几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士学位论文.doc

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1、硕士学位论文硕士学位论文 几类随机微分方程解的稳定性的分析 Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations 赵鹏程赵鹏程 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 2014 年年 6 月月 国内图书分类号： 学校代码：10213 国际图书分类号： 密级：公开 理学硕士学位论文理学硕士学位论文 几类随机微分方程解的稳定性的分析 硕士研究生：赵鹏程 导 师 ：李龙锁教授 申请学位：理学硕士 学科：概率论与数理统计 所 在 单 位：理学院 答 辩 日 期：2014 年 6 月 授予学位

2、单位 ：哈尔滨工业大学 Classified Index: U.D.C: Dissertation for the Master Degree in Science Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations Candidate：Zhao Pengcheng Supervisor：Prof.Li longsuo Academic Degree Applied for：Master of Science Speciality： Probability and Mat

3、hematical statistics Affiliation： School of Science Date of Defence： June, 2014 Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology 摘 要 - I - 摘 要 随机微分方程（SDES）广泛的被应用于生物、物理、经济、控制等领域。 很久以来，因为缺少有效的求解随机微分方程的数值方法和可以利用的计算机资 源，使得在建立数学模型时往往都忽略了随机因素的影响。近年来，一些学者在 随机微分方程数值解方面已经取得一定的成果，这也将意味着某些随机模型可以 借助

4、数学软件进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识以及其解析解的一些性质，给出了 解的存在唯一性定理及其表达式。由于随机系统非常的复杂，通常情况下很难得 到方程理论解的解析表达式，所以数值方法的构造就变得极其重要。本论文主要 研究了两类随机延迟微分方程解的阶矩和均方稳定性的条件，并给出了相应的p 数值模拟。将 Euler-Maruyama 方法应用于随机延迟微分方程，证明了此数值方法 是均方稳定的，同时给出了方法满足均方稳定的条件。 关键词：随机微分方程；阶矩稳定性；均方稳定性；Euler-Maruyama 方法p Abstract - II - Abstract Stochastic

5、differential equations are widely used in biology, physics, economics, control and other fields. For a long time, because the lack of effective numerical methods for solving SDES and computer resources available so that when you create mathematical models tend to ignore the influence of random facto

6、rs.Recently, some scholars have achieved certain useful results in the numerical solution of stochastic differential equations, which will also mean some random model can be studied by means of mathematical software. Firstly,this paper describes the background knowledge of SDES and some properties o

7、f their analytic solutions, existence and uniqueness theorem and their expression. Due to the complex stochastic systems, it is usually difficult to obtain the analytical expression of the theoretical solution of the equation, so the construction of the numerical method becomes extremely important.

8、In this thesis, it mainly gives the conditions of two types of SDES p-moment stability and mean square stability, and gives their corresponding numerical simulations. The Euler-Maruyama method is applied to SDES, and numerical methods to prove this is mean-square stable, and gives the method satisfi

9、es mean square stable condition. . Keywords: SDES, p-moment stability, mean square stability, Euler-Maruyama Method 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - III - 目 录 摘 要I ABSTRACTII 第一章 绪论.1 1.1 问题的背景.1 1.2 随机微分方程的简单介绍.2 1.3 随机微分方程数值方法稳定性的发展概况.4 1.4 随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的研究现状.5 1.5 本文的结构及主要研究工作.6 第二章 随机微分方程的预备知识.7 2.1 概率论基

10、础和随机过程.7 2.2 随机微分方程 10 2.3 随机积分及 IT微分法则.11 2.4 随机微分方程解的存在唯一性及其矩估计 13 2.5 本章小结.15 第三章 随机延迟微分方程解的 P 阶矩稳定性.16 3.1 引言 16 3.2 随机微分方程数值解的P阶矩指数稳定.16 3.2 解析解的性质 16 3.4 本章小结 20 第四章 线性随机延迟微分方程 EM 方法的均方稳定性.21 4.1 引言 21 4.2 解析解的稳定性 21 4.3 EULER-MARUYAMA方法稳定性分析.23 4.4 数值模拟.26 4.5 本章小结 27 结论.28 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -

