利用特殊函数求解氢原子学士学位论文.doc

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1、利用特殊函数求解氢原子螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆

2、蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿 本科毕业生学士学位论文题目：利用特殊函数求解氢原子The Solution of Hydrogen Atom by Special Functions毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明

3、引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面

4、（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术

5、标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它摘 要本论文是利用特殊函数来求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法,将其化为一元微分方程，对分解后的一元微分方程求解，得出氢原子的能级和波函数形式，从而讨论出氢原子的能级分立，不等间距和核外电子在空间的分布情况。关键词：氢原子、薛定谔方程、氢原子能级和波函数、特殊函数。AbstractIn th

6、is paper，we introduce the Schrdinger equation of hydrogen atom and transform it into ordinary differential equation by variable separation method.Solving the latter,we get energy levels and wave function of Hydrogen atom directly. By discussing about energy levels and wave function, we can find eige

7、nenergies are discrete, inequally spaced, and we obtain spatial distribution of electron.Keywords：Hydrogen atom，Schrdinger Equation ，energy levels and wave function of Hydrogen atom，special function.目 录1 引言12 氢原子的薛定谔方程12.1 自然坐标下的薛定谔方程12.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程12.3 时间函数22.4 质心运动状态33 电子相对核的运动状态33.1 波函数在球

8、坐标下的表示33.2 求解球函数43.2.1 对球函数分离变量43.2.2 求解53.2.3 求解53.2.4 球函数的解63.3 求解径向方程74 氢原子的波函数、能级形式105 讨论105.1 对能级的讨论105.2 对波函数形式的讨论115.2.1 径向分布函115.2.2 角分布函数136 小结147 附录15参考文献19致谢201 引言巴耳末公式可以成功地计算氢原子跃迁的一些问题，却未能给出合理的解释，在氢原子一些问题的处理中，玻尔曾应用经典理论和量子化条件导出氢原子的能级公式，但是量子化条件的引进没有适当的理论解释.随量子力学的发展，我们知道微观粒子具有波粒二象性，其微观体系的状态

9、可以用波函数(r,t)描述,且波为一种几率波,波函数在空间某一点的强度(几率振幅的模的平方)和在该点找到粒子的几率成正比,且波函数随时间变化遵从薛定谔方程, 利用薛定谔方程我们可以精确求解氢原子的的能级和波函数形式，有了能级和波函数，我们不需要假设更不需要人为的规定就可以成功地解释氢原子的光谱，得出能级分立，最可然半径，跃迁公式等。本文利用特殊函数求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法，将特殊函数化为一元微分方程，从而得出氢原子的的能级和波函数形式。2 氢原子的薛定谔方程 2.1 自然坐标下的薛定谔方程在氢原子问题中，严格说来，我们应当考虑核的运动，也就是说应当考虑两个粒子（电子与核）在库仑相

10、互作用下的运动；这是一个两体问题1，在经典力学中，我们知道两体问题可以归结为一个粒子在场中的运动；我们将看到，在量子力学中，情况也是这样，下面将给出其解析解，并根据所得出的能级和能量本征函数，对氢原子光谱线的规律及一些重要性质给予定量说明。氢原子包含原子核及核外电子，是个二体问题，由多粒子体系的薛定谔方程2，我们可以写出氢原子的薛定谔方程： （1）式中 分别是电子和核的坐标；分别是电子和核的质量。2.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程前面已说过，为简化问题，量子力学与经典力学一样，可以把二体问题化为单体问题。由质心坐标公式，我们可以得出质心坐标， （2）式中=是体系的总质量。由于为核坐标

11、，为自然坐标下电子坐标，以（）表示电子相对核的坐标，则有： （3）把对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商，直接通过微商运算3有： （4）将（2）（3）（4）式子代入（1）式后，得到以相对对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程： （5）式中称为约化质量。2.3 时间函数设可以表示为三个函数的乘积，其中仅是的函数，其中仅是的函数，其中仅是的函数4,以 （6）将（6）式代入方程（5），用除方程两边，则左边仅与时间有关而与坐标无关，右边仅与坐标有关而与时间无关，所以两边应等于同一个常数。以表示这常数，则由左边有 它的解是 （7）2.4 质心运动状态将（6）式代入方程（5），用除方程两边，右边

