()A的几何结构，并对它们的磁电性能进行了计算基于配位场理论分析，的电子结构及其具有半金属性的微观机制计算表明，仅当x=10、y-00时，()A，具有半金属性是典型的亚铁磁性耦合的IIB型半金属，其分子磁矩约为56大于。的40在的四面体晶体场中，中心离子的电子结构可近似写为；八面体晶体场

9、中，中心离子的电子结构町近似写为，具有半金属性的原因是在配合物ML4 和ML6中，中心离子与周同O配体间存在强烈的共价键作用，该作用使中心离子与O配体间形成杂化轨道，导致自旋向上子带被撕裂，进一步使费米面正好处丁自旋向上子带带隙中52008年，张俊峰，阮志红文采用第一性原理平面波赝势方法对闪锌矿结构的合金的电子结构和半金属铁磁性进行了研究。结果表明：在稀掺杂条件下(Mn的浓度为3125)，过渡金属Mn原子的掺入诱发了显著的局部晶格畸变，形成了深能级杂质，这些杂质主要由Mn的3d电子态和N的2p电子态杂化形成，而且发生了较大的交换劈裂，导致了合金的铁磁性。此外，体系还呈现出明显的半金属特征，超元

10、胞的总磁矩为4，主要来自于磁性金属Mn及近邻N原子的贡献。6通过查阅文献，本人发现前人研究的一维半金属能态性质还不够完整，则写下这篇学士论文，探讨有关问题。2. 半金属的定义什么是半金属?半金属是性质介于金属和非金属之间的元素。这些元素一般性脆，呈金属光泽。半金属元素在元素周期表中处于金属向非金属过渡位置，通常包括硼 B、硅 Si、砷 As、碲 Te、硒 Se、钋 Po和砹 At，锗 Ge、锑 Sb也可归入半金属。金属能带的特点，是它的导带与价带之间有一小部分重叠。不需要热激发，价带顶部的电子会流入能量较低的导带底部。因此在绝对零度时，导带中就已有一定的电子浓度，价带中也有相等的空穴浓度。这是

11、半金属与半导体的根本区别。但因重叠较小，它和典型的金属也有所区别。 除上述元素外，化合物也可以是半金属，如 Mg2Pb。另有一些化合物，如HgTe、HgSe等禁带宽度等于零，有时称作零禁带半导体，实质上也是半金属。表2-1 元素周期表7石墨结构的碳和五价元素As,Sb,Bi均为半金属。半金属仍为金属，但载流子浓度要比金属的典型值（）小几个数量级。元素As，Sb，Bi晶格结构相同，unyou三角布拉维格子。基元包括2个原子，因而有10个价电子，本应为绝缘体，但能带的少许交叠使它们有少量的载流子。As,Sb,Bi的载流子浓度分别约为，和第一章中基于其价电子数的计算值相去甚远。半金属有较高的电阻率。

12、由于有效质量的减少，电阻率的增加并不只与载流子浓度的减小有关。少量载流子在k空间形成小的电子袋和空穴袋，意味着费米能处小的态密度，因而电子比热也远低于自由电子气数值。8当元素具有较多的价电子时，其费米面半径加大。当费米面接触到布里渊区界面时，其费米面就被布里渊区界面分成许多碎片，其面积大为减少。这样就导致导电的电子数也大为减少，因而浸提的导电率和电子比热就很小。例如，五价元素砷、碲、铋浸提就是这种情况。 9因为能带有交叠，交叠的程度不一样，半金属大都具有多种不同物理、化学性质的同素异形体。运用能带理论，求出在一定温度下半金属的能态密度，进而分析能态密度对半金属的电子热容量和电导性质的影响。 表