11、IV - 参考文献.29 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 33 致 谢34 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - V - Contents Abstract (In Chinese) Abstract (In English) Chapter 1 Introduction1 1.1 Background, objective and significance of the subject1 1.2 Developmental of gas-lubricated bearing and correlated theories.1 1.2.1 Developmental of gas-l

12、ubricated bearing.1 1.2.2 Classification of gas-lubricated bearing.1 . 1.2.5 Research on porous externally pressurized gas bearing.3 . 1.4 Main research contents of this subject3 Chapter 4 Research on static characteristics of bearing based on FLUENT software.4 4.1 Introduction4 . 4.2.3 Initializati

13、on of boundary conditions4 4.4 Brief summary4 Chapter 6 Experiment on partial porous thrust bearing5 6.1 Introduction5 6.2 Experiments on permeability of porous graphite.5 . 6.5 Brief summary6 Conclusions.7 References.8 Papers published in the period of Ph.D. education.9 Statement of copyright and L

14、etter of authorization.10 Acknowledgements.11 Resume.12 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1 第第一一章章 绪绪论论 1.1 问题的背景 二十世纪五十年代，It 发表了他的划时代的著作“On Stochastic Differential Equation”，给出了随机微分方程（SDE）的严格科学描述，并且定 义了 It 型随机微分方程。从那以后，读随机微分方程的研究越来越受到人们 的关注。因为考虑到环境噪声对系统变化的影响，随机微分方程较之确定性方 程能够更准确地描述现实生活中的事物和现象发展的客观规律，在现实世界的 许多的许多领域中，例

15、如经济学、生物学、物理学、电子、无线电通讯等科学 与工程技术领域，随机微分方程模型得到了广泛的应用。现在，SDE 已经积累 了很丰富的结果。 随着 It 积分的建立以及随机微分方程理论的逐渐完善，他帮助人们研究 和解决由非线性、不确定因素所形成的系统提供强有力的理论依据。另一方面， 人们在随机微分方程理论研究中，针对一些具有实际意义的问题得到了一系列 有价值的结果。如，随机神经网络模型 ( )( )( ( )( ( )( ),dx tBx tAg x tdtx t dW t 其中 , d d ij AaR 12 ( ,),0,1, di Bdiag b bbbid 物理上，表示第 个神经元的输

16、入电压， 112 ( )(),( ),() . T dd gggg( ) i ti 代表转移函数，从 1998 年 Chua 和 Yung 首次引入细胞神经网络模型，人( ) i g : 们在其理论和应用方面进行了深入的研究。该模型方程在许多方面有重要的应 用价值，如：信号处理、最优化问题、错误判断、模式识别和图像处理等等。 而应用于这些领域主要取决于网络神经元的平衡点的稳定性，这是因为所设计 的神经网络的优劣主要看神经元是否达到平衡稳定时的指标。 另一个著名的随机微分方程模型是生态学中描述的人口增长的 Logistic 方 程： 其中表示 时刻人口的数量，表示 0 ( ) ( )( ),(0

17、), dN t t N tNN dt ( )N tt( ) t 时刻的人口增长率。当考虑外部环境随机变化的影响时，增长函数经常不能确t 定下来，我们可以将它表述为+”噪声”，这里是确定函数。 ( )( )ts t( )s t 又如著名的随机 Lotka-Volerra 生物种群模型: 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 2 1 ( )()()( )( ),0, n iijj i dx tdiag ba xb Ax tdtx t dW tt 其中这些模型方程都是近年来非常受关注的模型类型，人们研究这(). ijn m 些方程也取得了很好的成果。 微分方程和动力系统理论的一个备受关注的中心课题是研究它