12、为： 这方程左边第一项仅与有关，第二项和第三项仅与有关，所以它们应分别等于常数，两常数之和是，以表示左边第二，第三两项之和；则 （8） （9）方程（9）是描写质心运动状态的波函数5 所满足的方程，很容易看出这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。由此可见，质心相当于质量为的自由粒子运动，相应的能量为，相应的波函数是平面波。3 电子相对核的运动状态在氢原子问题中，我们特别感兴趣的是原子的内部状态，即电子相对核的运动状态。因此对于两体问题，关键是求解相对运动方程（8）式，对氢原子，原子核远大于核外电子质量，质心位置就在核上，从而有，方程（8）正是描写电子相对于核运动波函数所满足的方程，相对运动的能量

13、E就是电子的能级。可以看出，方程（8）所描写的运动正好是一个折合质量的粒子在势能力场中运动。3.1 波函数在球坐标下的表示在式（8）中，我们取球坐标系，势场为吸引库仑势，于是我们得到在球坐标系下的波函数6 。=（10）与无关，在球坐标下（8）式为： （11）因为分别为三个独立变量，故可分离变量，记（12）将（12）式代入（11）式，则（11）式变为： （13）这方程的左边仅与有关，右边仅与有关，而都是独立变量，所以只有当等式两边都等于同一个常数时，等式才能成立，以表示这个常数，则（13）式可以分离为两个方程: （14）= （15）通常（）（14）式称为径向方程，（15）式为球函数方程。3.2

14、求解球函数3.2.1 对球函数分离变量接下来，我们对球函数进行分离变量7： 令 （16）代入球函数方程（15），得（17）用遍乘各项并适当移项，得（18）3.2.2 求解 通过观察上式可知：方程左边是函数，跟无关，右边是的函数，跟无关，两边相等显然是不可能，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记为 （19）这就分解为两个常微分方程8： （20）（20b）的解很容易求解，由波函数的单值性，方向波函数的边界条件是 （21）常微分方程（20b）和自然周期条件构成本征值问题，本征值是 （22）本征函数是 （23）根据欧拉公式（23）式可写成 （24）由方向的归一化条件得出=所以 （25）3.2.3

15、求解现在我们来求解方向的方程(20a) 9，将（20a）改写为： （26）通常用把自变数从变为,只是代表，并不是直角坐标，则方程（26）化为：亦即 （27）式（25）叫作阶连带勒让德方程10。作变换其，所以 （28）为的阶导数。既然是次多项式，它最多只能求导次，超过次就得为0，因此，本征值中的整数对的一个确定值，连带勒让德函数中的只能取值。所以由可以算出其归一化系 3.2.4 球函数的解 解出、后，于是我们得出球函数的解10： （29） （30）3.3 求解径向方程解出后，最后我们求解方向即径向方程11其中（ ） （31）上式变为： （32）我们注意到= （33）因而可令 （34）代入上式可得

16、： （35）为方便计，令 （36）方程化为（37）再令（38）上式变为：（39）为解这个方程，先研究其渐近形式：当（40）当（41）式中有两个常数因此总能使它和有限远处的方程式的解光滑连接，保证波函数连续和波函数微商连续这两个方程式成立，表明大于0时一切值都是允许值，构成连续谱，此处电子处于电离态，不属于我们研究范围。因此，当小于0时， （42）由于波函数有界12，因而=0于是解 （43）当 （44）令 （45）得 （46）解得即由于在处发散，故舍去，所以只存在的解综上所述： （47）将上式代入径向方程得的微分方程： （48）令简化方程得： （49）此方程与合流超比方程 （50）可知 （51）

