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1、分类思想在初中数学教学中的实践摘要：分类思想是一种重要的数学思想，它按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个进行解决，最后予以总结，得出结论的思想方法。在初中数学教学中，通过对学生渗透分类思想，揭示分类方法，强化分类意识，从而培养学生运用分类方法解决数学问题的能力，培养学生严密的数学思维。关键词：数学教学分类思想全日制义务教育课程标准（实验稿）数学指出：在数学教学活动中，教师应帮助学生“在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学
2、事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。可见，数学思想方法是数学教学的一个重要的组成部分，对培养学生思维能力，形成良好的数学思维习惯，进行数学探索具有重要的意义。正如数学家乔治波利亚所说的：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”数学分类思想是一种重要的数学思想，它有利于提高学生对学习数学的兴趣，有利于培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，有利于培养学生的创新精神和探索精神。现实生活中的很多决策问题需要用到分类讨论分析的方法，近几年来，利用分类讨论方法解题的内容频繁出现在中考试题中，所以在我们应对数学教学中的分类思想引起足够的重视。本文结合本人的教学实
3、践，谈谈在初中数学教学中，实践分类思想的一些做法。一、渗透分类思想，形成分类意识分类思想，作为一种数学思想，不同于一般数学知识，通过几节课的教学就可掌握的。它需要我们教师在日常的数学教学中不断地加以渗透，从而不断的提高学生的分类意识，培养学生的分类讨论思维。初中课本中的许多定义、定理、公式本身就是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐地体会分类讨论的思想。初一数学课本在引入负数后，即有对有理数进行分类，将有理数分为正有理数、零和负有理数，或将有理数分为整数和分数，让学生辨别不同的分类标准，初步体会标准不同，分类则不同的原则。此时可让学生思考“-a一定是负数吗？”启发
4、学生分a0，a0，a0三种情况考虑，学生就会得出了正确的结论。又如在学习了绝对值的定义后，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，让学生思考a应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题，如去掉x-2、|x+5中的绝对值符号，在解答提示的过程中让学生体会分类讨论的思想方法，并初步学会应用。在学习有理数大小的比较后，可以让学生比较a与-a的大小。日常教学这样有意识地渗透分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类意识，并能明确了分类思想在解决数学问题中是一种重要的思想方法。分类讨论思想不仅涉及代数式或函数或方程或不等式等根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题，而且在几何证明中
5、，还要根据几何图形的形状、特征、相互关系或点线出现在几何图形的不同位置而应进行分类讨论来解决数学问题。如在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上，在角的内部和角的外部三种不同的情况，就要分成三种情况分别加以讨论证明（如下图1、图2、图3所示）。三种情况的证明，也是按从特殊到一般的思维顺序进行，也让学生体会到恰当的分类，可以增强题设的条件。在今后学习弦切角定理时，就可让学生试着分类证明。AOBCAABCDOBOCD图图2图3充分利用教材中的许多分类定义、分类概括定义、定理、公式，渗透分类思想，充分利用相关的例题、习题，让学生初步形成分类意识。二、学习分类方法，揭示分类本质所谓分类思想就是按