18、们的稳定性， 即：解在时间程序中具有什么样的极限状态，以及极限状态如何依赖于初值， Mao 的专著“On Stochastic Differential Equations and their applications”就详细地 研究了随机微分方程的稳定性问题。 随机延迟微分方程 ( )( , ( ), ()( , ( ), ()( ),0 ( )( ),0, dx tf t x tx tdtg t x tx tdW t t x ttt 可以视为确定延迟随机微分方程的推广。由于同时考虑了延迟以及环境的随机 噪声对系统的影响，随机延迟微分方程（SDDEs）在计算机辅助设计、电路分 析、力学系统、

19、化学反应模型以及自动控制系统的实时仿真等科学与工程应用 领域中有着非常广泛的应用，因此研究此类问题具有十分重要的理论的意义以 及实用价值。 延迟微分方程的稳定性条件分为延迟依赖和延迟不依赖两钟。延迟稳定条 件中包含延迟的信息，延迟不依赖稳定性条件则适用于具有任意长度的延迟问 题。比较而言，延迟依赖稳定性条件更为灵敏，尤其是针对延迟量较小的情况。 因此随机系统的延迟依赖稳定性分析引起了许多学者的注意。他们针对随机延 迟微分系统给出了许多延迟依赖稳定的有效判断依据，而他们经常运用 的手段 是 LMI 方法或者 Lyapunov 泛函。 除了少数线性方程，大部分的随机微分方程的显式解很难获得，因而构

20、造 适当的数值方法求解随机微分方程具有重要的理论和应用价值。因此人们提出 了许多优秀的数值算法，参加专著和文献9-23。其中非常著名的有 Euler- Maruyanma 方法、Milstein 方法、Runge-kutta 方法等等。 稳定性是数值计算方法是否有效的一个很重要的衡量标准。对于确定性延 迟随机延迟微分方程，一下数值方法的延迟依赖性分析已有结论。截止到目前， 有关随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的文献还未可见，这就凸显出 眼睛这样一个问题是很有意义的。 1.2 随机微分方程的简单介绍 首先我们介绍本论文所要用到的一些符号。 样本空间称为样本或基本事件。设是任一非空集， 。若

21、集,2F 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 3 合满足以下条件:F (i) ，其中表示空集；F (ii)，其中 代表中的补集； c AAFF c AA A (iii). 11 iiii AA FF 则称为上的一个代数。F 若 ，则称右连续；若右连续且包含所有零测集，() ts ts t :FF t F t F 0 F 则称满足通常条件。 t F 代表次可积函数(或随机变量)的空间。(;) P LRR p 表示所有有界适应的值随机过程的全体。L 2 0 ( , ;) d t TR t F d R 表示满足的函数的空间。 p M 0 ( ) p T t Ex tdt( )x t 设是完备概率空间，

22、是该空间上给定的代数流且满足通( , ) F P t F : tR 常条件:是给定的维标准 Brown 运动;是迹范数; 12 ( )( ),( ),( ) T m W tW t W tWtm: 记。本论文研究随机微分方程初值问题 0 , Jt T (1.1)( )( , ( )( , ( )( ),.dx tf t x t dtg t x t dW t tJ 初始条件为。 00 ( ) x tx 定义定义 1.1 若值随机过程满足如下条件 d R( )()x t tJ (i)是连续适应过程；( )x t (ii) 12 ( , ( )( ,), ( , ( )( ,); dd m f t x

23、 tL J Rg t x tL J R (iii)满足如下随机积分方程( )x t 00 0 ( )( , ( )( , ( )( ),. tt tt x txf s x s dsg s x s dW s tJ 则称为方程(1.1)的具有初值的真解。( )x t 0 x 随机微分方程在诸多科学领域内都具有重要的应用价值，比如经济学，控 制论，物理学。有关随机微分方程理论解的唯一性研究已有很多结论。下面给 出(1.1)解的存在唯一性定理。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 4 定理定理 1.2 设函数和在上满足条件:( , )f t x( , )g t x d JR (i)一致 Lipschitz