13、2-2 半金属材料价带和导带之间的能隙9晶体带隙 0K300KSii1.171.14Gei 0.7440.67lnAsd 0.430.35GaAsd 1.521.43GaSbd 0.810.78AlSbi 1.651.52SiC3.0Ted 0.33ZnSb0.560.56HgTed -0.30 在金属和半导体之间存在一种中间情况：导带底和价带顶或发生交叠或具有相同的能量（有时称为具有负带隙宽度或零带隙宽度）在此情形下，通常同时在导带中存在一定数量的电子，在价带存在一定数量的空状态。其导带电子的密度比普通金属少几个数量级，这种情形称为半金属。V族元素Bi Sb As是半金属。它们都具有三角晶格

14、结构，每个原胞中包含有2个原子。因为每个原胞含有偶数个价电子，似乎应是非导体。但是由于能带之间的交迭使它们具有了金属的导电性，但是由于能带交迭比较小，对导电有贡献的载流子数远小于普通的金属，例如Bi,均为，比典型金属小倍。Bi的电阻率比大多数金属高10至100倍。10通过本次学士论文，研究了一维半金属的能态性质。在写作期间，我运用了能带理论和金属电子论来研究一维半金属的能态性质研究。3. 能带理论和金属电子论3.1能态密度函数 在原子中电子的本征态形成一系列分立的能级，可以具体标明能级的能量，说明他们的分布情况。然而，在固体中，电子能级是异常密集的，形成准连续分布，去表明其中每个能级是没有意义

15、的。10为了概括这种情况下能级的状况，引入了所谓“能态密度）的概念。考虑能量在 （3-1） 间的能态数目，若表示能态数目，则能态密度函数定义为10 （3-2） 如果在空间中，根据 常数 （3-3） 作出等能面，那么在等能面E和之间的状态的数目就是。由于状态在空间分布是均匀的，密度，因此，（能量为E和E+的等能面之间的体积）如图所示，等能面间体积可表示成对体积元dSdk在面上的积分 （3-4） 其中dk表示两等能面的垂直距离，dS为面积元。显然 （3-5）因为表示沿法线方向能量的改变率。因此 （3-6） 从而得到能态密度的一般表达式9 （3-7） 若一固体的已知，就可以根据上式求出它的能态密度函

16、数。 如果考虑到电子可以取正、负两种自旋状态，则能态密度加倍10 （3-8） 可以看出能态密度函数与晶格振动中的模式密度函数是相类似的。下面举几个实例。若电子可以看成是完全自由的，则 （3-9） 它只与的绝对值k有关，因此，空间等能面为球面，半径为 （3-10） 在球面上 （3-11） 是一个常数，因此 （3-12） 3.2 的确定 在0K的低温极限费米能级应由下列关系式决定10 （3-13） 对于有限温度，必须根据确定。应用能态密度函数，可以写成 （3-14） 现在引入一个函数 (3-15) Q(E)表示E以下量子态的总数。对（3-14）的右方进行部分积分，并引用Q（E）得到9.10 前一项

17、显然等于0，因为当E0，Q（E）为0；当E,f(E)按趋于0.因此 （3-16） 写成这个形式是为了利用函数的特点来进行近似的积分。由费米统计分布函数得到10 （3-17）这个函数的特点是它的值集中于附近的范围内，并且是的偶函数，因此我们一方面可以将下限写成而不影响积分值 （3-18） 另一方面把Q(E)在附近展开为级数 (3-19) 因此 (3-20) 令T0K得到 (3-21) 对于一般温度，可以把（4-6）右方第一项在附近作为的级数展开。下面将看到，为项，因此如果只考虑到项10 （3-22） 其中，按同样近似我们还把（4-8）中的项的中的代入。应用(4-9),可以把（3-22）写成 (3

18、-23) 3.3 电子热容量根据电子的能量分布可以直接写出电子的总能量U为10 （3-24） 可以利用和上面完全相似的方法近似计算积分。为此，引入 （3-25） 这个函数表示E以下量子态为电子填满时的总能量。对（3-24）分布积分，得到10 (3-26) (3-26)的积分形式上完全相似，只是R(E)取代了Q(E),因此可以直接引用结果，把（3-26）写成10 （3-27） 把表示随温度变化的代入（3-27），就得到10 (3-28) 根据R（E）的定义（3-25），有 (3-29) 代入（3-28），（3-28）可以简化为 （3-30）根据R（E）的定义，等于0K时电子的总能量，则（3-30