6、照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情形，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零，各个击破。一般应遵循下面的原则和步骤：确定同一分类标准；按标准对全体对象进行分类，做到既不重复又不遗漏；逐类讨论，逐级进行；综合概括小结，归纳得出结论。1、全面深刻理解数学中的概念、公式、法则、定理等适用条件，对条件之外的情形应加以分类并进行讨论。如三点确定一个圆的条件是已经三点不在一条直线上，成立的条件是a0。例1：已知=k,求k的值。分析解此题时，根据比例性质，分a+b+c0和 a+b+c=0两种情况进行讨论。而学生在解题时，只考虑了a+b+c0的条件下求解，而对条
7、件之外的a+b+c=0没有加以分类讨论。2、数学题中含有不确定的条件，应注意审题，认真分析对题设中不确定条件加以分类并进行讨论。例2：在中，90，8cm，=6cm，求的内接正方形的边长。此题应分图4（三角形内接正方形的边与三角形直角边平行）与图5（三角形内接正方形边与斜边平行）两种情况进行讨论。而学生在解答此题时，往往只考虑图4，而未考虑图5。图4图5例3：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，求这个等腰三角形的顶角。 A D A D B C B C 图6 图7此题应分图6 (等腰三角形的顶角为锐角)和图7 (等腰三角形的顶角为钝角)。学生在解答此题中，只考虑了图6的情形，而未考虑图7的情
8、形，结果遗漏了答案，使解答不够完整。3、对代数问题中含有字母系数(参数)的式子或方程式应对不确定的参数进行分类讨论。例4：解关于x的不等式：(a-2)xa+4解此不等式，需要对x前的系数进行讨论，分a-20，a-20和a-20三种情况分别解不等式。当a-20，即a时，不等式的解是x；当a-20，即a=2时，不等式的左边是0，右边是6，06，不等式不成立，所以不等式没有实数解；当a-20，即a2时，不等式的解是x。例5：解关于x的方程：kx2+x-2=0 学生在解方程时，往往不注意k对方程性质的影响，在讨论讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0和k0两种情况进行讨论。当k0时，再分
9、0，0和0三种情况进行讨论。例6：求函数y=(k-1) x2+kx+1与x轴的交点坐标。要求函数y=(k-1) x2+kx+1与x轴的交点坐标，关键在于这个函数是什么函数，就需要对此函数进行分类讨论：分k-1=0和k-10。当k-10时，可以让学生根据例5的方法进行分类讨论。4、几何图形中位置关系的不确定因素，应对每一种位置关系进行分类讨论。例7：O1与O2交于A、B，两圆的半径分别是17、25，AB=30，求两圆的圆心距O1O2的值。根据几何图形的位置关系，在解答此题时，应分两圆圆心在公共弦AB的同侧(图8)和在公共弦AB的异侧(图9)两种情况加以讨论。学生在解答此题的时候,往往只考虑其中一
10、种情况。 图8 图例8：已知ABC中，C=90，AC=3，BC=4，分别以A、C为圆心作A、C，且C与直线AB不相交，A与C相切。设A的半径为r，求r的取值范围。解答此题的时候，根据圆和圆的位置关系，应考虑A、C相切的情况，即内切（图10）和外切(图11)分别加以讨论。A 图10图11三、深化分类意识，引导自觉分类数学来源于生活，又服务于生活。数学教学使学生得到知识的同时，也得到能力的提高，使学生获得积极的情感体验。有人说：当你把所有的数学知识都忘记时，留下的便是数学学习的精华。数学是一种态度，数学是一种思维方式。我们在数学教学中还应该引导学生学会迁移，把所获得的知识和方法迁移到新问题、新情境
11、中去，从而达到新问题的解决。如前面已经让学生去掉x-2、|x+5上的绝对值符号，这仅仅是一个分类的开始，随着学生对知识学习的深入，教师在教学中就可以通过下面两题来强化学生的分类意识。例9：化简x-2+|x+5这是含有绝对值符号的代数式，如何去掉绝对值符号，化为一般的代数式是关键。由于前面已经向学生渗透了分类意识，此时深化含有绝对值符号的分类思想，学生较容易接受了。由绝对值的定义，求出各绝对值的零点：2、-5，把数轴分成三段：x2、-5x2、x-5，再根据数轴分段进行讨论就可以去掉绝对值符号，达到化简的目的了。例10：解方程：x-2+|x+55这题又是上题的深入，在上面化简的基础上，解这方程就更简单了。如果在教学中不予以强化分类讨论，大多数学生往往不会进行分类讨论，有的学生甚至没有分类意识。即使有分类意识的学生，可能也会出现分类不完整的情况。总之，在日常教学中，我们注意对学生数学分类思想的渗透和强化，才能提高学生分析问题、解决问题的能力，才能提高学生数学能力和数学水平，培养学生良好缜密的数学思维。