24、 条件：存在正常数，使得K (1.2) 222 1 ( , )( , )( , )( , );f t xf t yg t xg t yK xy (ii)线性增长条件：存在正常数，使得 2 K (1.3) 22 2 2 ( , )( , )(1);f t xg t xKx 则对任给，方程(1.1)存在唯一解，且 0 2 0 ( ,) t d F xLR( )x t 2 ( )( ,). d x tMJ R 随机延迟微分方程解的存在唯一性研究也获得了很多的结论，X.Mao 也讨 论了随机延迟微分方程解的存在唯一性(参见34)。对于随机泛函微分方程 ( )( ,)( ,)( ),0, (0), tt

25、 dx tf t x dtg t x dW t t x 解的存在唯一性可见文献1，34。从此以后，学者不断改进随机系统解存在 唯一的条件。Mao1将一致 Lipschitz 条件改进为一个更弱的局部 Lipschitz 条件。 局部 Lipschitz 条件:存在正常数，使得当时有 j K,: d x yxyn 。 222 ( , )( , )( , )( , ) j f t xf t yg t xg t yk xy 当方程(1.1)满足 Lipschitz 条件和线性增长条件时，方程存在唯一解。 1.3 随机微分方程数值方法稳定性的发展概况 简单地来说，稳定性理论解决的是这样的一类问题：一个

26、微分方程的解 在时具有什么样的极限状态，以及极限状态如何依赖于初值？ 0 ( ,)x t xt 0 x 这一问题的解答关系着方程所描述的发展系统的长期行为，自然成为各领域学 者所关注的一个课题。常见的稳定性指的是解关于初值的稳定性。对于随机微 分方程，其定义至少有三种:随机稳定(Stochastic stability)又称依概率稳定 (Stability in probability)、几乎必然稳定(Almost sure stability)、矩稳定(Moment stability)。 下面给出这几种稳定性的定义(参见436) 定义定义 1.3 若对任意的和，存在，使得，(0,1)0r(

27、 , )0 r 0 x 有 00 ( ,),1, P x t xr tt 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 5 则称方程(1.1)的零解是依概率 1 稳定的或者是随机稳定的。 定义定义 1.4 若对任意的，有负 Liapunov 指数，即 0 d xR 0 ( ,)x t x 1 00 limsupln( ,)0, . ., d t tx t xa sxR 则称方程(1.1)的零解是几乎必然指数稳定的。 定义定义 1.5 若存在两个正常数且对任意的初值，当时，有, q C 0 d xR 0 tt 00 ( ,), pp qt E x t xC xe 则称方程(1.1)的零解是阶矩指数稳定的。时，

28、称为均方指数稳定。p2p 因为绝大多数随机微分方程的显式解很难获得，所以人们因而构造了许多 优秀的算法求解这些方程，故研究随机微分方程的稳定性和收敛性就有着十分 重要的意义。近年来有关随机微分的稳定性研究已经取得了不少成果。 1993 年，Saito 和 Mitsui67对一些数值格式提出了轨道稳定的定义。 Hofmann 和 Platen68专门对一些显式和半隐式的数值格式研究了它们的数值稳 定性并讨论了它们的稳定域 Milstein，Platen，和 Schurz（1998） ，Burrage（1999）以及 Burrage 和 Tian（2000）分别研究了随机微分方程的一些数值格式的渐

29、进稳定性且通过数 值试验（参见69）并且针对线性随机微分方程画出了它的均方稳定区域。 2000 年，Higham71研究了一类随机微分方程随机方法的均方渐进稳定 性。Winkler7273研究了非线性随机微分方程 Euler-Maruyama 方法的均方稳 定性。Abukhaled74研究了一类 SDE 弱二阶数值算法的均方稳定。 Rodkina 和 Schurz75共同讨论了随机微分方程半隐式 Euler 方法的几乎必 然渐进稳定性。2002 年，Tocino 和 Ardauny17考察了 Runge-kutta 方法的稳定 性。后来，Tocino76研究了随机微分方程二阶 Runge-ku

