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1、 本本科科毕毕业业论论文文（设设计计） 题题 目：目： 关于线性变换的可对角化问题关于线性变换的可对角化问题 学学 生：生： 学号学号: : 学学 院：院： 专业专业: : 入学时间：入学时间： 年年 月月 日日 指导教师：指导教师： 职称职称: : 完成日期：完成日期： 年年 月月 日日 诚 信 承 诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文关于线性变换的可对角 化问题均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观 点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）：承诺人（签名）： 年年 月月 日日 关于线性变换的可对角化问题关于线性变换的可对角化问题 摘摘 要要：线性变换可对
2、角化问题是高等代数的重要内容.我们可 以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本 文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在 高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题. 关键词关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式； 矩阵可对角化；实对称矩阵 DiagonolizationDiagonolization ofof linearlinear transformationtransformation Abstract:Abstract: The diagonolization of linear transformation, which
3、 can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly se
4、veral kinds of special diagonolization problems. KeyKey words:words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices 目目 录录 1 1 引言引言. . 1 1 2 2 可对角化的概念可对角化的概念. . .1.1 3 3 判定方法判定方法. . .1.1 4 4 两个矩阵同时合同对角化两个矩阵同时合同对角
5、化. . .4.4 5 5 几类特别的可对角化矩阵几类特别的可对角化矩阵. . .6.6 6 6 应用应用. . 6 6 6.16.1 矩阵相似的判断矩阵相似的判断. . 66 6.26.2 方阵高次幂方阵高次幂. . 77 6.36.3 化实对称矩阵为对角形矩阵化实对称矩阵为对角形矩阵. . 77 6.46.4 求特征值求特征值. . 88 6.56.5 经典例题经典例题. . 88 7 7 小结小结. . 99 参考文献参考文献. . .10.10 1 1 引言引言 我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那 我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?
6、它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题. 2 2 可对角化的概念可对角化的概念 定义定义8 8 设 是 维线性空间 的一个线性变换, 为 在某一nVA 组基下的矩阵且与矩阵相似，其中矩阵是对角形矩阵，则称ABB 可对角化,也称线性变换 可对角化.我们把叫做的相似对角形ABA 矩阵. 3 3 判定方法判定方法 3.13.1 定理定理 1 18 8 设 维线性空间内有一个线性变换，且为它在某nA 一组基下的矩阵，要是为对角形矩阵，那么 可对角化.A 例例 1 1 设在三维线性空间内有一个线性变换 ，是 400 030 003 1 A 在基下的矩阵，由于为对角形矩阵，可知 可对角化. 321
7、, 1 A 3.23.2 定理定理 2 21 1 设 是 维线性空间内的一个线性变换，且 有 个 nn 线性无关的特征向量，则 可对角化. 证明 “必要性” 假设 可对角化，令 .),( 21n ),( 21n m 2 1 即 ，；特征值为，则 是 iii )(ni, 2 , 1 n 21,n , 21 的特征向量,由已学知识可知是不相关的. n , 21 “充分性” 设有 个不相关的向量，并且它们都是n n , 21 的特征向量，设 ，其中； 将作为 iii )(ni, 2 , 1 n , 21 线性空间中的一组基，则满足： )(,),(),( 21n ),( 2211nn ),( 21n
