一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨_毕业论文.doc

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1、 本本科科毕毕业业论论 文文（设设计计） 题题目目 一些特殊一些特殊类类型的一型的一阶阶微分方程微分方程 的解法探的解法探讨讨 学生姓名学生姓名 学学 号号 系系 名名数学与数学与计计算机信息工程系算机信息工程系 专业专业年年级级数学与数学与应应用数学用数学 2008 级级 指指导导教教师师 职职 称称 单单 位位 辅导辅导教教师师 职职 称称 单单 位位 完成日期完成日期20122012年年5 5月月2020日日 材材 料料 目目 录录 XX 大学本科毕业论文（设计）任务书大学本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用） XX 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学

2、生用） XX 大学本科毕业论文（设计）中期自查表大学本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用） 论文正文：论文正文：一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 XX 大学大学本科毕业论文本科毕业论文（设计设计）诚信保证书诚信保证书 XX 大学大学本科毕业论文（设计）任务书本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用） 题目名称 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 学生姓名 所学专业数学与应用数学班 级 指导教师姓名 所学专业 职 称 完成期限2011 年 12 月 10 日至 2012 年 5 月 10 日 1.毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标 一般的微分方程没有

3、普遍的解法，即使对于一阶微分方程也是如此.在数学史上，数学家 Leibnitz 和 Euler 分别试图利用变量替换和积分因子法来统一解决一阶微分方程的求解问题， 但始终没有如愿.不过这并不意味着人们就对此束手无策，处理问题的基本原则是具体问题具体 分析，对一些具有某种特殊形式的一阶微分方程，可采取特定方法求解.作者可从以下几个方面 作深入研究： （1）一阶微分方程（含特殊形式）及其通解的概念； （2）求解特殊一阶微分方程通解的理论价值和实际意义； （3）一阶微分方程解的存在唯一性分析； （4）分析、归纳诸如变量分离方程、齐次方程、Bemoulli 方程、一阶线性微分方程等经典微 分方程的方程

4、特点及其求解的数学思想方法； （5）考察、分析某些特殊类型的一阶微分方程的本质特点，探究其转换与求解的方法和技巧. 2.毕业论文（设计）基本要求 （1）根据自己所学专业的理论知识，结合社会实践，恰当选题，旨在理论联系实际，初步培 养科研能力，运用所学的理论知识分析问题和解决问题； （2）根据所选论题，全面收集文献资料，并对所收集的资料进行合理的分析、整理； （3）根据拥有的资料，结合自己对论题的理解和研究，做好开题报告； （4）全面构思论文设计的主体框架，编写详细的写作提纲； （5）按论文设计的主体构想和具体的写作提纲撰写论文初稿； （6）在初步完成论文初稿的基础上，进一步与指导老师交流和勾通

5、，吸取合理的建议，不断 完善结构、补充材料、丰富内容、严谨逻辑、规范格式，提高论文的学术水平与实用价值； （7）严格按照 XX 大学毕业论文设计的规范来撰写与编辑，确保论文的规范性； （8）在整个毕业论文设计的过程中，严格按照大学的工作要求来开展研究工作，端正态度， 严明纪律，讲究科学，提高效率，按质按量完成毕业论文研究工作. 3.毕业论文（设计）进度安排 （1）2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：结合专业，完成选题； （2）2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； （3）2012 年 1 月 11 日2

6、012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西； （4）2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开题报告； （5）2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰写论文并完成初稿； （6）2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； （7）2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； （8）2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作. 指导

7、教师签名： 2011 年 1 2 月 10 日 XX 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学生用） 学号 学生姓名 系 名 数学与计算 机信息工程 系 专业 年级 数学与应用数学指导教师 职称 论文（设计）题目 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 1.本论题国内外研究动态及研究意义： 微分方程与微积分同时诞生，目前数学家掌握了一些可以用初等积分法求解的一阶微分方程类 型, 也发现有许多无法用初等积分法求解，所以,探讨一阶微分方程是微分方程领域的一个基本研究 内容. 随着时代的不断进步和科技的迅速发展，一阶常微分方程在很多学科领域内有重要的应用，如 飞机和导弹飞行