17、其解为合流超比函数有 （52）其中递推关系 （53）当在无穷远处发散，也发散，须将切断为多项式。即只能含有限项，设最高次项是，可知，由递推关系=0即，（=0，1，2，3）由上式的=，令于是有， （54）此时氢原子的束缚态径向波函数13是对进行归一化条件 （55）式中 其中称为第一玻尔半径14，为主量子数，为角动量量子数，为磁量子数，并注意到的取值是：4 氢原子的波函数、能级形式综上所述，我们得出电子相对核运动的波函数15： （56）其和分别见上，且得出电子能量 （57）5 讨论有了氢原子的波函数和能级形式，现在我们可以对氢原子的物理图象和一些主要结果作一些讨论16：5.1 对能级的讨论由于氢原

18、子的束缚态能级20满足.可知与成正比，即与成反比，我们可以讨论得出几点：由于为整数，所以氢原子的能级是分立的、不等间距的；当增加时，增加，即能级越高，能量越大，能级间距越小，能级越密；当=1时，氢原子处于基态，此时具有的能量称为基态能，电子伏；当时，电子不再束缚在核的周围，而可以完全脱离原子核，即开始电离；与电子基态能量之差称为电离能，氢原子的电离能为：=13.60电子伏。如果用约化质量，=13.597电子伏。另外，对于库仑场，能级，只与主量子数有关，与角动量量子数及磁量子数无关，但波函数与，三个量子数有关，能级是简并的，注意到的取值：因此简并度是（2）利用氢原子能级公式可解释氢原子光谱17，

19、并给出里德伯常数，电子能级跃迁到时辐射出光，它的频率为这就是巴耳末公式。式中是里德伯常数；若用约化质量，则=10967758。从理论得到的值与实验值很好的符合，由此可见，量子力学比玻尔理论更成功，它可以直接从求解氢原子的薛定谔方程给出氢原子的光谱18，而无须依赖玻尔原子论中的各种假设，整个理论显得更自然和更严密。5.2 对波函数形式的讨论5.2.1 径向分布函知道了氢原子的波函数，就可以进一步讨论氢原子内电子在空间各点的几率分布。当氢原子处于态时，电子在点周围的体积元内的几率是将此式对积分，并注意是归一化的，我们便得到在半径到的球壳内找到电子的几率是称为径向概率分布函数，我们列出最低的几个的表

20、达式：在不同的值时对的曲线如下图。曲线上的数字表示的值。图1 与的函数关系图 与的函数关系图2 与的函数关系图3 与的函数关系例如，30表示从图中还可以看出是的节点数目；比如30曲线，=2，这曲线有两个交点。从上式还可以证明，当氢原子处于基态时，在电子与核的距离为处的几率最大。5.2.2 角分布函数 电子出现在角度为处的立体角的几率1, 3是：下图表示在各种的态中对的函数关系。由于与角无关，所以这些图形是绕轴旋转对称的立体图形。图4 态电子角分布图5 态电子角分布图6 态电子角分布图7 态电子角分布例如，在时几率是它与也无关，所以在图中是一个球面。又如，时，几率在=（不论取何值）有最大值，在极

21、轴方向（）的值为0，而在时，情况则恰好相反，在=0处几率有最大值，=处几率为0。6 小结本文是利用特殊函数来求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法，将其化为常微分方程，在对分解后的常微分方程求解过程中，引入特殊函数，从而解出氢原子的能级及波函数形式19，由能级和波函数形式，我们更有力更合理地解释氢原子光谱以及推导出巴耳末公式，同时由波函数形式，我们根据其归一性也更好的说明电子在核内分别按径向和角向两种分布情况，分别对能量和波函数形式加以讨论得出能级分立，最可然半径，跃迁公式20等。7 附录附录（一）连带勒让德函数为了得到一般情况下的球函数，首先要求解连带勒让德方程:（）连带勒让德方程常点，可以