8、. m 2 1 即 在基下的矩阵为对角形矩阵，从而 可对角化. n , 21 例例 2 22 2 是 在基下的矩阵，试利用定 163 222 123 A 321 , 理 2 判断 是否可对角化. 解 由于，的特征值为：)4()2( 163 222 123 2 AEA .4, 2 321 对于，由知基础解系是：2 21 02XAE 和. 0 1 2 1 0 1 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为： , . 211 2 312 对于，由知基础解系是：4 3 04XAE . 1 3 2 3 1 由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为： . 3213 3 2 3 1 由
9、以上可知 包含三个特征向量，并且它们是线性无关的.其 1 2 3 个数刚好等于空间维数，由定理 1 知 可对角化. 3.23.2 推论推论 1 12 2 设 是 维线性空间的一个线性变换，若在数域中nVP 的特征多项式包含 个互不相等的根，那么 可对角化.n 例例 3 3 设二维线性空间内有一个线性变换 ，是它在基 31 02 A 下的矩阵，试利用推论 1 判断 是否可对角化. 21, 解 由知的特征值为 31 02 AE)3)(2(A .因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相3, 2 21 等.由推论 1 知 可对角化. 3.33.3 推论推论 2 25 5 设 维线性空间 内有一
10、个线性变换 ，其中 的特nV 征值是，并且它们是不相同的.用来表示对 n , 21 i irii , 21 i 应的 个特征向量，那么： i r;, 2 , 1ki ，则 可对角化.1nrrr i 21 ，则 不可对角化. 2nrrr i 21 例例 4 4 已知 ，试利用推论 2 判断它, 400 130 013 2 A 400 030 103 3 A 们是否可对角化. 解 通过计算和知的特征值是相同的，0 2 AE0 3 AE 32, A A 它们全部为（二重） ，.3 1 4 2 首先讨论，对于（二重） ，由知它的基础 2 A3 1 03 2 XAE 解系是：.因为是的特征值而且是二重根
11、，但只对 T 0 , 0 , 1 1 3 1 2 A 应一个特征向量，故只包含 个特征向量.它的个数比空间维数要 2 A2 少，由推论 2 知不可对角化. 2 A 最后讨论 ，对于（二重） ，由知它的基础 3 A3 1 03 3 XAE 解系是： . 对于，由知它 TT 010001 21 ，和，4 2 04 3 XAE 的基础解系是：；故有 个特征向量而且它们是线性无 T 101 3 ， 3 A3 关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论 2 知可对角化. 3 A 3.43.4 定理定理 3 37 7 在数域 上，设是矩阵的所有互不P k ， 3 ,21 A 相同的特征值.如果满足，那么
12、0 321 EAEAEAEA k 可以对角化.A 例例 5 5 设有一个线性变换 ，是它在基 163 222 123 A 下的矩阵，试利用定理 3 判断 能否可对角化. 321 , 解 由上面例 2 知，故是矩阵的所有 42 2 AE4-2与A 不同特征值.又 . 000 000 000 363 222 127 363 242 121 42EAEA 通过定理 3 知可以对角化.A 3.53.5 定理定理 4 49 9 是复数域上的矩阵，当矩阵的最小多项式没有重AA 根时，则可以对角化.A 例例 6 6 设一个线性变换 ，是它在基下 163 222 123 A 321 , 的矩阵，试利用定理 4
13、 判断 是否可对角化. 解 由上面例 2 知，则的最小多项式有以 42 2 AEA 下两种可能： . 4242 2 或 计算推出的最小多项式为.通过定理 4042EAEAA42 知可对角化.A 4 410 10 两个矩阵同时合同对角化 两个矩阵同时合同对角化 4.14.1 定义定义10 10 设矩阵，若存在可逆矩阵，使和AB nn R PAPPT 同时为对角形矩阵，则、可同时合同对角化.BPPTAB 4.24.210 10 同时合同对角化的计算方法 同时合同对角化的计算方法 下面是以为 阶实对阵正定矩阵，为 阶实对阵矩阵为例给AnBn 出计算步骤： （1）求出的 个特征值，再求出特征向量；An
14、 （2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通 过列的形式构成 阶正交阵，那么，令n 1 P n T diagAPP， 2111 ， n diagPP 111 21 1 ， 则是可逆的，同时满足；PAPPTE （3）解出，再求出它的 个特征值和它的 个特征向量；BPPTn i n i （4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列 的形式构成n 阶正交矩阵，则；Q n TT diagQBPPQ， 21 （5）记，则.PQT n TT diagBTTEATT， 21 例例 7 7 设，求可逆矩阵 将、可同 200 011 010 200 021 012 BA，TAB
