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1、落体偏东问题的理解 仪22 陈建华 020862关键词 落体偏东 计算机模拟引言 现在科技飞速发展,武器的科技含金量也不断提高,目前不少杀伤力巨大的导弹都采用了精确制导.而高的精度离不开对导弹受力情况的完整分析,这当然少不了地球自转产生的影响,本文就将对此问题进行简单分析.某物体从地球表面高h处自由下落,如果不考虑地球对它的影响那么物体将竖直落到地面上.但是由于物体在下落过程中还要受到地球自转的影响,因而物体落到位置将较垂足偏东些.虽然偏东幅度并不是很大,但是对于象导弹等精密武器来说,它的影响也是不能忽略的,因此从理论上研究落体偏东也就有了实际的意义.下面就对地球上纬度为高度为h的一个自由下落
2、物体(当作质点)的运动进行分析.X(南)Y(东)北极WO赤道Z(天)在地球上建立坐标系Oxyz;原点O点在地面,轴指南,轴指东,Oz轴垂直地面向上,由于地球是非惯性系,质点除了受重力之外还受到惯性力的作用,当把m理解为表观重力时,惯性力中只需考虑科氏力的影响.(因为此时惯性离心力已经考虑了).故质点相对于地球的运动微分方程为WY(东)Z(天)X(南)wcosh 其中为地球的自转角速度.于是可得到式在Oxyz系内的投影方程为 式是线性微分方程组,可求解析解.设初始条件为t=0时x=y=0,z=h,将式中三个式子积一次分并定出积分常数,得 将上式代入式得由于项可以忽略,于是上式化为对上式积分两次并
3、定出积分常数,得到在忽略项的条件下,科氏力对Ox和Oz方向的运动几乎没有影响,y值反映出其偏东效应.由上式消去时间t可得质点运动的轨道方程. 下面我们对式用Matlab求其数值解并作图可得直观图形,进行数值解法的方程为(从式得到)分别令纬度为得到下面的图形 从得到的Matlab模拟图来看纬度为(赤道处)时物体偏东比较厉害,且随着纬度的增加,偏东效应渐渐减小,当纬度达到时(对应于地球的北极),物体不发生偏东,而是直接竖直下落到地面.这与上面理论得到的结果相符,在中从而可以得到物体下落的偏东位移随着纬度的增加,cos减小,偏东量y减小,这与上面模拟得到的图线变化趋势相符.同时如果,那么cos将等于
4、0,对应的偏东量也就为0,也就是说,物体将竖直落到地面.这一点也可以从物体受科氏力情况的分析简单地得到,纬度为90度时,物体的速度方向与地球自转角速度的方向平行,科氏力,物体相当于在此情况下只受重力作用,因而竖直下落,不发生偏东.上面考察了纬度对偏东效应的影响,下面再就地球自转角速度对它的影响进行一些讨论.上面那张模拟图是在自转周期为24小时时得到的,而下面一张图则是自转周期T=30小时时得到的(虽然不大符合实际,但这样更便于观察变化趋势)可以看出物体的偏东效应明显减小,例如:周期T=24小时,纬度为0度时,物体偏东约为0.06米;当周期T=30小时,纬度为0度时,物体偏东约为0.05米,明显
5、减小.这种现象也可以从理论上得到解释,因为当地球自转周期T增大时,角速度w减小,因而同一纬度下偏东量减小.以上是T变大的情形,我们再来看看T减小时的情形.下面的左图是T=10小时得到的图象,可以看到图象并没有发生突变,仍可以按上面的理论进行分析.但是若T继续急剧下降,当T=0.001小时时(虽然地球绝对不可能转这么快,但对它的分析也有一定理论作用,后面将提到),图象便突变为下边的右图.图线明显出现弯曲,这就不能用上面得到的公式进行解释了.问题出在哪里呢?原来我们在解方程的过程中进行了一些简化(可参看上面的方程),忽略掉了二阶小项,这在很小的情况下是相当合理的.当逐渐增大,大到一定程度后, 项的
6、影响就不能再忽略了,这样方程就附加了一个非线性项,也就产生了上面图线弯曲的情况.而实际中并未出现这种情况,因为实际地球的角速度足够小, 项可以不予考虑.从上面极端情况的分析我们体会到了解方程中的近似处理是相当符合实际的.以上的这些便是我对落体偏东问题的一些认识,其实落体偏东问题有相当广阔的实际背景,特别是在导弹发射中应相当注意.第一次世界大战时,英国的炮手就应为没有正确考虑落体偏东效应,而导致多发炮弹未准确命中目标.当然地球表面的远程抛体运动是相当复杂的,空气阻力,地球自转,风向等因素对会对其产生影响,我们只是对其中的一部分进行了分析,要对具体发射进行精确制导,需进行大量数值计算,这就不是我们
7、能解决的问题了,只能交给计算机,但不管怎样,基本原理是永远不会变的.参考书目理论力学 张雄等编 P230理论力学辅导与习题集 高云峰 李俊峰编著 P248这学期我们开设了理论力学课,可以说这是目前我们所学的最有难度的一门课,但是我们很幸运地遇到张老师,张老师是一位很负责的老师,课讲的很好,也挺幽默,在他的指导下,我顺利地完成了本学期的学习任务,虽然不能说是学的多出色,但是我个人认为也是收获不小.理论力学这门课同我们所学的大学物理既有联系又有区别,这区别就在于大学物理把重点放在牛顿力学的讲解上,并且主要偏重于原理的阐述,而理论力学除了讲解牛顿力学外,还加入了分析力学的部分知识,并且和我们的工程实
8、际联系更加紧密,数学水平也要求更高.虽然课程挺难,但是只要把握住牛顿力学,分析力学两条主线,就不难学懂.总体来说,这门课对我帮助不小,大大提高了我解决实际问题的能力,在此也对张老师表示感谢,谢谢你了.关于小论文小论文可以说是锻炼学生分析实际问题的一种好途径.在刚开始时,我拿不准要选什么题目,因为很多题目都被其他同学写过了,而我自己的知识又比较有限.后来我想,既然理论力学是解决工程当中的实际问题,那么何不把计算机的应用也引入其中,这样便可大大提高效率,同时也使分析更直观,于是我选择了“落体偏东”这个我平常没多大弄懂的问题(有些惭愧,呵呵),然后用Matlab进行模拟.在数学建模和编程中都遇到了不
9、少的困难,关于数学建模我后来是翻阅了资料(主要是课本),编程中也请教了不少Matlab的编程高手(本班同学贾蕴龙),在得到模拟结果后,我又自己进行了理论分析,终于将整个问题搞明白了.特别值得一提的是原来我在解联立方程组时,老是解不出来,原因是未作恰当的近似,导致方程组不是线性方程,代数无法求解;后来得到模拟结果后,经过分析发现忽略掉,化非线性方程为线性,是相当精确的,不会影响问题的解决(具体分析见前面).论文写完后,很有一种成就感.其实自己想想也没写什么,不过是对课本上的东西做了一点延伸,但是通过这种方式,自己解决实际问题的能力又有提高了,而且对课本上知识的认识又更进一步了.这种锻炼我们的方式应该说是相当成功的,我想以后这种机会还应该加多,这样更有助于我们理论联系实际.