30、tta 方法的均方稳定性。 Mao77研究了随机延迟微分方程 Euler-Maruyama 方法的均方指数稳定性。 Pang 等人78一起讨论了一类 SDE Euler-Maruyama 方法的几乎必然稳定性 和矩指数稳定性。Bastani 等人79考察了自适应的随机 Runge-kutta 方法的均方 稳定性。Safique Ahmad 等人80研究了一类求解刚性随机微分方程的全隐式数 值格式。Ding 等人81分析了随机微分方程复合 Milstein 方法的收敛性和稳定 性。 2007 年，Higham，Mao，和 Yuan84研究了 Euler-Maruyama 和 Bachward E

31、uler 方法阶矩（）阶矩稳定性和几乎必然稳定性。p02p 1.4 随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的研究现状 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 6 微分方程是人们经常用来描述事物运动变化规律的认知工具。延迟随机微 分方程是微分方程中的一个重要的组成部分。通常将延迟问题称为滞后问题。 在现实生活当中，事物的发展往往是复杂多样的，它们当前状态的变化经常与 过去的状态密切相关。因此，大多数情况下，实际的微分系统都受到时间延迟 的影响。比如，通讯，化工，生命科学及机械工程等科学，都存在时间延迟的 现象。具体到某些系统，例如卫星发射、核反应堆、导弹制导、温度控制及宇 宙飞船的控制等等，这些领域中就

32、不能忽略时间延迟所带来的影响，而忽略这 些时间延迟的影响经常会使得问题解决不太理想甚至有可能导致无法估计的后 果86 为了满足实际问题的需要，延迟微分方程应运而生。延迟微分方程(DDEs) 的初值问题 ( )( , ( ), (),t, ( )( ), x tf t x t x tab x ttata 其中是常数，是给定的初值函数。是, ,a b, C aa: , mmm fa bRRR 给定的连续的映射。几十年以来，有关延迟微分方程理论和应用的研究取得了 巨大的进步，并成为工程和科学领域的重要研究工具。 1.5 本文的结构及主要研究工作 目前有关随机延迟微分方程解的稳定性的研究成果非常的丰富

33、，著名学者 们获得了大量有意义的结果。本论文在前人基础上，对随机延迟微分方程的稳 定性进一步的研究，对稳定性条件更加深化的证明。并结合具体的算例来进行 数值模拟，更形象化。 本论文的主要研究内容具体如下： 第一章，简单的介绍了随机微分方程的背景和发展状况。 第二章，主要介绍随机微分方程的基本知识和理论。 第三章，研究了随机延迟微分方程（3.1） ，给出了此方程利用 Euler 方法求 随机延迟微分方程解的阶矩指数稳定条件以及均方稳定条件。p 第四章，研究了利用 Euler-Maruyama 方法讨论随机延迟微分方程（4.1）的 均方指数稳定性。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 7 第第二二章章

34、 随随机机微微分分方方程程的的预预备备知知识识 本章主要简单介绍一些必备的概率论、随机过程和随机微分方程及其数值 解法的基本知识。 2.1 概率论基础和随机过程 概率论主要讨论的是那些依赖于可能性的数学模型问题。先介绍一些基本 的概念。 定义定义 2.1 （代数）设为一非空集合，为其子集族，如果满足如FF 下条件： （i）；F （ii）； C AFAF （iii）， 1 1 iii i AFA 则称为上的一个代数，且称为可测空间，故称的元素为-可F,FFF 测集.如果 是的子集族，则必有包含 的代数，称为 生成的代数，ccc 记为.若且 为的所有开集族，则称为代数，( )c d R c d R

35、( ) d cBorel 中的元素称为可测集。 d Borel 定义定义 2.2 （概率测度）若一个函数，满足以下条件：:0,1P F （i）； 0P （ii）； 1P （iii） 当且互不相交时， 1 i i AF 11iiii PAP A 则称为可测空间上的一个概率测度，且称为概率空间。P,F,F P 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 8 此外，如果为概率空间，令,F P :, ( )( )FAB CF BAC P BP c 则为代数，称作的完备化，也就是一个概率空间不完备，我们也FF 可以通过完备化使其完备，故今后考虑的概率空间均为完备的概率空间。 定义定义 2.3（随机变量） 如果为可测

