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1、毕业论文例谈幂级数的应用DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘 要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数，由于其本身具有很多便于运算的性质，因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。利用幂级数的分析性质，通常可以使形式进行转化，使复杂问题得以化简。本文通过归纳和举例，从幂级数的定义出发，对幂级数的重要性质进行总结性证明，举例分析幂级数在各种计算中的应用，包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式，结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。本文还举例介绍了如何应用复数范围内的双边幂级数求解复积分和某些实积分。
2、进一步地，本文对于代数学中的形式幂级数进行了初步说明。关键词：幂级数； 函数； 应用 ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis propertiesof power series, m
3、any problems usuallycan be transformedtheirform such that thecomplexproblem can besimplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with power series are illust
4、rated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to compute complex integr
5、ation and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra. Key word：Power Series; function; application目 录1 前言31.1 背景和意义31.2 本文研究的主要内容32 幂级数相关的基本知识32.1 幂级数的定义32.2 幂级数相关定理及推论32.3 留数的基础知
6、识33 幂级数在近似计算与级数求和中的应用33.1 计算常数e的问题33.2 幂级数在计算级数和中的应用34 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用34.1 幂级数在求极限中的应用34.2 幂级数在求导中的应用34.3 幂级数在积分运算中的应用35 幂级数在求解微分方程中的应用35.1 求解常微分方程35.2 求解偏微分方程35.3 实际问题中的微分方程的解36 幂级数在证明不等式中的应用37 代数学中的形式幂级数37.1 斜幂指数诣Armendariz环37.2 多项式环3结论3参考文献3致谢3天津科技大学2014届本科生毕业论文1 前言1.1 背景和意义说到幂级数的来历，肯定要提到最基础的
7、级数的来源。亚里士多德早在公元前4世纪就知道公比小于1的几何级数有和，而级数的发展可以追溯到几千年前的中国，在当时生产力不发达的南北朝时代，伟大的数学家，天文学家，科学家祖冲之就发现了圆周率的计算方法，并且运用计算圆面积中，在这其中与魏晋时期数学家刘徽在求解圆面积中应用到的割圆法异曲同工，这种算法已经形成了级数的初步思想和方法。与此同时的外国学者也纷纷对级数有了初步的认知，古希腊哲学家芝诺，在对二分法的研究上把1表达成为了的这种无穷级数的形式，而中国伟大的思想家、哲学家、文学家庄子提出了“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的辩证理论，这其中也隐约包含着极限的思想，与芝诺的理论如出一辙。随着时间的发