8、的稳定性的研究、自动控制、各种电子学装置的设计等.这些问题都可以化为求常微 分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 在国外，当代数学家 Leibnitz 和 Euler 对一阶微分方程解法的研究活动，有十分重要的学术意 义.1691 年，他们提出了常微分方程的分离变量法，解决了可化为变量分离型方程的求解问题；同 年还提出了求解一次齐次方程的方法；1694 年，Leibnitz 证明了使用了变量替换能把一阶线性常微 分方程化成积分方程；1694 年，Leibnitz 引进了找等交曲线或曲线族的问题，求出了一些特殊问题 的解；1696 年，他又证明了利用变量替换将伯努利方程变换，并将一些微分方程

9、进行简化.通过求 解微分方程，这两位科学家解决了研究活动中的许多具体问题. 这些年来，一阶线性、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、全微分方程、 一阶隐方程等问题已得以解决.然而一部分一阶微分方程还未能转化为经典类型的方程，它们是没有 统一的初等解法.目前,关于这一部分一阶微分方程的特殊解法,还在探索中.而本文的主要目的，就 在于总结四种特殊类型的微分方程（变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程） 的解法特点.通过对其进行分析和研究，从中总结经验、解题思想进而对一阶高次微分方程及其新类 型的解法进行探讨.因此，通过探讨新的一阶微分方程，从而培养我们的机智性和灵活性，

10、以及思维 能力. 2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题： （1）研究内容 本论文首先对经典类型的一阶微分方程的解法总结归纳，进一步对一阶常系数高次微分方程的 一般形式的解法总结，通过对经典一阶微分方程的解法运用，进一步扩展到对一阶常系数高次微分 方程新类型的解法探讨. （2）拟解决的主要问题 通过总结及研究，找出几类常见的一阶微分方程并对其解法进行探讨. 每类特殊的一阶微分方程通过案例寻找合适的解法对问题进行分析. 总结常见的几类微分方程的解法规律，进一步对常系数高次微分方程及其新类型的解法进行 探讨. 3.毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施： （1）拟采取的研究方法 文献资料法：

11、主要通过查阅关于本课题新文献和新成果，时刻关注所研究问题的新动向，对 国内外有关特殊类型的一阶微分方程的解法的资料进行收集和研究，更深层次的了解特殊一阶微分 方程解法.使所立论文研究的内涵和外延更丰富，方向更明确，方法更科学，以保证论文的研究质量. 举例法：通过列举相关的事实，更具体的特殊一阶微分方程应用. 积极与导师交流学习有关文献、研究心得以及课题的研究进展情况，对研究工作中所遇到的 难题和关键问题相互讨论、交流，而且不断完善研究目标. 分析法：结合以上方法来提出问题、分析问题和解决问题. 探究法: 深入学习，积极探究. （2）毕业论文的具体步骤 2011 年 12 月 1 日2011 年

12、 12 月 9 日：结合专业，完成选题； 2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； 2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西； 2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开题报告； 2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰写论文并完成初稿； 2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； 2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进

13、一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； 2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作. （3）论文框架 1 摘要 Abstract 2 正文 第一章 绪论 1.1 研究动态 1.2 研究意义 第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程 2.1 变量分离方程与离变变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型 2.2 线性微分方程 2.3 伯努利微分方程 第三章 常系数高次微分方程 3.1 一阶常系数高次微分方程 3.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨 3 结束语 4 致谢 5 参

14、考文献 4.主要参考文献： 1 王高雄,周之铭，朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)M.高等教育社,2006.7 2 东北师范大学数学系微分方程教研室. 常微分方程M.北京:高等教育出版社,1986. 3 中山大学数学力学系.常微分方程M.人民出版社,1978. 4同济大学数学系.高等数学(下)M.北京:高等教育出版社,2008:276281. 5四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三册）M.北京:高等教育出版社,1990. 6戴中林.一类一阶高次微分方程的解法J.大学数学，2006. 7 钱祥征. 常微分方程解题研究M.湖南科技出版社.1987年. 8邹豪思，冯尚.高等数学下册（第二版

15、）M.内蒙古大学出版社,2008. 9同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)M.北京:高等教育出社,2002. 10刘颖.一类特殊的一阶微分方程的初等积分法J.沈阳航空工业学院学报2004，21（5）：90- 91. 11张小慧.解一阶微分方程J.商丘职业技术学院学报,2006,5(2):11-12. 12李裕民.谈谈几种可积型一阶微分方程的解法J.湖南数学讯,1994,2:27-28. 13王高雄,周之铭.常微分方程M.北京:高等教育出版社出版,2001. 14伍卓群,李勇.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2003. 15 蔡燧林. 常微分方程.M. 武汉:武汉大学出版社,200

