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1、 学校代码: 11059_ 学 号: Hefei University 毕业论文（设计）BACHELOR DISSERTATION 论文题目:利用对称性简化两类曲面积分的计算 学位类别: 理学学士 学科专业: 数学与应用数学 作者姓名: 导师姓名: 完成时间: 2012年5月15日 利用对称性简化两类曲面积分的计算中文摘要曲面积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些曲面积分的计算过程中,若能利用对称性,则可以简化曲面积分的计算过程.本文介绍了几种常见的有关对称性在两类积分计算中的几个重要结论,并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算方法.另外,本文还给出了利用积
2、分曲面关于变量的轮换对称性和非对称性转化为对称性简化曲面积分的计算,使曲面积分的计算更加便捷.关键词: 曲面积分; 积分区域; 奇偶性; 对称性 Use of symmetry to simplify the calculation of the two types of surface integralsABSTRACTSurface integration points used in the calculation is a difficult point. Certain points in the calculation process, if use of symmetry, yo
3、u can simplify the surface integral calculation. This article describes some common points of symmetry in the calculation process and its application in several conclusions, and then through some examples using the integral area of the symmetry and the parity of the integrand to simplify surface int
4、egral calculated. In addition, the paper also gives the surface integral on the variable use of symmetry and non-symmetry transforming of symmetry simplifies the calculation of surface integrals is the surface integral of the calculation are more convenient.KEY WORD: Surface integrals; The integral
5、region; Parity; Symmetry第一章 引言1第二章 预备知识2第三章 利用对称性简化曲面积分的计算33.1利用对称性简化计算第一类曲面积分33.1.1第一类曲面积分的定义33.1.2第一类曲面积分对称性定理33.1.3第一类曲面积分对称性定理的应用43.2利用对称性简化计算第二类曲面积分73.2.1第二类曲面积分的定义73.2.2第二类曲面积分对称性定理73.2.3第二类曲面积分对称性定理的应用8第四章 通过变换利用对称性计算曲面积分12第五章 总结14参考文献15致 谢16 第一章 引言在曲面积分的计算中,经常会遇到有关对称性问题,如果能根据具体问题的特点,利用对称性计算可
6、以使过程大大简化.我们对第一类曲面积分和第二类曲面积分分别加以讨论,并举例说明其在简化曲面积分计算多种的应用.曲面积分的对称性在曲面积分的计算中是非常有意义的.对称性定理在许多数学和实际问题中有着重要的作用,既可以利用曲面积分的对称性证明一些重要的不等式、简化曲面积分的计算,也可以解决一些几何问题、概率问题,并且在物理学中也有广泛的应用.本文主要是利用对称性定理来简化两类曲面积分的计算,为计算某些类型的曲面积分提供一种简单的计算方法.积分的对称性包括重积分,曲线积分,曲面积分等的对称性.在积分计算中,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面将从两类曲面积分对
7、称性相关的定理和结论,再结合相关的实例进行具体的探讨.本文讨论了两类曲面积分计算中的对称性方法,并举例说明其在简化曲面积分计算中的应用,以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续.第二章 预备知识为了使全文连贯,我们将在本章列出以下几个定义和相关的性质.定义1 设平面区域为,若对均有,则称关于直线对称,点与是关于的对称点.若对均有 ,则关于直线对称,与是关于的对称（显然当,时分别关于,轴对称）.定义2 设平面区域为,若对均有,则称关于对称,点与是关于的对称点.若对均有,则称关于直线对称.注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称;空间曲面、空