8、展，级数也在发展和进步。到了14世纪，印度的马德哈瓦首先发展了幂级数的概念，把芝诺提出的理论进一步展开，完善了无穷级数的概念，并且研究了无穷级数、泰勒级数，麦克劳林级数的有理逼近，发现了正弦、余弦等函数的泰勒展开。17世纪到18世纪，牛顿和莱布尼兹都在级数的研究中得到了相同的结果，后来这个结论被称为牛顿莱布尼兹公式。同一时代，詹姆斯格里高开始研究无穷级数，他公开了一些函数的麦克劳林展开；布鲁克泰勒对一般解析函数的泰勒展开进行了研究并给出了结论。欧拉发展了几何级数和q级数理论。直到19世纪，柯西利用极限理论对无穷级数的一般性推广建立了完善理论，级数理论在此之后逐渐的完善至今。到了现代，幂级数的研
9、究也没有止步不前，由于幂级数的性质已经日益完善，所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性质对其他数学领域进行研究，比如在对幂级数环的研究，对非线性椭圆方程型方程的边值问题的研究，对循环码等重要的码的研究，它们都应用到了幂级数的性质或者函数的幂级数展开，通过了对幂级数性质的扩展利用，不仅是数学中，在物理，土木工程等跨学科领域中也广泛发展。就幂级数来看，它是一类形式简单而应用广泛的函数项级数，基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数。幂级数有许多方便的运算性质，在函数运算等方面是一个很有力的工具。将函数展开称为幂级数形式，利用幂级数和函数的分析性质等，常常能解决许多疑难问
10、题，并且幂级数也可以应用到工程力学中，用幂级数表示力学方程的解。由于幂级数的基础性和实用性，在数学分析和高等数学中都进行初步的学习。本文对幂级数的重要性质进行了归纳，给出幂级数在数学和物理中的若干应用，并结合例题阐述幂级数在各方面应用中具体的技巧和方法。虽然关于幂级数的文章，期刊不胜枚举，但是其中多为简单，分散的内容，不能全面立体的介绍幂级数的应用，本文写作的意义就是要对其他的学者的期刊、著作进行分析，利用现有的知识和理论对例子进行归纳，并分析总结例子中应用到的性质和技巧，尽量把将幂级数的应用系统的展现出来。1.2 本文研究的主要内容本文共分为八个部分，第一部分前言讲解幂级数的来源和研究意义，
11、说明幂级数的前世今生及写本文的缘由。第二部分将对幂级数相关的基本性质进行介绍和证明，第三部分至第六部分将举出实例讲解幂级数在近似计算；求极限，求导，积分运算问题；求解微分方程；证明一些不等式等数学问题，并对每个例子进行分析和总结，并提出一个跨学科问题对幂级数的应用，说明幂级数的应用的广泛性和实用性。第七部分讲解了幂级数在当今时代中的发展应用，举出了两篇近期的期刊中提出的理论，了解现在幂级数的发展现状，第八部分对整篇文章进行总结，总结这篇文章的内容，阐述写作的意义。2 幂级数相关的基本知识2.1 幂级数的定义在函数级数中有一类结构简单，应用广泛的特殊的函数项级数 (2-1)称为幂级数，其中都是常
12、数，称为幂级数的系数，若，则可将上述幂级数转化为最简形式的幂级数 (2-2)2.2 幂级数相关定理及推论2.2.1 幂级数的收敛域对于幂级数 在0都收敛，幂级数(2-2)的收敛有以下定理：定理2.1 若幂级数(2-2)在收敛，则x满足，反之，若幂级数(2-2)在发散，则x满足。证明：设级数收敛，则，可知存在对于任意的都有数列，设对于任意的x满足，则有，因为级数收敛，所以幂级数(2-2)在时绝对收敛：反过来，看后半部分，我们设幂级数(2-2)在时发散，若存在满足，使得级数收敛，定理第一部分中时，幂级数(2-2)收敛，与假设相矛盾，所以幂级数(2-2)对于任意的x满足都发散。定理2.2 对于幂级数
13、(2-2)，即，若（或），则幂级数(2-2)的收敛半径为证明：根据柯西判别法可知对于正项级数可得知，1），当时，幂级数(2-2)绝对收敛：当，幂级数(2-2)发散，故收敛半径。2），对于任意的都有，即对于任意幂级数(2-2)都收敛，所以收敛半径。3），对于任意的且都有，即对于任意，幂级数(2-2)发散，故收敛半径。2.2.2 幂级数和函数设幂级数(2-2)，即的收敛半径,幂级数(2-2)在收敛区间确定了一个和函数，即. (2-3)定理2.3 若幂级数(2-2)的收敛半径，则幂级数(2-2)在任意闭区间都一致收敛。证明：令对于任意的，即，有，因为级数，根据M判别法，幂级数(2-2)在闭区间内一致
