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1、数值分析课程设计论文 国土面积计算 摘 要：数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用插值、复化梯形公式的方法，并利用数学软件MATLAB对国土面积进行计算，使之计算结果与实际记录基本吻合。关键词 ：插值 复化梯形公式 MATLAB一、问题提出图3.8是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，得到了表3.6、表3.7的地图测量数据，比例尺为30（数据单位）：100公里（实际单位）。试由测量数据采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值156.6500万平方公
2、里进行比较。二、模型假设 题中所给数据是真实可用的，假设国土面积在一定时期内没有变化，各种因素对此题也无影响，可以进行实地测量。三、问题分析与模型建立在工程建设和地籍管理中，会经常遇到面积的测算和计算工作，传统的方法是在纸上，利用求积仪进行计算，存在绘图等操做的误差，精度较低。在现在工作中，全站仪的广泛使用我们能够容易得到一系列离散数据坐标，降低了对使用者的基础和计算机语言的要求，使计算不在是测算人员的负担。MATLAB提供了非常方便的绘图功能，越来越受测量人员的青睐。现根据题目给出的数据，我们可以使用MATLAB软件中的plot函数先大概画出该图形轮廓，从该图可知本题主要是求不规则平面图形的
3、面积，题中已经把图形分为上下边疆线，所以可以采用线性插值与复化梯形公式分别求出上下边疆与横坐标所围的面积，最后求出图形的总面积。根据题目中给出的已知条件，应用机理分析进行建模具体分析如下：1. 根据对某地地图测量的数据计算出某地地图的近似面积。2. 将测算数据与其精确值156.6500万平方公里进行比较。四、模型求解1.插值作图 在将数据进行插值时，由于数据中出现重复点，故不能直接插值，所以考虑分段处理，分别将上下边疆线合理分段，每段记为xi(i=1,2,),而y的值也与之对应分段记为yi(i=1,2,)，本文将下边疆线分为六段，将上边疆线分为七段，现以下边疆线为例分段： 第一段：x1=17
4、18 20 31 41 58 66 72；y1=299 298 288 273 262 254 234 220；第二段：x2=72 69 57；y2=207 191 175；第三段：x3=57 60 71 104 130 146 160 163 168 179 196 223 258 282 307 315 330 352 377；y3=175 166 160 150 137 121 117 106 83 64 63 56 50 52 46 38 32 21 21；第四段：x4=377 392 428 462 501 524 533 555;y4=16 14 34 43 46 60 75 95
5、；第五段：x5=555 542;y5=95 114；第六段：x6=542 550 561 574 590 599 610 635 644 649 669 671 677 678 696 720 723；y6=114 138 139 133 133 139 157 162 174 188 200 207 205 206 216 218 225；下面先将每段进行一维线性插值如第一段:x1=17 18 20 31 41 58 66 72;y1=299 298 288 273 262 254 234 220;x1i=17:1:72; y1i=interp1(x1,y1,x1i); %线性插值plot(
6、x1i,y1i) hold on; 其中y1i则为被插值点的函数值，x1，y1为插值节点，且x1,y1单调，x1i为被插值点，x1i的步长为1，x1i的值不能超出x1的范围，plot函数为输出这一段的图形，再用hold on将下面每一段数据输出的图形承接在一个图中，从而构成一幅整图如下(其中蓝线则为插值后的线)：再考虑将每一段进行一维三次样条插值(1)进行比较，同样以第一段为例：y1i=interp1(x1,y1,x1i,spline) %三次样条插值plot(x1i,y1i)hold on;其中x1,y1,x1i,y1i的含义同上，而spline为插值的类型是三次样条插值，再次得出插值后的图
7、如下：（蓝线为插值后的线) 根据以上两图的比较可以看出线性插值与三次样条插值存在着一定的差别，但是只根据图形无法判断它们的精确性，因此下面再分别用它们插值后的线来计算面积。2.求面积对以上每一段所构造的函数值用复化梯形公式（I=）（h=1）求积分，记为An，n=（1，2，6），下以A1为例：s=0;for i=1:54 运用for循环语句s=s+y1i(i); endA1=0.5*(299+220+2*s) %复化梯形公式先对s赋值0，然后采用for循环语句将i从1到54（54为x1i区间的范围）对s叠加，从而求得s的值，最后用复化梯形公式进行积分，求得A1；同理求出下，上边疆其余段的积分分别
8、为Ai (i=1,2,6) ，Bj (j=1,2,7)。从而求出下边疆与横坐标的面积为=，上边疆与横坐标的面积为=。下图分别为线性插值、三次样条插值后下边疆线与横坐标所围的面积：以下每种颜色就代表下边疆每一段所求得的积分，将它们合并即为整个下边疆线与横坐标所围面积。 而该题的面积就为上边疆与横坐标的面积减去下边疆与横坐标的面积，即为，再根据题中给出的比例尺将换成实际单位，并与精确值=156.6500万平方公里进行比较，最后算出误差。五、运行结果1.用线性插值算的的面积为：下边疆与横坐标的面积为=8.2899e+004，而上边 疆与横坐标的面积为=2.2475e+005；所以=2.2475e+0