8、间曲线关于平行于坐标面的平面对称,也有以上类似的定义.定义3 设函数在空间曲面上有定义,若对均有,且,则称关于为偶函数;若对均有,则称关于为奇函数;类似可以定义函数关于,变量的奇偶性.第三章 利用对称性简化曲面积分的计算3.1利用对称性简化计算第一类曲面积分3.1.1第一类曲面积分的定义定义417 设曲面为有界光滑（或分片光滑）曲面,函数在上有界.将曲面用一个光滑曲线网分成片小曲面, ,并记的面积为. 在每片上任取一点,作和式. 如果当所有小曲面的最大直径趋于零时,这个和式的极限存在,且极限值与小曲面的分法和点的取法无关,则称此极限值为在曲面上的第一类曲面积分,记为,即 ,其中称为被积函数,
9、称为积分曲面.3.1.2第一类曲面积分对称性定理定理15 设在分片光滑的曲面上连续. 若关于面对称,则其中为在面上方的部分.若关于平面（或平面）对称,关于（或）为奇函数或偶函数也有类似的结论.定理27 若积分曲面关于,具有轮换对称性,则 .3.1.3第一类曲面积分对称性定理的应用例1 计算曲面积分,其中为球面上的部分.解: 利用定理1知设=,则 .例2 计算,为锥面被曲面所截下的部分.解: 因为关于面对称,被积函数中与都是的奇函数,由定理1.又因为,所以,原式.例3 计算曲面积分,其中:.解: 令:,.则,.关于原点对称,且被积函数分别为关于的偶函数,则根据定理1得, .例411 计算曲面积分
10、,其中是球面.解: 如果按照常规方法来解,计算量比较大,如果利用对称函数的特性,非常简捷.因为球面关于,具有轮换对称性,所以根据定理2得,.3.2利用对称性简化计算第二类曲面积分3.2.1第二类曲面积分的定义定义517 设为有向光滑曲面,曲面上的每一点指定了单位法向量.如果是定义在上的向量值函数,称为在上的第二类曲面积分（如果右面的第一类曲面积分存在）.3.2.2第二类曲面积分对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法向量方向与轴正向成锐角（钝角）时,有向曲面元在面上的有向投影为正（负）.一般地,有如下定理:定理35 设分片
11、光滑的有向曲面关于平面对称,在平面上方部分记为（方程为）,下方部分记为,又设在上连续,则若关于平面（或平面）对称,关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结论.定理47 若积分曲面关于,具有轮换对称性,则 .3.2.3第二类曲面积分对称性定理的应用例5 计算,其中: 的下侧.解: 是的偶函数, 关于面对称,所以 .而是的偶函数, 关于面对称,所以根据定理3得.因此,原式.例612 计算,式中为球面的外侧位于的部分.解: 依题设条件分析知,该曲面积分满足定理3中的结论,故有其中, . 例7 计算,其中为平面,和所围立体的表面外侧（如图1）.图1 解: 将曲面划分成如图所示的四片:,和.的方程为,.其法
12、向量与轴和轴的夹角都是,与轴的夹角为,因此.同理,.而的方程可表为,.因此,.由定理4得,.因此,相加后得到.例8 计算,其中是球面的外侧.解: 因为球面关于,具有轮换对称性,所以由定理4得先计算,为此应分别考虑前半球面（记为）及后半球面（记为）上的曲面积分.:,它在面上的投影域为圆域,则有, .对于在后半球面上的曲面积分,由于为后侧,故因此, . 第四章 通过变换利用对称性计算曲面积分对于某些特殊的非对称性的曲面积分计算,可以用一些变换,如坐标变换、平移变换等,将其转变为对称性问题进行计算.例9 设与分别为与,又在、上连续,求证.证明: 将证的二重积分表示即是的二重积分表示.球面的方程可写成
13、:,并分别记为与.它们在平面上的投影区域为:, 对二重积分作平移变换:,可得,其中:,.将,换成,上述二重积分也是的二重积分表示,因此结论成立.根据例9中关于平移变换的结论可以计算某些曲面积分.例10 求,其中（1）: ;（2）: .解: （1）的方程可改写成,是以为中心,R为半径的球面.于是, . (2) .第五章 总结本文运用对称性和积分学中的有关知识,在前人研究的基础之上,对于利用对称性简化曲面积分中的计算进行了探讨,由此可见,上述关于曲面积分对称性的定理对于在特殊情况下简化曲面积分的计算是非常有效的,它尤对第二类曲面积分计算,可以避免曲面的侧的干扰,所以在解题过程中注意积分区域是否有某
14、种对称性以及被积函数是否与之相匹配的奇、偶性,则可减少一些繁琐的计算,提高解题效率.此外,为了利用对称性,在有些计算中需要作平移变换.如例10中（1）可以令,则可得到.（2）中可以令,则可得到对于有些积分计算可以根据具体情况做出适当的变换,再利用对称性求解,从而可以简化积分计算,但很遗憾的是本文没有找出变换的一般规律,这是本文的一大不足之处.参考文献1 R.Livrea. Existence of three solutions for a quasilinear two point boundaryvalue problem.Arch.Math, 2002. 2 H.Brezis. Anal
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