14、收敛。定理2.4 若幂级数与的收敛半径分别是正数与，则。证明：首先要证明，令任意的满足，存在满足，已知级数收敛，对于任意的，都有。已知极限，可知数列有界，即存在这样的和任意的，使得，然后可得，根据比较判别法，级数绝对收敛，故。然后我们需要证明，对于任意的满足，存在满足，已知级数收敛，对于任意的都有，已知极限，可知有界，即存在这样的和任意的使得，所以可得，然后根据比较判别法，级数绝对收敛，所以，根据两个证明综合可得。推论2.4： 若幂级数与的收敛半径分别是与，则。定理2.5 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在区间连续。证明： 设任意且存在，满足，已知幂级数内闭一致收敛，根据幂级数的一致收敛和连续
15、性的性质定理判断可得在x上连续，继而可知，和函数在区间上连续。定理2.6若幂级数的收敛半径，则对于任意，它的和函数由0到x可积，且可逐项积分，即 (2-4)证明：设存在任意的且，满足，已知幂级数内闭一致收敛，由逐项积分定理可知，和函数在上可积，且可以逐项积分，故。定理2.7 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在区间可导，且可逐项积分，即对于任意，有 (2-5)证明：由定理4可知幂级数的收敛半径是r，令存在任意的且，满足，已知幂级数内关一致收敛，根据逐项微分定理，和函数在区间上可导，且可以逐项微分，即对于任意的，都有推论2.7 若幂级数的收敛半径，则它的和函数在区间存在任意阶导数，且对于任意，任意
16、，有， (2-6)此幂级数的收敛半径也是r。定理2.8 若幂级数的收敛半径是，并且在收敛（或在收敛），则这个幂级数在闭区间（或者在闭区间）上一致收敛，因而和函数在左连续（或者在右连续）。证明：因为，对于任意的，函数列单调递减，且一致有界，且级数收敛，根据阿贝尔判别法，幂级数在一致收敛，其和函数在r左连续，在-r右连续。由定理2.1-2.8可以看到，幂级数（收敛半径）具有的性质如下：1. 收敛域是以原点为中心的区间。2. 在区间内闭一致收敛。3. 和函数在区间内连续。4. 和函数在任意闭区间可积，且可逐项积分，特别地，对于任意，由0到x可逐项积分，逐项积分得到的幂级数收敛半径也是r。5. 和函数
17、在区间存在任意阶导函数，且可逐项积分得到的幂级数收敛半径也是r。6. 若幂级数在在收敛半径处（或）收敛，则其和函数在左连续（或在右连续）。2.2.3 幂级数的展开定理2.9 若函数在区间能展成幂级数，即对于任意都有， (2-7)则函数在区间存在任意阶导数，且证明：根据定理7的推论，函数在区间存在任意阶导数，且令，即。推论2.9 若函数在区间能展开幂级数，则期幂级数展开式是唯一的，即若对于任意，有与，则.证明：根据定理9，可知，有，。由此，我们可以引出另外的重要级数：泰勒级数和麦克劳林级数。泰勒级数：.麦克劳林级数：.定理2.10 若函数在区间存在任意阶导数，且存在，对于任意，任意的，有，则，
18、(2-8)证明：根据泰勒公式，对于任意的，都有，即定理2.11 若函数在区间存在任意阶导数，且对于任意的，泰勒公式的余项，则对于任意的都有 (2-9)证明：根据拉格朗日余项的泰勒公式，有因为，有，根据定理10，可以得知(2-9)式子成立。常见初等函数的幂级数展开：1.2. 3. 4. 5. 6. 2.3 留数的基础知识留数定理是柯西积分理论在复数上的发展，它是计算复变函数中沿闭合曲线积分的重要工具，所以利用留数定理求解幂级数的积分是在复数中的应用和展开。2.3.1双边幂级数与孤立奇点处的洛朗展开定义： (2-10)称为双边幂级数，其中为复常数为(2-10)的系数。定理2.12 双边幂级数(2-