16、3. 16王柔怀.常微分方程讲义M.人民教育出版社,1979,2. 是否可以进入论文（设计）研究： 指导教师签名： 年 月 日 是否可以进入论文（设计）研究： 系主任签名： 年 月 日 XX 大学大学本科毕业论文（设计）中期自查表本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用） 系 名 数学与计算机信息工 程系 年 级2008 级专 业 数学与应 用数学 本人投入 的时间和 精力 每周平均工作 28 小时，出勤情况：较好（ ） 、一般（ ） 、差（ ）. 影响时间投入的原因： 找工作（ ） 、自身水平（ ） 、其他原因 . 指导教师 的投入 指导教师每周指导 1 次，大约 0.5 小时； 指导形式：网

17、络（ ） 、电话（ ） 、面对面（ ） 、其他 ； 指导效果： 好（ ） 、 较好（ ） 、一般（ ） 、 差（ ）. 毕业论文 （设计） 工作情况 是否能按任务书的“进程安排”完成工作：是（ ） 、否（ ） ，已完成内容占 全部工作 70 . 你的论题是：自选（ ） 、专业安排（ ） 、跨专业（ ）. 论题是否结合专业（是、否） 、难度（高、适当、容易） 、工作量（大、 一般、小）.自己对毕业设计（论文）文件规范的学习情况：已了解（ ） 、部分 了解（ ） 、不清楚（ ）. 条件保障 试验设备和器材是否得到保证：是（ ） 、否（ ）. 学校提供的图书资料是否满足需要：是（ ） 、一般（ ）

18、、否（ ）. 学校计算机上机条件：好（ ） 、较好（ ） 、不好（ ） ；约需 5 机时. 经费来源：学校（ ） 、个人（ ） 、尚无需要（ ）. 存在问题 及 整改思路 存在主要问题是： 1、本人已申请离校见习，没有得到学校图书馆和学校网络资料的帮助，资 料不全； 2、本人选的论文题目在大学期间开的课不是很深入，学的不是很精，写前 需要很多时间自学相关知识； 3、论文中整体的布局还欠很好的考虑，对论文的条理还有待改进. 4、自身原因，已离校见习，工作多，写论文的时间不是很多. 整改思路： 1、试图通过其他方法找到更合适的例题； 2、多看与自己论文相关的资料，达到熟练的地步； 3、对自己写好的

19、论文要多次修改，减少在语言上的毛病； 4、对论文的结构要更加熟悉. 学生签名： 年 月 日 指导教师签名： 年 月 日 第 页 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 数学与应用数学 摘摘 要要：关于一阶微分方程的求解，大部分教材只讨论了变量分离方程、齐次微分方 程、线性方程、伯努利微分方程，而对其他类型探讨得比较少，针对这种情况，本文 将特殊几类一阶微分方程的解法加以分析和归纳，其中运用了变量分离法、常数变易 法转化为可积的变量分离方程的数学思想，进一步扩充到对常系数高次微分方程及其 新类型解法的探讨，目的在于培养我们分析问题和解决问题的能力，为今后解决更复

20、 杂的一阶微分方程打下基础. 关键词关键词：一阶微分方程；解法；特殊类型；高次微分方程 SomeSome specialspecial typestypes ofof first-orderfirst-order differentialdifferential equationsequations inin SolutionSolution discussiondiscussion AbstractAbstract： 第 0 页 摘要摘要I ABSTRACTABSTRACTI 第一章第一章 绪绪 论论1 1.1 研究动态 .1 1.2 研究意义 .1 第二章第二章 常见的具有特殊形式的一阶微

21、分方程及可化为此类型的微分方程常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程2 2.1 变量分离方程与变量变换 .2 2.1.1 变量分离方程.2 2.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型.6 2.2 线性微分方程 10 2.3 伯努利微分方程 15 第三章第三章 常系数高次微分方程常系数高次微分方程18 3.1 一阶常系数高次微分方程 18 3.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨 22 结束语结束语.24 致致 谢谢.25 参考文献参考文献.26 第 1 页 第一章第一章 绪绪 论论 1.11.1 研究动态研究动态 微分方程与微积分同时诞生，目前数学家掌握了一些可以用初等