15、 时合同对角化. 解 计算可知为的特征值.0 AE321 321 ，A 对于，由得出它的一个特征向量为；1 1 0 1 XAE T 011 1 ， 对于，由得出它的一个特征向量为；2 2 0 2 XAE T 100 2 ， 对于，由得出它的一个特征向量为.3 3 0 3 XAE T 011 3 ， 将其单位化得. T T T 0 2 1 , 2 1 1000 2 1 2 1 321 ， 则正交矩阵，. 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 1 P 3 2 1 11 APP T 记，则. 0 2 1 0 6 1 0 2 1 6 1 0 2 1 3 1 2 1 1 1 PP 2 1 0
16、32 1 010 32 1 0 2 1 APPT 其特征方程为.0 3 1 1 3 1 BPPE T 它们的特征值为. 3 1 1 3 1 321 ， 由知是的一个特征向量；0 1 XBPPE T T 2301 1 ， 1 由知是的一个特征向量；0 2 XBPPE T T 010 2 ， 2 由知是的一个特征向量；0 3 XBPPE T T 2301 3 ， 3 将其单位化，则 ； 322 32 2 0 322 23 010 322 1 0 322 1 Q 于是有： . 3 1 1 3 1 QBPPQ TT ， 0 2 1 0 326 13 0 326 13 326 1 0 326 1 PQT
17、 则 可逆，且T ， 3 1 1 3 1 BTTEEQQQAPPQATT TTTTT ， 故 就是合乎题意的矩阵. T 5 5 几类特别的可对角化矩阵几类特别的可对角化矩阵 命题命题 4.14.14 4 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题命题 4.24.24 4 如果一个矩阵为对合矩阵 ，那么该矩阵可以对角EA 2 化. 命题命题 4.34.34 4 如果一个矩阵为周期矩阵，那么该矩阵可以对)(EAm 角化. 命题命题 4.44.47 7 如果一个矩阵为幂等矩阵 ，那么该矩阵可以对角AA 2 化. 命题命题 4.54.57 7 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化.
18、 命题命题 4.64.64 4 如果一个矩阵为幂零矩阵，那么该矩阵不)00( m AA， 可以对角化. 解 通过计算，和知的0 1 AE0 2 AE0 3 AE 321 ,AAA 特征值相同，它们全部为（二重） ，；其中已经是对角3 1 4 2 1 A 形矩阵，所以只需判断， 是否可对角化. 2 A 3 A 首先讨论，对于（二重） ，由知它的基础 2 A3 1 03 2 XAE 解系是：.因为是的特征值而且是二重根，但只对 T 0 , 0 , 1 1 3 1 2 A 应一个特征向量，故只包含 个特征向量.它的个数比空间维数要 2 A2 少，由推论 2 知不可对角化，则与不相似. 2 A 1 A
19、 2 A 最后讨论 ，对于（二重） ，由知它的基础 3 A3 1 03 3 XAE 解系是： . 对于，由知它 TT 010001 21 ，和，4 2 04 3 XAE 的基础解系为：,故有 个特征向量而且它们是线性无关 T 101 3 ， 3 A3 的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论 2 知可对角化, 则 3 A 与相似. 1 A 3 A 参考文献：参考文献： 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M北 京，2003：299 2 邱森高等代数武汉：武汉大学出版社，2008：216-219 3 张禾端，郝炳新高等代数M4 版北京：高等教育出版社， 2000 4 李志慧，李永明高等代数中的典型问题与方法J北京：科 学出版社，2008：204 5 唐忠明，戴桂生高等代数M南京：南京大学出版社， 2000：146-147 6 张正成可对角化矩阵的应用J科技资讯，2007252（2）： 252-253 7 冯莉矩阵对角化的若干方法J赤峰学院学报（自然科学版） ，2011，27（9）：9-11 8 徐新萍有关对角化问题综述J江苏教育学院学报（自然科 学） ，2010，26（6）：44-46 9 李至琳关于矩阵可对角化的问题J黔东南民族师专学报， 1998，16（5）：1-3 10 周立仁矩阵同时对角化的条件J理工学院学报， 2007，20（1）：8-10