19、10)的收敛圆环为，那么1） 双边幂级数(2-10)内绝对收敛且内闭一致收敛于；2） 在H内解析；3）定理2.13 (洛朗定理）在圆环内解析函数一定可以展开称为双边幂级数，其中，为圆周并且展开式是唯一的。 2.3.2奇点的定义和性质已知函数在处不解析，但在的某个去心邻域里处处解析，那么则可以把称为函数的孤立奇点。其中，如果在的洛朗展开式中没有负幂项，就把称为的可去奇点。如果在的洛朗展开式中只有有限多个负幂项，那么可以设，则把称为的m级极点，其一级极点也叫做简单极点。如果在的洛朗展开式中有无穷多个负幂想，就把称为的本性奇点。定理2.14 若是函数的孤立奇点，那么下面三个条件式等价的：1. 是的可
20、去奇点，即在的洛朗级数展开式没有负幂项；2. ；3. 在的某去心邻域内有界。定理2.15若是函数的孤立奇点，那么下面三个条件式等价的：1. 是的m级极点，即在点处的洛朗展开式中的主要部分为，；2. 在的某去心邻域内能表示成，其中在的某邻域内解析，且；3. 是的m级零点。推论2.15 的孤立奇点为极点的充分必要条件是定理2.16 是的本性奇点的充分必要条件是不存在有限或着无限的极限。2.3.3 留数的定义和性质定义：已知有限点是的孤立奇点，在圆环域内解析，则称积分为在点的留数，记作，其中C是圆环域内将包含在其内部的任一正向闭合曲线。定理2.17 已知函数在正向闭曲线C上解析，在C内除了有限个孤立
21、奇点外处处解析，则，这就是留数定理。定理2.18 函数在有限孤立奇点处的留数等于在处的洛朗展开式的负一次幂的系数，即。定理2.19已知有限点是的m级极点，则，其中当时，。推理2.19 已知函数，且和在处都解析，其中，则。3 幂级数在近似计算与级数求和中的应用3.1 计算常数e的问题常数e是非常重要的无理数，它不仅仅在数学中能涉及到，在自然科学中也能见到，比如向日葵花子的排列、鹦鹉螺的花纹呈现的螺线方程，这些方程都需要用到e，而它最早出现的地方却是计算利息有关。根据复利计算的规则，如果把利息计算的周期无限的缩小，本利和也不会无限增加，它的值会趋近一个极限值，这个值便与e相关。e的定义是这样的，当
22、n趋于无穷时，的极限，即，所以在求解e的近似值运用幂级数的级数展开形式可以求解一些无理数或者积分运算的近似值，将原函数展开成为级数形式，取有限的项数，在误差范围内得出相对精准的结果。例3.1.1 证明常数e是无理数，并且求出e的近似值。若利用反证法来解决这个问题，那么可以假设e是有理数（），因为e是自然对数的底数，那么用麦克劳林级数表示函数。当时，上式就可以表示为。这就是常数e的级数展开式，用来表示e的项和为如果用来表示误差，那么所以那么可以设，由可以推导出，可以看出为区间的小数，此外是正整数，与此前的结论矛盾，故e是无理数。因为所以。同理也可以对超越数应用常见函数幂级数展开中的1来进行计算近
23、似值，所以在解此类问题中时需要考虑是否可以将函数可以写成幂级数形式，将不便于运算的函数变成能进行计算且有规律的函数形式，然后再一步一步求解。3.2 幂级数在计算级数和中的应用根据定理2.7的推论可知，对幂级数的每一项分别求导或者求和得出的新的幂级数的收敛半径是是不变的，那么利用这个性质，应用到级数求和中，可以使计算更加简洁，方便。例3.2.1 已知级数，求级数的和。解：设，其中。由逐项积分的性质可对求导：可得因此根据幂级数的逐项积分性质可得：所以，因此可以得到当时，4 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用4.1 幂级数在求极限中的应用求极限的方法很多：等价无穷小的代换；洛必达（LHospit
24、al）法则；泰勒公式，对特定类型的幂指函数取对数；多项式相除；数列极限中利用等差、等比、拆分求解；利用重要极限；换元法；利用定积分求数列极限等常见方法，但每种方法都有一定的局限性。下面将举出两个例子来分析幂级数在求极限中的应用。例4.1.1 已知，求。解：因为所以可以表示为又因为所以所以。例4.1.2 求 解：因为所以极限所以。在利用幂级数求解极限的问题中，一般都是无穷多项的函数或者数列的求和形式，而根据幂级数的定义，可以看出幂级数的定义本身就是无穷多项求和的极限，因此，此种形式求极限应率先考虑将极限转化为无穷级数求和的问题。4.2 幂级数在求导中的应用用幂级数可以表示一些基本初等函数，利用这