22、积分法求解的一 阶微分方程类型, 也发现有许多无法用初等积分法求解，所以,探讨一阶微分方程是 微分方程领域的一个基本研究内容. 随着时代的不断进步和科技的迅速发展，一阶常微分方程在很多学科领域内有重 要的应用，如飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制、各种电子学装置的设计等.这 些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 在国外，当代数学家 Leibnitz 和 Euler 对一阶微分方程解法的研究活动，有十 分重要的学术意义.1691 年，他们提出了常微分方程的分离变量法，解决了可化为变 量分离型方程的求解问题；同年还提出了求解一次齐次方程的方法；1694 年， Leib

23、nitz 证明了使用了变量替换能把一阶线性常微分方程化成积分方程；1694 年， Leibnitz 引进了找等交曲线或曲线族的问题，求出了一些特殊问题的解；1696 年， 他又证明了利用变量替换将伯努利方程变换，并将一些微分方程进行简化.通过求解 微分方程，这两位科学家解决了研究活动中的许多具体问题. 1.21.2 研究意义研究意义 这些年来，一阶线性、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、 全微分方程、一阶隐方程等问题已得以解决.然而一部分一阶微分方程还未能转化为 经典类型的方程，它们是没有统一的初等解法.目前,关于这一部分一阶微分方程的特 殊解法,还在探索中.而本文的主要目的，

24、就在于总结四种特殊类型的微分方程（变量 分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程）的解法特点.通过对其进行 分析和研究，从中总结经验、解题思想进而对一阶高次微分方程及其新类型的解法进 行探讨.因此，通过探讨新的一阶微分方程，从而培养我们的机智性和灵活性，以及 思维能力. 第 2 页 第二章第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型 的微分方程的微分方程 2.12.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 2.1.12.1.1 变量分离方程变量分离方程 1245101113 形如 ， （2.1）( , )( , )0P x

25、 y dxQ x y dy 在方程（2.1）中， 变量与对称，它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程：xyxy （这时）， ( , ) ( , ) dyP x y dxQ x y ( , )0Q x y （2.1.1） 也可看作以为自变量、为未知函数的方程：yx （这时） ， ( , ) ( , ) dyQ x y dxP x y ( , )0P x y （2.1.2） 如果一阶微分方程能化成： ， （ 2.2 ( ) ( ) dy f xy dx ） 的形式，则称（2.2）式成为变量分离方程变量分离方程，而原方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程，这 里，分别是，的连续函数.(

26、)f x( )yxy 第 3 页 解可分离变量微分方程的方法：解可分离变量微分方程的方法： （1）.首先将可分离变量微分方程改写为（2.2）形式； （2）.后将（2.2）分离变量，即 如果，我们把（2.2）式改写成( )0y ， （2.2.1） ( ) ( ) dy f x dx y 接着对（2.2.1）方程进行两边积分，得到 ， （2.3）( ) ( ) dy f x dxc y 其中 是任意常数.由该式确定变量分离方程的通解，即函数关系式.c( , )yy x c （3）.如果，不适合（2.2.1）式.但如果存在某使得，则直接验( )0y 0 y 0 ()0y 证知也是（2.2）的解.因此

27、，必须找出的解.也就是说，变量分离方 0 yy( )0y 0 y 程的通解（2.3）不包括时，必须补上特解. 0 yy 0 yy 【例 2.1】求解方程 (1)(1)0x ydxy xdy 解解 原方程可化为 ， 1 1 dyyx dxyx 将方程分离变量得 第 4 页 ， 11yx dydx yx 两边分别积分，得到 ， 11yx dydxc yx 解之得 ，lnlnyyxxc 即 ， （ 为任意常数）.容易验证当也是原方程的解.ln0xyxyc c0y 【例 2.2】求解一阶可分离变量的微分方程 2222 (2 )(2 )0xyy dxxyx dy 解解 令，则原方程可化为uxyvxy 或