36、空间上的实值函数，X,F ，且:XR :,XaFaR 则称为实值随机变量，也称为-可测函数，如果可测空间，则XXF, dd R 为-可测集。XBorel 定义定义 2.4 （概率分布函数）设为概率空间上的随机变量，其分X,F P 布函数为： (), d X FxP Xx xR 如果为连续随机变量，绝对连续，则存在非负的-可测函数，X( ) X F:Borel( ) X f: 使得 ( ) XX y x Fxfy dy 这样的称为随机变量的概率密度函数或密度函数。( ) X f:X 定义定义 2.5 （条件概率）若，且，则关于的条件概率为,A BF( )0P A BA () ( ) P AB P

37、 B A P A 在概率论基础当中，一个重要的概念就是条件期望。下面来介绍一般情况下 条件期望的定义及一些性质。 设为的子代数，是上的一个测度，且关于绝对连续，即GF,FP 00P AA 则由 Radom-Nikodym 定理知，存在-可测的函数，使得GY , A AYdPAG 在等价测度意义下，是唯一的，通常记为.YddP 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 9 定义定义 2.6（条件期望）设，则称 1 ,XLR , A AE I XAG E X GddP: 为随机变量在下的条件期望。XG 条件期望有以下重要性质： （i）； ,GE X GE X （ii）若关于-可测，则XG ，,E X GX

38、E XY GXE Y G 特别的， E E X G Y GE X G E Y G （iii） 若和相互独立，则 XG E X GX 特别的，若 相互独立，则,X Y ；E X YX （iv）. 12211 GGFE E X GGE X G 定义定义 2.6 （随机过程）一族随机变量称为以参数集的随机过程， t t T X T 简记为或，我们在这一般取参数集为. X t t XR 如果对每一个 ，是-可测的，则称该过程是-适应的.t t X t F t F 定义定义 2.9 （停时）若随机变量满足：:T , t tFtT 则称为一个停时或者是-停时. t F 定义定义 2.10 （鞅）是-适应的

39、随机过程，若时，都有 t X t F, ,st t sT tss E X FX 则称为关于的鞅. t X t F 定义定义 2.11 （布朗运动）设是-适应的随机过程，且满足以下,0,) t W t t F 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 10 条件： （i）； 0 0, . .Wa s （ii）若则；0,st 0, ts WWNts: （iii） 若则与相互独立，0,st ts WW t F 则称为一布朗运动（Brownian Motion）或维纳过程（Wiener Process）. t W Wiener 过程有很多非常重要的性质，具体的可见文献14等著作。 2.2 随机微分方程 设是给定

40、的完备的概率空间，是上的代数( , )F P:0 t F t ( , )F P 流，满足一般的条件(即是右连续的)。如无特殊说明，问题都是在区间 或者上进行研究的。因此，随机微分方程的一般形式可以写为: 0 , Jt TR (2.1) 0 ( )( ,)( ,)( ),0, (0), tt dy tf t y dtg t y dW t t yy 其中是定义在此概率空间维 Wiener 过程， 12 ( )( ),( ),( ) ,0 T m W tW t W tWttm 是给定的 Borel 可测函数，分别称为漂移函数:,: dddd m fJRRg JRR 和扩散函数，初值。 0 2 0 (

41、 ,) d F yLR 上述方程在通讯、粒子滤波和控制论领域中有着非常广泛的应用。主要是 因为:白噪声是 Brown 运动的导数，但实际上 Brown 运动是处处不可导的，即 白噪声是认为构造的一个数学模型，但它与电子通信技术中的许多噪声过程非 常相似;另外，方程(2.1)的表达式很简单，是最优化与控制学科中经典的状态空 间里了的一种推广，且方程的解是 Markov 过程，可用 Markov 已经成型的理论 去处理和研究。 1827 年，英国植物学家 Brown 在显微镜下观察液体中的花粉微粒，发现它 们在极端不规则的运动。以后的研究者发现了更多的类似的现象。 ，如空气中的 烟雾的扩散。Ein