19、）的第二项 (3-31)表示热激发能。从物理实质上看，这个结果表明在温度T，只有附近大致为的能量范围内的电子受到热激发，激发能。这时容易理解的，因为热激发电子的数目可以写成,每个电子获得能量，总的激发能应基本上为，这正是（3-31）的结果。9,10（3-31）对T求微商就得到电子热容量 (3-32)3.4 电导率公式碰撞项（b-a）的积分内包含着未知的分布函数，因此，波尔兹曼方程式一个积分-微分方程式，在一般情况下，不能到到简单的解析形式的解。在实际中，一般都采用近似方法。一个广泛引用的近似方法便是假定碰撞项可以写成下列形式8,11 (3-33) 其中指平衡时的费米函数，是引入的一个参量，称为

20、弛豫时间，为k的函数。这个假定的一般根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态这一基本特点。如果，状态原来是不平衡的 表示对平衡的偏离，当只有碰撞作用的时候，应很快地消失。上面关于碰撞项的假定实际上便是说，碰撞促使对平衡的偏离指数地消失，因为，只有碰撞作用时，10 对t积分得到（注意t=0时，）的解是8,11 我们看到，弛豫时间大致量度了恢复平衡所用的时间。引入弛豫时间来描述碰撞项后，波尔兹曼方程变为 (3-34)这个方程的解，即为点成E存在时顶台的分布函数f，显然将是E（）的函数，我们可以把f按E的幂函数展开 (3-35)分别代表包含E的一次幂，二次幂，项。我们注意0极项，实际上表示E=0时f的值，

21、因此就等于平衡情况下的费米分布函数。把(3-34)代入(3-33)得到8,10,11 考虑到等式两边E的同次幂的项应该相等，就得到下列决定的方程 (3-36)从E的一次幂方程得 (3-37)由于只是E(k)的函数，上式又可以写成: 8,10,11 (3-38)其中我们引用了能带中基本关系是。我们知道，一般电导问题中，电电流与电场成正比，服从欧姆定律，从一般理论的观点，这相当于弱场的情况，此时分布函数也只需要考虑到E的一次幂，即 如前面指出，电流密度可以直接由分布函数得到 第一项相当于平衡分布的电流，因此等于0，将(3-34)所求得的代入上式得10 (3-39)这样，就得到了欧姆定律的一办公室。

22、把上式用分量表示，则 (3-40)其中 (3-41) 根据 把代入（4-29），得： 是电导率二阶张量的分量。10值得指出，根据前面对费米函数的讨论，上式中出现的表明，积分的贡献主要来自E=附近。换一句话说，电导率主要决定于费米面E=附近的情况。同时，各向同性的情况意味着， 与k的方向无关，因此，在 的积分中，除去以外，其余的因子都是球对称的，只要，积分内函数是奇函数，所以积分后 ， （）同样，由于对称，因此张量相当于一个标量 由于被积函数与k方向无关，采用极坐标对积分，则得 其中 把上式代入，得： 其中积分变量根据(3-38)改用能量E。以前关于包含的积分的讨论，如果忽略以及高次项，积分的结

23、果就等于取积分内方括号中函数在处的值 (3-42)应等于电子数N，因此得 所以（3-42）又可以表示为： 已知： 表3-1 金属中费米面附近载流子的群速度，常温 下的弛豫时间和费米面附近载流子的平均自由程12固体金属半导体 将表九中半导体的的数值代入上式，得： m因为： ，所以： 将和的数值和表九的数值代入（3-42），得： 这是由一般半金属弛豫时间和费米速度算出来的电导率，是一个大概的值。其中表示E=时的k值: 10 所以 弛豫时间可以表示为： 其中是平均自由程，是费米速度。4. 一维半金属的能态性质研究 设为半金属交叠的两能带其中为能带1的带顶，为能带2的带底，交叠部分为。由于能带交叠，能