9、05-(8.2899e+004)=1.4185e+005，即求得的近似面积为=157.6150万平方公里；而题中给出的精确值为=156.6500万平方公里，所以得出相对误差为=0.0062。2.而用三次样条插值算的的面积为：下边疆与横坐标的面积为= 8.2780e+004，而上边疆与横坐标的面积为=2.2475e+005；所以=2.2475e+005-(8.2780e+004)=1.4197e+005，即求得的近似面积为=157.7450万平方公里；所以得出相对误差为= 0.0070。六、误差分析与结论1.从以上两种插值方法可以看出结果都存在着一定的误差，产生误差的原因：(1)原始数据误差，由
10、于所测量数据有限，不能完全表示出所测量点以外的边界情况；(2)插值误差，插值的原理是近似给出所给数据点之间的数据，并不能与原始图像相吻合；(3)程序中x1i所取步长的大小不同。2.减小误差方法：(1)选取合适的插值方法，使得插值后的图像更逼近原图：将以上两种方法进行比较可以看出用线性插值所作的图更接近原图，且求得的结果误差更小，与实际记录更接近，所以采用线性插值；(2)改变程序中x1i的步长：将线性插值程序中x1i的步长1改为0.1，其余都不改变，从而得出的相对误差为H=0.0196，与步长为1时比较可以看出步长为1的误差更小。3.结论：由以上分析可知，就这题而言应采用线性插值，得出的近似面积
11、为157.6150万平方公里，求得的相对误差为0.0062，但是这并不能肯定的说明线性插值就一定比三次样条插值好，或者更加精确，在不同的情况下会有不同的结果，并且有些误差是无法避免的 所以我们只能因题而议。至此该题解答完成。 七、模型的应用与推广此模型可以应用于工程建设和地籍管理面积测量和计算工作中,全站仪的广泛使用使我们能够容易得到一系列离散点的坐标,利用MATLAB 这种功能强大的计算软件，能够比较简单的对于边界不规则地块面积进行计算。此模型适用于不是十分精确的测量。可以对大型工程施工提供大概的面积和边界图形。还可以应用于对湖泊、山川、河流的测量计算。参考文献：1聂铁军，计算方法,国防工业
12、出版社，19882王能超，数值分析简明教程,高等教育出版社，19843易大义等，数值方法，浙江科学技术出版社，19844张德荣等，计算方法与算法语言（第二版），人民教育出版社，19895邓建中等，计算方法，西安交通大学出版社，19856唐珍，金坚明，李志杰，计算方法，高等教育出版社，19927李岳生，黄友谦，数值逼近，高等教育出版社，1978附 录：完整代码如下：X1=17 18 20 31 41 58 66 72 72 69 57 60 71 104 130 146 160 163 168 179 196 223 258 282 307 315 330 352 377 377 392 428
13、 462 501 524 533 555 542 550 561 574 590 599 610 635 644 649 669 671 677 678 696 720 723;Y1=299 298 288 273 262 254 234 220 207 191 175 166 160 150 137 121 117 106 83 64 63 56 50 52 46 38 32 21 21 16 14 34 43 46 60 75 95 114 138 139 133 133 139 157 162 174 188 200 207 205 206 216 218 225;plot(X1,Y1,
14、g.)plot(X1,Y1,g)hold onX2=723 722 710 687 676 659 647 630 619 623 626 633 608 596 581 558 537 511 484 464 456 449 434 425 411 394 368 351 332 329 312 284 281 263 251 249 244 240 247 233 222 217 209 189 180 169 165 165 150 138 138 132 127 122 102 86 65 64 54 32 28 17;Y2=225 220 240 256 256 241 245 23
15、7 245 254 273 309 308 315 315 290 281 270 270 272 278 290 293 301 303 308 297 303 311 337 342 353 358 365 356 347 346 332 314 297 290 297 298 301 303 307 314 325 328 332 337 336 341 338 332 328 322 316 314 314 307 299 ;plot(X2,Y2,r.)plot(X2,Y2,r)hold on;x1=17 18 20 31 41 58 66 72;y1=299 298 288 273
16、262 254 234 220;x1i=17:1:72;y1i=interp1(x1,y1,x1i); %线性插值plot(x1i,y1i) hold on;s=0;for i=1:54 s=s+y1i(i);endA1=0.5*(299+220+2*s) %复化梯形公式x2=72 69 57;y2=207 191 175;x2i=57:1:72;y2i=interp1(x2,y2,x2i); %线性插值plot(x2i,y2i)hold on;s=0;for i=1:14 s=s+y2i(i);endA2=0.5*(207+175+2*s) %复化梯形公式x3=57 60 71 104 13