42、stein 于 1905 年作了量化的分析，建立了物理模型，并给出了 数学表达式;以后又经过 Ornstein 和 Uhlenbeck，以及 Langevin 等人的完善。到 1918 年，Wiener 在对 Brown 运动建立了用随机过程的语言描述的数学模型， 此外他进一步讨论分析了 Brown 运动的轨道性质，提出了 Brown 运动空间上定 义的测度和积分。故 Brown 运动也称为 Wiener 过程。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 11 对于 wiener 过程我们可以通过 Matlab 来进行模拟，如下图所示： 图 2-1 wiener 过程样式 我们先来求 Brown 运动的

43、分布密度表达式：先由独立增量性质得到( )W t 22 22 ()()(0)()( )( )(0) ()( )( )(0)( )( ) tsE W tsWE W tsW tW tW E W tsW tE W tWst 因为是关于 连续的，由微积分的可知必有表达式，其( ) tt( ) t( ) tDt 中是一个常数，是单位时间内粒子平方位移的均值，称它为扩散常数，根据D 分子运动学 Einstein 可得： ，其中是由分子的特性决定的一个普适 RT D Nf R 常数，是绝对温度，是 Avogadro 常数，是摩擦系数。TNf 2.3 随机积分及 It 微分法则 随机微分方程(2.1)的积分形

44、式为 (2.2) 00 0 ( )( )( , ( )( , ( )( ) tt tt y ty tf t y t dtg t y t dW t 式中的第一个积分为一般意义下的均方 Rieman-Stieltjes 积分，然而把第二个积 分也定义成 Rieman-Stieltjes 积分则没有意义。因为，若定义随机变量 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 12 11 1 ()( )(), n nkkkkkk k y tW tW tttt 此随机变量序列并非均方收敛于唯一的极限，它的极限依赖于的选取， k t 因此积分 在通常意义下的均方积分值是不存在的。因为 Wiener 过 0 ( )( ) t

45、 t y s dW s 程满足，即当时，方差也趋于无穷，而其期望值则保持不变，( )VarW ttt 且恒等于 0，这或说是因为的不可微性。( )w t 在实际计算当中为了求，我们先看一个简单的随机项的积 0 ( ( ),( ) t t g y t tdW t 分例子: 0 ( )( )? T W t dW t 考虑的等距划分令0, T 01 ,0, n T htttT N 11 ( )( )(1)(),01 iii w tW tW tttt ，用来近似代替，那么就有 1 0 1 ( )( )( )( )() n T iii i W t dW tWW tW t ( )w t( )W t 2 1

46、 0 1 11 ( )( )w( )( )()( )() 22 n T ii i W t dW tt W tW tW TT 所以随机积分的值与参与的取值有关。当取值不同时，积 0 ( )( ) T W t dW t 分值也相应的不同。 当=0 时， ，这个积分成为 It 积分。 2 0 11 ( )( )( ) 22 T W t dW tW TT 当=0.5 时，我们称这样的积分为 Stratonovich 2 0 1 ( )( )( ) 2 T W t dW tW T 积分。 可以发现 Stratonovich 积分和一般的传统积分形式一样，而 It 积分比传统 的积分多了这项，这一项是很重要的修正项，它是为了确保 It 积分是一个 1 2 T 鞅，即满足 0 ( )( )0 T EW t dW t 当(2.2)中的第二个积分是 It 积分时，方程(2.2)就成为 It 型随机微分方程。 当(2.2)中的第二个积分是 Stratonovich 积分时，方程(2.2)成为 Stratonovich 型随机微分方程，其相应的积分形式为 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 13 00 0 ( )( )( , ( )( , ( )( ) tt tt y ty tf t y t dtg t y t dW t 虽然上述两种积分不同但它们是可