24、带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴。根据（3-8），将代入得到 （4-1）同理：将代入得到 （4-2） 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带，形成绝缘体。但由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足 （4-3） 已经计算出,令，代入（5-3）得： 将代入上式，可得： （4-4） 根据Q(E)的定义，Q(E)实际上就是能态密度N(E)，所以(3-23)又可以写成： （4-5） 将（3-12）（3-15）代入上式 （4-6） 同理，将（3-13）（3-15） 根据电子的能量分布可以直接写出电子的总能量U为 （4-7）（4-7）式可以简化为 （4-8）其中第一部分：

25、 （4-9） 第二部分： （4-10）联立（4-9）（4-10）可得：）0 （4-11）同理： （4-12） （4-13） (4-14)同理： (4-15)现在特别讨论一下各向同性的情形，并且假设导带电子基本上可以用单一有效质量描述， (4-16)已知有效质量 （4-17）代入（5-15） （4-18） （4-19） 表4-1 不同温度下几种半金属材料的平均自由程12材料有效质量T=273KT=77KT=20Kl/ml/ml/m硅0.54锗 已知弛豫时间,根据表七T=273K的平均自由程，代入数据，可得硅的弛豫时间为： 根据(4-31)，代入表七数据，经查表得知室温时硅的本征载流子浓度11，可

26、得硅的电导率为： 这是在T=273K时硅的电导率。同理,经查表得知，室温时锗的本征载流子，可得锗的弛豫时间为： s锗的电导率为： 这是在T=273K时锗的电导率。根据查表得知，锑的载流子浓度n为，弛豫时间为。故锑的电导率为： 经查表得锑的电导率为。 表4-2 半金属在室温时的电导率7 单位：/元素硅砷碲硒钋砹锗锑硼电导率无数据表4-3 金属的性质，包括低温和常温的弛豫时间，即根据索莫菲模型到 处的费米能量、费米温度、费米速度、费米波矢12元素电阻率77K273K77K273KSb8.039.00.270.0510.916.51.961.70 表4-4 在273K时，部分金属元素的电导率与半金属

27、的电导率的比较12 单位：金属元素CuAlPbLiFeMgNa电导率半金属SiAsSeTeBGeSb电导率 结论一、经过计算，我算出了硅、锗、锑的电导率，对比表五，我发现计算值与查表数据有些不同。原因归结如下：1. 计算时我是运用温度T=273K时的各元素的平均自由程和本征载流子浓度，因为没有找到各元素的弛豫时间，只有使用了一个大概的值。2. 表二中半金属在室温时的电导率，是从维基百科中查找获取的。其中室温确切是多少度，并没有说明，这也是导致计算值与表中的电导率不同的原因。2、 通过计算出某些半金属的电导率，我们可以发现，半金属的电导率与金属的电导率有很大的不同，这就说明电导率与载流子有密切关

28、系。半金属的载流子浓度比金属的少，大概少几个数量级，这就导致半金属有较高的电阻率，导电能力没有金属强。3、 对电导率有直接贡献只是费米面附近的少量电子，并非所有电子都会起作用。费米面内的大部分电子保证了费米面的存在。94、 由于能带之间交叠较小，所以在半金属中对导电有贡献的载流子数远小于普通金属。半金属与金属在能态性质上的区别：半金属的满带和空带发生交叠，因此具有金属的导电性，但能带交叠部分不太多，一个带几乎被填满另一个带只有少量电子填充，导致半金属的导电性能没有金属的强。半金属的禁带宽度较小，例如Si为1.12eV,Ge为0.803eV。所以在热激发的状态下，载流子数目比较多，从而能够导电。半金属与半导体在能态性质上的区别：半导体的导电性是由于存在杂志，使得能带的填充有所变化，是导带中有少数电子，满带中缺了少数电子，从而导电。或