22、在的邻域上求连带勒让德方程的级数解，但是直接运用级数解法所得系数递推公式比较复杂，每个递推公式涉及三个系数，从而难于写出系数的一般表示式。因此，通常作变换把待求函数从变换为，在这变换下把以上三个式子代入连带勒让德方程，就把它化为的微分方程：事实上，微分方程就是勒让德方程逐项求导次后得到的方程，应用关于乘积求导的莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导次，其结果是即 这正是的微分方程，因此，解应当是勒让德方程的解的 阶导数，我们知道，勒让德方程和自然边界条件（在为有限）构成本征值问题，本征值是，而为整数，本征函数则是勒让德多项式，那么，方程也就与自然边界条件构成本征值问题，本征值同上，本征函数则是的阶导

23、数，即以此代回得这叫做连带勒让德函数，通常记作其中只是的阶导数。总之，连带勒让德方程和自然边界条件也构成本征值问题，本征值是，本征函数则则是连带勒让德函数。是阶多项式，它最多只能求导次，超过次就得到0，因此，本征值中的整数应大于等于，对的一个确定值，连带勒让德函数中的只能取值当=0时，连带勒让德函数简化为勒让德多项式，下面列出的连带勒让德函数的具体形式。附录（二）合流超几何函数形式如下的微分方程称为合流超几何方程=0点则是方程的正则奇点，=是非正则奇点，其余为常点，先研究方程的解在奇点=0附近的行为。当0时，方程渐近形式表示成 令代入，可得出指标方程它的两个根为当整数时，可以用级数解法求得微分

24、方程的两个线性无关解。先讨论与相应和级数解代入合流超几何方程，要求方程左边的各次项的系数为0，得出和递推关系为 由此可得出 所有系数均可用表示出来，为任意常数，这样，我们得到了方程和一个解，通常到=1，级数解记为 其中： =这级数解只当和负整数才有意义，由定义的函数称为合流超几何函数21。由于整数，即整数，与根相对应，方程的另一个线性独立的级数解可表示为代入式得与合流超几何方程比较，形式上完全相同，只是参数不同，上式的一个解可以表示成这样，在整数和情况下，我们找到了的二个线性独立解，为在的性质，按递推关系，当时，这个比值与和幂级数展开的系数比值相同，因此，时当可负整数，应取解，此时一般没有意义

25、，除非也是负整数，此时可令为一个多项式22而=为无穷级数，当，两解相同，均为当正整数，应取，因为一般失去意义，除非是不小于负整数，此时是一个多项式，而则为无穷级数（因为），因此当整数时，而又非适当的负整数时，要用另个的办法找第二解。参考文献1 周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,1979.64-77.2 苏汝铿.量子力学M.上海:复旦大学出版社,1997.99-110.3 苏汝铿.量子力学M. 北京:高等教育出版社,2001.62-70.4 汪德新.数学物理方法M.武汉:华中科技大学出版社，2001.99-130.5 梁昆淼.数学物理方法M. 北京:高等教育出版社,1998.273-

26、308.6 曾谨言.量子力学导论M. 北京:北京大学出版社,1997.99-101.7 曾谨言.量子力学卷1（第三版）M. 北京:科学出版社，2000.322-335.8 宋鹤山.量子力学M. 大连:大连理工大学出版社，2004.121-129.9 张永德.量子力学M. 北京:科学出版社，2002.101-110.10陈鄂生.量子力学基础教程M.山东:山东大学出版社,2003.315-320.11程守诛.普通物理学（第五版）M. 北京:高等教育出版社,2001.378-384.12高等数学M.四川:四川大学出版社,1978.100-130.69-140.13季燕江(E-mail: )量子力学讲

27、义(Notes on Quantum Mechanics) EB/OL北京科技大学 应用科学学院 物理系URL: http:/ or http:/qiji.lamost.org/，2003-8-12/2006-4-16101-112.14 E.H.Wichmann,Berkeley Physics Course,Vol.4,Quantum PhysicsM, 1971.132-141.15 D.Landau & M.Lifshitz,Quantum MechanicsM,Non-relativistic theory 3rd-ed Pergamon Press 1977.101-120.16