28、 ，0uvduvduudv(1)0uvduudv 当、时，将方程分离变量，得到uv0 ， 1udv du uv 两边积分，即得 ， （是任意常数） 1 lnlnuuvC 1 C 或 （） ， u u Ce v c Ce 第 5 页 则原方程的通解为 ， ()x y xy Ce xy 此外、 =0 时，即也是该方程的解.uvyx 第 6 页 2.1.22.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型常见的可化为变量分离方程的类型 1345613 解一阶可积微分方程的一般思路是：根据方程的结构特点，利用变量变换的适当 处理方程使之实现未知向已知的转化，将方程转化为变量分离方程，从而获解. （1）若一阶微

29、分方程可以写成 ， （2.4）( ) dyy f dxx 的形式，则这个方程（2.4）称为齐次微分方程齐次微分方程. 解齐次微分方程的方法：解齐次微分方程的方法： 1.在齐次微分方程（2.4）中引入新的变量，就可以化为可分离变量微分方 y u x 程. 2.由于，故 ，于是 ，代入方程（2.4）式，则原方程变 y u x yxu dydu ux dxdx 为( ) du uxf u dx 若；( )0f uu 上式可分离变量，得到 ，再将该方程两边积分，则得到齐次微分方程 ( ) dudx f uux 的（2.4）的通解为 ， ( ) du f uu xCe 若是的一个解，则是齐次微分方程（2

30、.4）的一个特解. 0 u( )0f uu 0 yu x 第 7 页 【例 2.3】求解微分方程 2 dyyy dxxx 解解 这是一个齐次微分方程，以 ，及代入原方程，则原方程变为 y u x dydu xu dxdx ，2 du xuuu dx 即 ， 2duu dxx 讲上式分离变量，即得 ， 1 2 du dx xu 两边积分，得到 ，lnuxc 整理后，得到方程的通解为 ， 2 (ln)yxxc 其中 是任意常数.c 【例 2.4】求解方程 2 1 tan 22 dyyy dxxyx 解解 显然这不是一个齐次微分方程，但方程两边乘以，得到2y 第 8 页 ， 22 2tan dyyy

31、 y dxxx 即 ， 222 tan dyyy dxxx 并令，则原方程可化为 2 zy ，tan dzzz dxxx 显然这是一个以为自变量、为未知函数的齐次微分方程，再令及xz z u x 代入上式，则方程变为 dzdu xu dxdx ， tan du xuuu dx 即 ，tan du xu dx 将上式分离变量，得到 ， tan dudx ux 两边积分，得到 ， 1 ln sinlnuxc 这里是任意常数，整理后，得到 1 c ， 1 sin c ue x 令，得到 1 c ec ，sinucx 第 9 页 于是原方程的通解为 ， 2 arcsinyxcx 此外，若时，则，从而为

32、方程的特解.tan0u 0u 0y （2）形如 ，令 ，即可化为关于，的变量分离() dy axbyc dx uaxbycxu 方程，从而可解.( ) du abu dx 第 10 页 2.22.2 线性微分方程线性微分方程 178 若一阶微分方程可以写成 ， （2.5.1）( )( ) dy P x yQ x dx 的形式，其中，在考虑的区间上是的连续函数.( )P x( )Q xx 若，则称（2.5.1）式为一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程.( )0Q x 若，则（2.5.1）式变为( )0Q x ， （2.5.2）( )0 dy P x y dx 的形式，则称（2.5.2）为

33、一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程，其通解为 ， （2.6） ( )p x dx yCe 其中为任意常数. C 解线性微分方程的方法：解线性微分方程的方法： 由于方程（2.5.2）是方程（2.5.1）的特殊情形，那么两者的通解应该存在一定 的联系，我们试图利用方程（2.5.2）的通解（2.6）的形式去求方程（2.5.1）的通 解.因此我们设想:把式（2.6）中的任意常数变易为的待定函数，使之满足Cx( )C x （2.5.1） ，从而求出.为此，令( )C x ， （ 2.7 ） ( ) ( ) p x dx yC x e 为方程（2.5.1）的解，得到 第 11 页 -( )( )(

34、) ( ) ( ) P x dxP x dxdydC x eC x P x e dxdx (2.8) 以（2.7） 、 （2.8）代入（2.5.1） ，得到 ， -( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) P x dxP x dxP x dxdC x eC x P x eP x C x eQ x dx 即 ， ( )( ) ( ) P x dxdC x Q x e dx 两边分别积分，求得 ， ( ) 1 ( )( ) P x dx C xQ x edxC 这里是任意常数，将上式代入（2.7）式，得到方程（2.5.1）的通解为 1 C （2.8） ( )( ) 1 ( )

