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1、本科毕业论文（设计）题 目： Jensen不等式的推广院（系）专业： 数学系（数学与应用数学）学生姓名： 冯德文 学 号： 2003701107 导师（职称）： 杨慧章 (助教) 日 期： 2012年6月 红河学院本科毕业论文(设计)摘 要凸函数是一种性质特殊的函数，而凸函数的Jensen 不等式是一个很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函数的构造也有其妙处。为使其更广泛应用于不等式的证明，本文利用凸函数的性质对Jensen不等式进行了推广，得到几个重要的积分不等式并进行了证明。关键词：凸函数 ； 积分 AbstractThe convex function is one functi
2、on with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequality. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures also have their advantages, In o
3、rder to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them.Key word：Convex Function；IntegralII目 录绪论11 预备知识21.1 凸函数21.2 Jensen不等式22 Jensen不等式的推
4、广42.1 积分型Jensen不等式42.2 其它积分不等式52.3 应用8结论10感谢信11参考文献12绪论绪 论不等式是研究分析数学的重要工具，在高等数学中我们要用到各种形式的不等式。本文主要利用凸函数的定义及性质去证明不等式。其关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。本文内容安排如下：第一章 预备知识。先介绍凸函数的定义及充要条件，再给出凸函数的Jensen不等式及其证明。第二章 Jensen不等式的推广。先利用凸函数的定义及性质把前一章给出的Jensen不等式推广到积分形式，并给出证明。再由前章给出的知识以及积分型的Jensen不等式
5、推出几个重要积分不等式并进行证明。最后给出两个例子介绍它们的应用。 11预备知识1 预备知识1.1 凸函数定义 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数。反之，如果总有则称为上的凹函数。定理1 设为上的可导函数，则为上的凸函数的充要条件是， 或 对上的任意两点，有 1.2 Jensen不等式定理2 (Jensen不等式) 为区间上的凸函数，则对任意，且，有 (1-1)2再把上式两端分别相加，得由 及，上式变为=即注：当时，有，则(1-1)式变为 (1-2) 3结论2 Jensen不等式的推广2.1 积分型Jensen不等式命题1 若在区间上连续，处处2阶可导且，则
6、有 (2-1)证法：把区间等分，把代入(1-2)式，有 即 因为，在上连续，当时，有 所以2.2 其它积分不等式命题2 若在连续，则 (2-3)证明：设，则，所以为凸函数。由命题1可得 即 所以 注：命题2为命题1的一般形式，相当于命题一中的。因为为凹函数，所以符号相反。命题3 若在区间连续且，则 (2-4)证法一：设，则。因为，所以，即为凸函数。根据命题1有 即 结论得证。 注：命题3由命题1所得，相当于。证法二：把 等分，分点为。因为算术平均值大于调和平均值，所以有 =由有 令，取极限得 结论得证。命题5 设在连续，且则有证：因为函数 为凸函数，由Jensen不等式有 =。 =综上可得 注
7、：上式为均值不等式。2.3 应用例1 证明。证：令因为且的连续性，所以由Jensen不等式有 = = =。结 论凸函数是一个传统研究课程，具有广泛的实际背景和应用价值。对凸函数性质的探讨是一个重要的研究方向。 本文凸函数Jensen不等式的应用仅仅是限于一元函数而言，可将其推广到多元函数，将空间扩充到凸集的范围，这些类似定理和结论以及相关应用有待一步研究。9红河学院本科毕业论文(设计)感谢信在毕业论文完成之际,向给予我帮助和指导的各位老师和同学表示衷心的感谢!首先,我要感谢我的论文导师杨慧章老师,因为有她耐心的指导、鼓励和帮助我才顺利完成我的毕业论文。借此机会我向数学系老师表示衷心的感谢,感谢
8、他们四年来的精心指导和培养。10参考文献1林玎,刘伟.Jensen不等式的几个推论及其应用J.吉林师范大学学报,2003,8(3)：28-232刘飞燕.Jensen不等式及其应用J.云南民族大学学报,2003,7(3)：148-1513徐伟.积分形Jensen不等式的巧用J.高等数学研究,2002,6(4)：15-164陈欣.关于Jensen不等式的应用J.武汉工业学院学报,2005,9(3)：113-1155刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式 J.成都大学学报 ,2003,12(4)：32-356尚亚东,游淑军.凸函数及其在不等式证明中的应用J.广州大学学报,2005,2(1):1-6. 11