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1、介值定理与区间法解不等式摘要：区间法提供了解不等式的一种统一的方法，有广泛的适用范围。其特点在于：一方面，将“解不等式”转化为“解方程”，获得不等式保持“真”或“假”的若干小区间；另一方面，将不等式解集的探求归结为不等式在各小区间内真假性的验证，而这又可通过特殊值法来实现。这样，可以避免由于不等式等价变形的复杂性所引起的繁琐的讨论。因此，区间法比传统的方法要简洁方便得多。关键词：解不等式;介值定理在初等代数中，常用列表法解一元高次不等式，由于这一方法是以多项式理论为基础的，所以有很大的局限性，本文将以连续函数的介值定理为依据，阐明区间法解不等式的一般原理，从而将区间法推广到解更广的一类不等式（
2、基本上可包括初等代数中的全部不等式），并且对解法做进一步的改善与简化.先回顾一下介值定理，它的证明可在数学分析教材中找到.介值定理 设函数在某一区间内定义且连续，如果在这区间内的两点及处有不相等的函数值，那么对于与间的任意实数C，必定存在实数，使.特别地，若与异号，则必存在使.因此，如果连续函数在某一区间内没有根，那么对于该区间内的每一值，函数的值保持同样的正负号.于是有下列推论，它为区间法解不等式提供了理论依据.推论 设函数在某一区间（为便于叙述，不妨设。若、或等均与此类似）内连续.(1)若方程在内没有根，则函数的值在内保持相同的正负号；(2)若方程在内的全部不同的根是，则这个根将分成个小区
3、间： (1)在每一个这样的小区间内，函数的值保持相同的正负号.这个推论告诉我们，对于(1)中每一个小区间内的一切值，不等式（或）要么恒真，要么恒假.因此，只要逐一考虑各个小区间内的正负号，即判定不等式（或）的真假性，就可得到不等式（或）在区间内的全部解.正因为在每一个小区间内的值保持相同的正负号，所以我们可以用特殊值法来判定各个小区间内的正负号：只要在该小区间内任取某一特殊点，考察（计算或估计）函数在该点处的值的正负号就可以了.对于一般形式的不等式： ( 或 ) (2)其中函数与在区间内定义且连续.不等式(2)等价于不等式： ( 或 ) (3)将推论应用与不等式(3)，相应地便可得出关于不等式
4、(2)的类似的结论，从而可以用区间法直接解形如(2)的不等式.其一般步骤是：1 求出不等式(2)的定义域（即函数与的定义域的交集）；2 写出对应的方程： = (4)并解此方程；3 将方程(4)的全部不同的根由小到大排列，把定义域分成若干个小区间.在每个这样的小区间内，不等式(2) 要么恒真，要么恒假.4 在每一小区间内分别取某一特定值，考察与的对应值的大小，判定不等式(2)在该区间内的真假性；5 写出所有使不等式(2)为真的那些小区间，它们的并集就是不等式(2)的解集.例1 解不等式.解 原不等式的定义域是.考察方程，解之，得，它们将定义域分成三个小区间：.在内，取，左边，原不等式为真；在内，
5、取，左边，原不等式为假；在内，取，左边，原不等式为假.故原不等式的解集为：.说明：本例要解的是无理不等式，通常要进行“两边平方”的变形，但这只是在一定条件下才是等价变形，所以必须就的不同取值范围进行讨论，往往是比较冗繁的.例2 解不等式.解 原不等式的定义域是.考察方程，它等价于=，解之，得，它们将定义域分成五个小区间： ，.在这五个小区间内分别取特殊点，经过计算可以判定在区间与内原不等式为真，而在其余三个区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.说明：本例要解的是含绝对值的不等式，通常的解法有二：一是分别不同情况化去绝对值符号，但讨论起来颇为复杂；二是将不等式两边平方（这里是等价变形），但
6、得到的是一个四次不等式，最终还要归结为列表法（区间法）解，具体演算也比直接用区间法繁.例3 解不等式.解 不等式的定义域是，在这三个区间的每一个内，不等式两边的函数都是连续的.对应的方程为，解之得，它将区间分为两个小区间：与.而在区间与内，此方程无根，所以在这四个小区间：，内，不等式分别保持相同的真假性.在这四个小区间内，依次分别取特殊值，不难断定，在第二、四两个区间内原不等式为真，而在第一、三两个区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.说明：本例要解的是分式不等式，它的定义域一般是若干个区间（去掉使不等式两边分母为零的点），不等式两边的分式函数虽然在整个定义域上并不连续，但在定义域的各个
7、区间上分别是连续的，上述解法实质上是在这些区间上分别运用介值定理的推论.与此类似的一些不等式（如例4）可用同样的原理与方法解之.例4 解不等式.解 不等式的定义域是.考察方程，它的解是，将区间分成两个小区间：，而在区间内，此方程无根，所以在这三个小区间内原不等式分别保持相同的真假性.在区间，内分别取特殊值，不难验证：在区间与内原不等式为真，而在区间内原不等式为假.所以原不等式的解集为：.例5 解不等式.解 这是一个三角不等式，定义域为.由于函数和有公共周期，我们先求不等式在一个周期内的解集.考察方程，它在内的解是， ，它们将分为六个小区间：，.在这每一个小区间上分别取特殊值，经验证不难断定：在
8、第一、三、五三个区间内不等式为真，而在其余三个区间内不等式为假.所以原不等式在上的解集是，从而原不等式的解集为.参考文献:1曹才翰,沈伯英.初等代数教程.北京师范大学出版社,1986.2唐复苏.中学数学现代基础.北京师范大学出版社,1988.3江苏师范学院数学系.国际数学奥林匹克(1-20)届.江苏科学技术出版,1980.Work out inequality with intermediate value theorem and interval methodAbstract:Zone method offering understanding not equation of a kind
9、of united of method, there is extensive suitable for use scope.On the other hand, will solution not equation conversion is solve the square distance, acquire not equation keep some small zones between true or false;On the other hand, wont the equation solution gather of investigate to return knot as
10、 not equation is in each small zone the verification of the true or false, but this can pass the special and worth method to realize again.Like this, can avoid because of not the complexity a tedious discussion for causing that equation etc. price transform.Therefore, the zone method compares the traditional method wants convenient to get many.Key word:Solution not equation; lie the worth axioms;5