25、个性质，我们往往可以解决某些函数方面的问题，利用幂级数的级数展开形式能够把复杂的函数表达的简单、清晰。所以在下面的例子中，将在函数的求导中利用到函数的幂级数的展开。例4.2.1求的n阶导数解：将因式分解可得到，进而分解为所以从而故，的n阶导数因为一般的函数求导都可以遵循求导的基本公式，而对于这种函数形式的求导，公式就显得有些乏力，把函数因式分解等运算，将其中的初等函数写成幂级数的形式，就可以对不能直接求导的函数求导了。4.3 幂级数在积分运算中的应用幂级数在收敛域上绝对收敛，并且在收敛区间上可以逐项求导，逐项积分的，同样，还可以交换求和顺序等特殊的性质，我们便可以利用这些性质，在计算积分中将函
26、数展开为收敛的幂级数，利用逐项积分来计算积分的值或证明式子之间的等价关系。例4.3.1 证明：证：因为，所以其中假如要是把实数范围内的积分运算扩展到复数中，那么积分运算就需要运用到留数定理，就变成了对封闭曲线上的积分运算。例4.3.2 计算积分，C为正向圆周：解：根据和的泰勒展开式可以看出其中在处解析，且，将在处展开成泰勒级数，可以得到，从而，由留数定理可得。例4.3.3 计算解：当时，；当时，当时，内，有且仅有为一级极点，在上无奇点，所以根据留数定理当时，内，有且仅有为一级极点，在上无奇点，所以可得利用留数定理计算实积分的方法就是把实积分转化为复变函数沿围线的积分，再把积分利用留数定理进行计
27、算，这种方法适用于某些原函数不适合直接求出的积分运算。5 幂级数在求解微分方程中的应用微分方程一般情况下都不能用初等积分方法求解，一般情况下都是用幂级数的形式来表达微分方程的解。它不仅能应用到数学方面，还能应用到土木工程等方面,下面将举出三个例子分别说明幂级数在求解微分方程的解中的应用。5.1 求解常微分方程例5.1.1 求的解求解微分方程其实就是将微分方程进行转换，使其变成代数方程，更加容易。解：设方程的解为则将代入原方程的通解为，（，是任意常数）5.2 求解偏微分方程这一部分引用了莫嘉琪的近期论文一类非线性椭圆型方程非局部ROBIN边值问题，这篇文章研究了一类非线性非局部椭圆型方程奇摄动
28、Robin 边值问题. 在适当的条件下, 首先建立了相应问题的比较定理。其次求出了原问题的外部解。然后利用伸长变量、合成展开法和幂级数展开理论构造出解的边界层项，并由此得到解的形式渐近展开式。最后利用微分不等式理论，讨论了问题解的渐近性态，研究了原问题解的存在性和解的一致有效的渐近估计式13。现在考虑下面的非线性非局部奇摄动Robin边值问题： (5-1) (5-2)其中而是一个小的正参数，L是一个均匀的椭圆算子，在中指的是一个有界的凸面区域，在类中是的光滑边界，（是埃尔德指数）并且是的外导数。问题(5-1)，(5-2)是Robin边值问题的椭圆方程。本文涉及一类非线性非局部奇摄动问题。对相应
29、的问题构造了比较定理和解决方案的渐近展开，并讨论其渐近行为。定义: 一对函数和在上分别被称为(5-1)和(5-2)的上下解，如果在中对于每一个u都有且 (5-3) (5-4)定理5.1 根据-可知u和是问题(5-1)，(5-2)的一对上下解，由(5-3)和(5-4)可知数列和都是单调的，其中且 (5-5)定理5.2 根据假说-，对于非线性非局部的椭圆方程(5-1)和(5-2)存在奇异摄动解，且这个解在中与式子保持一致有效的渐进展开。这篇期刊在阐述第三类边值问题ROBIN边值问题的方程组的解，在这其中偏微分方程的解也是利用幂级数的展开，把复杂函数转化为简单函数，然后就能求得偏微分方程的解。5.3
30、 实际问题中的微分方程的解在论文倾斜荷载下基桩C法的幂级数解中介绍到，基于C法的假设基础上，从弹性桩的基本微分方程考虑出发，根据工程的实际条件和情况，对某工程实例应用幂级数解进行计算并分析，由结果可以得知，基于C法的幂级数解所推断的结果与实际工程相吻合，并且较原来的m法误差可以降低10%左右。下面给出基于c法建立的微分方程：弹性桩的典型基桩微元受力分析如1图所示： 图5.3.1 桩体单元受力分析示意图其中C为地基比例系数；z为微元截面至土层顶面的距离；为桩的计算宽度；x为水平位移；M，Q和q分别为地面以下z处桩身弯矩、剪力和侧桩分布荷载。现在可知基于C法的基桩受力分析基本微分方程为： (5-6