35、P x dxP x dx yQ x edxC e 这种将常数变易为待定函数的方法，称之为常数变易法常数变易法.这种方法在以后的解题 中应用比较广泛. 【例 2.5】求解微分方程 sindyyx dxxx 解解 该方程为一阶非齐次线性微分方程，且，代入公式（2.8） ， 1 ( )P x x sin ( ) x Q x x 则 原方程的通解为 第 12 页 ， 11 1 sin () dxdx xx x yedxC e x 即 1 ( cos)yxC x 其中为任意常数.C 【例 2.6】求微分方程 的通解. 2 (6 )20yx dyydx 解解 把方程改写成 ， 2 2 6 dyy dxyx

36、 故在该微分方程中，将看作的函数，显然它关于不是线性微分方程，但若变成yxy ， 2 6 2 dxyx dyy 即 ， （2.9.1）3 2 dxxy dyy 把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（2.9.1）是一阶xyx dx dy 非齐次线性微分方程. 首先，求出齐次线性微分方程 第 13 页 ，3 dxx dyy 的通解为 ， （2.9.2） 3 1 xC y 其中为任意常数.C 其次，利用常数变易法求非齐次微分方程（2.9.1）的通解.把看作，微C( )C y 分（2.9.2） ，得到 ， 34 ( ) 11 .3 ( ) dxdC y C y dydyyy 代入（2.9

37、.1） ，得到 ， 3 34 1 ( ) ( ) 11 .3 ( )3 2 C y dC yyy C y dyyyy 即 ， 4 ( ) 2 dC yy dy 两边积分得到 5 1 ( ) 10 y C yC 从而，原方程的通解为 第 14 页 ， 5 1 3 1 () 10 y xC y 即 ， 2 1 3 1 10 y xC y 这里的是任意常数. 1 C 第 15 页 2.32.3 伯努利微分方程伯努利微分方程 191013 若一阶微分方程可以写成 ， ( )( ) n dy P x yQ x y dx （2.10） 的形式，则称（2.10）为伯努利微分方程伯努利微分方程，这里、为的连续

38、函数，( )P x( )Q xx 是常数.0,1n 解伯努利微分方程的方法：解伯努利微分方程的方法： 利用变量代换的方法将方程（2.10）化为线性微分方程.具体步骤为： 对于，方程（2.10）两边同时乘以得到0y n y ， （2.11） 1 ( )( ) nn dy yyP xQ x dx 引入变量代换 ， （2.12） 1 n zy 再对（2.12）式求导，得到 ， (1) n dzdy n y dxdx （2.13） 将（2.12） 、 （2.13）代入（2.10） ，可将伯努利微分方程（2.10）化为一阶非齐 次线性微分方程，即 第 16 页 ， (1) ( )(1) ( ) dz n

39、 P x zn Q x dx （2.14）可按前面说介绍的解非齐次线性微分方程的方法求出方程（2.14）的通解， 然后代回原来的变量，便得到伯努力方程（2.10）的通解.此外，当时，方程还0n 有解.0y 【例 2.7】求方程的通解. 2 ln dyy yx dxx 解解 这是的伯努利微分方程，令2n ， 1 zy 对上式求导，得到 ， 2 dzdy y dxdx 代入原方程得到 ，ln dzz x dxx 这是非齐次线性微分方程，求得它的通解为 ， 2 (ln ) 2 x zcx 代回原来的变量，得到y ， 2 (ln ) 1 2 x cxy 这就是原方程的通解，此外，方程还有特解.0y 【

40、例 2.8】求方程 的通解. 4dy yxy dxx 第 17 页 解解 这是的伯努利微分方程.令 1 2 n , 1 2 zy 算得 , 1 2 1 2 dzdy y dxdx 代入原来的方程得到 , 2 2 dzx z dxx 这是非齐次线性微分方程,求得它的通解为 , 2 1 ln 2 zxxC 代回原来的变量,得到y , 42 1 ln 2 yxxC 其中是任意常数.这就是原方程的通解.此外,原方程还有特解.C0y 第 18 页 第三章第三章 常系数高次微分方程常系数高次微分方程 3.13.1 一阶常系数高次微分方程一阶常系数高次微分方程 1212141516 众所周知，可积的一阶微分