17、0 146 160 163 168 179 196 223 258 282 307 315 330 352 377;y3=175 166 160 150 137 121 117 106 83 64 63 56 50 52 46 38 32 21 21;x3i=57:1:377;y3i=interp1(x3,y3,x3i ); %线性插值plot(x3i,y3i)hold on;s=0;for i=1:319s=s+y3i(i);endA3=0.5*(175+21+2*s) %复化梯形公式x4=377 392 428 462 501 524 533 555;y4=16 14 34 43 46 6
18、0 75 95;x4i=377:1:555;y4i=interp1(x4,y4,x4i); %线性插值plot(x4i,y4i) hold on;s=0;for i=1:177s=s+y4i(i);endA4=0.5*(95+16+2*s) %复化梯形公式x5=555 542 ;y5=95 114 ;x5i=542:1:555;y5i=interp1(x5,y5,x5i); %线性插值plot(x5i,y5i)hold on;s=0;for i=1:12s=s+y5i(i);endA5=0.5*(95+114+2*s) %复化梯形公式x6=542 550 561 574 590 599 610
19、 635 644 649 669 671 677 678 696 720 723;y6=114 138 139 133 133 139 157 162 174 188 200 207 205 206 216 218 225;x6i=542:1:723;y6i=interp1(x6,y6,x6i); %线性插值plot(x6i,y6i)hold on;s=0;for i=1:180s=s+y6i(i);endA6=0.5*(114+225+2*s) %复化梯形公式M=A1+A2+A3+A4+A5+A6 x7=723 722 710 687 676 659 647 630 619;y7=225 2
20、20 240 256 256 241 245 237 245;x7i=619:1:723;y7i=interp1(x7,y7,x7i); %线性插值plot(x7i,y7i)hold on;s=0;for i=1:103s=s+y7i(i);endB1=0.5*(225+245+2*s) %复化梯形公式x8=619 623 626 633;y8=245 254 273 309;x8i=619:1:633;y8i=interp1(x8,y8,x8i); %线性插值plot(x8i,y8i)hold on;s=0;for i=1:13s=s+y8i(i);endB2=0.5*(245+309+2*
21、s) %复化梯形公式x9=633 608 596 581 558 537 511 484 464 456 449 434 425 411 394 368 351 332 329 312 284 281 263 251 249 244 240;y9=309 308 315 315 290 281 270 270 272 278 290 293 301 303 308 297 303 311 337 342 353 358 365 356 347 346 332;x9i=240:1:633;y9i=interp1(x9,y9,x9i); %线性插值plot(x9i,y9i)hold on;s=0;
22、for i=1:392s=s+y9i(i);endB3=0.5*(309+332+2*s) %复化梯形公式x10=240 247 ;y10=332 314 ;x10i=240:1:247;y10i=interp1(x10,y10,x10i); %线性插值plot(x10i,y10i)hold on;s=0;for i=1:6s=s+y10i(i);endB4=0.5*(314+332+2*s) %复化梯形公式x11=247 233 222 217 209 189 180 169 165;y11=314 297 290 297 298 301 303 307 314;x11i=165:1:247
23、;y11i=interp1(x11,y11,x11i); %线性插值plot(x11i,y11i)hold on;s=0;for i=1:81s=s+y11i(i);endB5=0.5*(314+314+2*s) %复化梯形公式x12=165 150 138;y12=325 328 332;x12i=138:1:165;y12i=interp1(x12,y12,x12i); %线性插值plot(x12i,y12i);hold ons=0;for i=1:26s=s+y12i(i);endB6=0.5*(325+332+2*s) %复化梯形公式x13=138 132 127 122 102 86 65 64 54 32 28 17;y13=337 336 341 338 332 328 322 316 314 314 307 299;x13i=17:1:138;y13i=interp1(x13,y13,x13i); %线性插值plot(x13i,y13i)hold on;s=0;for i=1:120s=s+y13i(i);endB7=0.5*(337+299+2*s) %复化梯形公式N=B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7C=N-ME=C*(100/9)/10000C0=156.6500H=(E-C0)/C0 - 15 -