31、)其中C为地基比例系数，z为微元截面至土层顶面的距离，为桩的计算宽度，其中；单位均为。那么对于微分方程的幂级数解答如下，设桩身水平位移x为计算截面至土层顶面距离z的幂级数函数为 （为待定系数） (5-7)将(5-7)代入(5-6)中进行比较系数可得通式： (5-8)其中且i为整数由此可知幂级数中各系数均可由系数确定，且可知每一项系数中所含的指数为，故可以把所有提出来归于z，故有： (5-9)其中(5-10)因此可得： (5-11)且由处的边界条件有： (5-12)将边界条件式(5-12)代入(5-11)中可得： (5-13)6 幂级数在证明不等式中的应用因为一些初等函数用幂级数的形式展开，所以
32、，在一些不等式中出现了这类初等函数，就可以考虑将其展开为幂级数形式，利用幂级数的性质来比较不等式的大小关系。例6.1 当时，证明。由一般的初等函数的幂级数展开可以知道所以可以推导出，其中所以可得因为，所以得证。7 代数学中的形式幂级数迄今为止，幂级数的研究也没有停滞不前，由于幂级数的性质已经日益完善，所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性质对其他数学领域进行研究，这一部分主要讲的是幂级数在代数中的衍生应用。引用了唐万儒、普昭年所写的斜幂指数诣Armendariz环一文。对于一个自同态环，这里引入幂级数诣Armendariz环的概念并对其的泛化。不仅给出泛化后的大量
33、性质，而且对其的展开也进行了研究,推广了nil-Armendariz环和幂级数诣Armendariz环的相应结果12。7.1 斜幂指数诣Armendariz环定义：设是环R的自同态,R为幂级数诣Armendariz环，如果当，满足，然后对于任意的i和j都有命题7.1.1 设R是幂级数诣Armendariz环。对于，则具有以下性质：(1)如果，然后对任意正整数n都有(2)如果对于一些正整数有，则(3)如果对于一些正整数有，则引理7.1.2 设R是一个环。那么有如下结论：(1)每个幂级数诣Armendariz环都是半交换的。(2)如果R是一个幂级数诣Armendariz环，那么是单射的且对于任何都
34、有(3)设R是一个幂级数诣Armendariz环，其中，如果，则对于某些正整数n都有(4)设R是一个幂级数诣Armendariz环，其中，如果对于某些正整数n都有，则引理7.1.3 R是一个环，是R的自同态。如果满足以下条件，对于任意的都有，并且是R的理想情况，则R是幂级数诣零Armendariz。定理7.1.4 如果R是一个幂级数诣环，则R是幂级数诣。引理7.1.5 让R是一个幂级数诣环且，如果在的条件下，则，其中中的系数i对应着引理7.1.6 设R是一个幂级数诣环。(1)如果，则对于任何都有(2)如果，则(3)如果，则命题7.2 如果R是一个幂级数环，则是R的一种理想情况。由命题7.1.1
35、，引理7.1.3和命题7.1.6，我们可以很容易得到下面的结果定理7.2.1 设是环R的一个自同态。然后如果当且仅当是R的理想情况则R是幂级数诣，并且对于任何都有适用于命题 设是环R的一个自同态并且I是R的一个理想情况且I满足。如果并且是幂级数诣，然后R是幂级数诣。定理7.2.2 设是一个环R的自同态。然后再下列条件下是的等价的。(1)R是幂级数诣(2)是幂级数诣(3)是幂级数诣(4)是幂级数诣7.2 多项式环设R是一个环，已知如果无论何时，R都是半交换的，则对于任何都有命题7.2.1 幂级数诣环都是半交换的引理7.2.2 设R是一个幂级数诣环，则定理7.2.3 设R是幂级数诣环，满足，则是零
36、半交换的。定理7.2.4设满足条件的R是一个幂级数诣环。如果对于某些正整数t都有则是一个幂级数诣环。就当前的幂级数研究方向来看，对幂级数本身的研究已经非常透彻了，现今学者都是利用幂级数的性质，对数学或者其他领域进行扩展研究，因为幂级数简单、多样的性质，导致在很多领域中均能利用得到，随着时间的推移，幂级数还能再更多的领域中发挥更好的作用。8 结论本文主要是举例对幂级数的应用进行讨论和说明，由于现今幂级数的应用这一课题已经成了一个体系，并且有很多的学者都对此有着深入的研究，所以此文难免有些内容与前人的研究有些重复，望各位专家、教授、老师、同学理解。文章首先介绍了幂级数的起源和研究意义，然后对幂级数