41、方程的类型是非常的有限，常见的就前面我们介绍的 变量分离方程、齐次微分方程、线性微分方程、伯努利微分方程以及全微分方程等， 他们都是未知函数导数的一些简单的初等解法，但几乎都不设计的高次方程，下yy 面我们详细地讨论了一类一阶常系数的一次齐次微分方程的解法，并将其结果推广到 对同类型的一阶常系数次齐次微分方程的解法探讨.n 若一阶微分方程可以写成 （2.15） 11 011 ()()0 nnnn nn P yP yyPy yP y 的形式，则称方程（2.15）为一阶常系数高次微分方程一阶常系数高次微分方程，其中各项系数， 0 P 1 P ，均为常数. 1n P n P 首先，我们先讨论当时，即

42、一阶常系数的一次齐次微分方程为1n ， （2.16） 01 0P yPy 的求解，然后把方程（2.16）的解法推广到解一阶次微分方程的.其求解过程为n 解解 方程可化为 ， 1 0 Pdy y dxP 第 19 页 将上式分离变量得 ， 1 0 Pdy dx yP 两边积分，得到方程（2.16）的通解为 ， （2.17） 1 0 p x P yCe 其中为任意常数.C 解一阶常系数高次微分方程的方法为解一阶常系数高次微分方程的方法为 由此上面的一阶常系数一次微分方程的通解为（2.17）可见，如果一阶常系数 高次微分方程（2.15）也有解（为待定常数）.将其代入（2.15）可得到代 x ye 数

43、方程为 ， （2.18） 011 1 0 nn nn PPPP 因此，只要我们能求出满足代数方程（2.18）的值，函数就是常系数高次微 x ye 分方程的（2.15）的解，故其通解就是（其中为任意常数）. x yCeC 我们称方程（2.18）为一阶常系数高次微分方程的特征方程一阶常系数高次微分方程的特征方程，它的根成为特征根特征根.现 只须求出特征方程（2.18）的特征根，即可得到常系数高次微分方程的通解. 引理引理 如果函数是微分方程(2.18)的解,则 ( 为任意常数)是方程 1( ) y x 1( ) ycy xc (2.18)的通解. 下面根据特征根的不同情况分别进行讨论： （1） 特

44、征根是单根的情形 第 20 页 设，是特征方程（2.18）的个彼此不相等的根，则相应地方程 1 2 n n （2.15）有如下个解：n ， ，. 1 1 x ye 2 2 x ye nx n ye 可得微分方程（2.15）在实数范围内的个独立的通解：n ， ，.（其中为任意常 1 1 x yCe 2 2 x yCe nx n yCeC 数） （2） 特征根有重根的情形 设特征方程（2.18）有重根，这时只给出微分方程（2.15）的一个通解：n （为任意常数）. x yCeC 现以一阶二次方程为例用常数变易罚证明方程（2.15）在重根下只有一个通解. 设方程还有解为，则有.代入一阶二次方程( )

45、 x yC x e( )( ) x yC xC xe ， 22 012 P yPy yP y 则有 ， 22 012 ( )( ) ( )( ) ( )( )0P C xC xP C xC xC xPCx . 222 001012 ( )( ) ( )2( )0PCxC x C xPPCx PPP 由于是特征方程（2.18）的二重根，故有 ， 2 012 01 0 2+ =0 PPP PP 第 21 页 于是，所以（常数） ，即方程（2.15）在重根的情况下只有一个通解( )=0C x ( )=C xC . x ye （3） 特征方程有复根的情形 因为微分方程的系数是实常数，复根将成对共轭地出现.设共轭复根为 时，方程（2.15）在实数范围内通解中不含复数解，但在范围内通解中含有i 两个共轭复数解： ， ， 1 (cossin) x yexix 2 (cossin) x yexix 故微分方程（2.15）在复数范围内有两个独立的通解： ， （为任意常数） 1 (cossin) x yCexix 2 (cossin) x yCexix C . 【例 2.9】求一阶二次微分方程的通解. 22 320yy yy 解解 特征方