37、的定义和性质进行介绍和证明。正文部分对幂级数的应用予以归类举例，分别对近似计算、级数求和；求极限、求导、积分运算；求解微分方程；证明不等式等几个方面举例，并在例子前后对例子需要的性质和方法进行说明。最后再引用最近的期刊阐述幂级数在其他领域的近期发展情况。总之，幂级数的应用是多元化的，文章尽可能完整地总结了幂级数在数学各分支以及其他学科中的应用并分析介绍了其发展现状，这样对于理解幂级数的性质并加以应用拓展具有很重要的意义。所以将一部分常见实用的幂级数的应用列举出来，分别归类，予以总结。这样能更好的理解幂级数的性质和应用，这才是这篇文章的初衷。29参考文献1张淑辉,幂级数的应用J. 太原教育学院学
38、报2005.第23卷，94-95.2朱明星，幂级数的应用J. 中国科技信息2011年第10 期，60-61.3袁炜，贺欣,幂级数在函数方面的应用J. 郑州铁路职业技术学院学报2012年6月24卷第二期.,25-27.4华东师范大学数学系数学分析M北京:高等教育出版社，199065XIE Yong-qin, ZHONG Cheng-kui. Asymptotic behaVior of a class of nonlinear evolution equationJ. Journal of Nonlinear analysis. 200971,509- 510.6SUN Chun-you., Z
39、HONG Cheng-kui, Global attractors for the wave equation with nonlinear dampingJ. Journal of Differential Equation，2006.227，427- 443.7Temam R. Infinite dimensional dynamical systems in Mechanics and PhysicsM. Springer- Verlag , New York:1997.8裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京:高等教育出版社，19839 Cirloaje V.Problem2972.C
40、rux MathematicorumJ.2004.06:372.10苏化明；潘杰，不等式证明的幂级数方法J.高等数学研究，2011.14(03):39-41.11赵明华；徐卓君；马缤辉；宁夏元. 倾斜荷载下基桩法的幂级数解J.2012.39(3):1-5.12ZHANG Wan-ru; PU Zhao-nian. On Skew Power-serieswise nil-Armendariz RingsJ.2013.28 (3): 383389.13MO Jia-qi. A Class of Nonlocal Robin Boundary Value Problems of Nonlinear
41、 Elliptic EquationJ.2012.9(5) :1001- 2443.14DE Jager, E. M and Jiang Furu. T he theory of singular perturbationM. Amsterdam: North-Holland Publishing Co.1996.15陈家声，常微分方程的幂级数解法J.玉溪师专学报，1989.11(4):53-57.致 谢本人的学位论文是在我的导师乔岚老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，乔老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向乔老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!谢谢你们！