28、Brian D. Scrot. Undergraduate Quantum Mechanics EB/OL. Indiana University, Bloomington, Indiana. August, 1998. URL: http:/ 2003-9-5/2006-4-19. 123-145.17 Principles of Quantum Mechanics (2nd Ed) RM. Shankar, Plenum Press, New York (1997).79-85.18 Quantum Mechanics, (2nd Ed), E. MerzbarcherM，New York

29、: John Wiley &Sons, (1970).120-132.19 周国中.氢原子V(r)=-es2/r径向Schrdinger方程的精确解J.安徽师范大学学报(自然科学版),2003,(1). 6-9.20 罗任远.如何理解量子力学中氢原子的能级J.赣南师范学院学报,1999,(06).7-12.21 付克振.薛定谔方程及其对氢原子的解释J.青岛教育学院学报,1994,(02).8-11.22 How to Have a Right Understanding of the Energy of the Hydrogen Atom? On the Meaning of Reduced

30、MassJ. Zhu Hong-yu.Journal of Neijiang Teachers College ,1988年 S2期.12-16.致谢在论文即将完成之际,感激之心油然而生,真的很感谢大学的老师们的辛勤耕耘,让我们学到这么多的知识,丰富了大学的生活,在本次论文当中,首先要感谢马善钧教授的悉心指导,在论文正式开始撰写之前,帮我们列举了参考文献目录,指导研究方法,这为开始写论文打下了重要的基础,在写作过程中,指导我们制定写作计划,审阅论文提纲和初稿,提出修改意见,并帮我们解答疑答问题,多次的努力,论文才得以成功的完成,其次马教授严以律已,宽以待人的崇高风格,及朴实无华,平易近人的人格

31、,让我们在潜移默化当中不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了基本的研究方法,在此,向导师马教授表示衷心的感谢.在写论文的过程中,资料的收集,查询,输入等方面都碰到不少的的困难，感谢同学们给我提供的帮助，才让我在撰写论文的过程中得心应手，游刃有余,在此也谢谢他们还需要感谢的是我的父母，他们是我信心的源泉，在我挫折的时候，是他们的鼓励，支持，重新点燃了我学习的斗志，也正是他们的支持，成了我今后应付困难的强大精神支柱，在此，也祝他们身体健康，平平安安！需要感谢的人太多了，愿所有关心我及我尊敬的人都能一生平安！由于本人水平有限，该文还有不尽如人意的地方，这些都有待

32、进一步改善，仍有待解决的一些问题：还有一些其它的推导方式未被涉及，有待进一步添加并完善，一些讨论还有进一步深入的可能， 热烈期待各位专家的批评指正，在此一并致以衷心的感谢。 艿蒅螂羄芈薇羈袀芇虿螀腿莆荿羆肅莆蒁蝿羁莅薄羄羇莄螆袇芆莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羄莀莀袃袀蒀蒂蚆膈葿薅袂肄蒈螇蚅肀蒇蒇羀羆蒆蕿螃芅蒅蚁羈膁蒅螃螁肇蒄蒃羇羃膀薅蝿衿腿蚈羅膇膈莇螈膃膈薀肃聿膇蚂袆羅膆螄虿芄膅蒄袄膀膄薆蚇肆芃虿袃羂节莈蚅袈节蒁袁芆芁蚃蚄膂芀螅罿肈艿蒅螂羄芈薇羈袀芇虿螀腿莆荿羆肅莆蒁蝿羁莅薄羄羇莄螆袇芆莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羄莀莀袃袀蒀蒂蚆膈葿薅袂肄蒈螇蚅肀蒇蒇羀羆蒆蕿螃芅蒅蚁羈膁蒅螃螁肇蒄蒃羇羃膀薅蝿衿腿蚈羅膇膈莇螈膃膈薀肃聿膇蚂袆羅膆螄虿芄膅蒄袄膀膄薆蚇肆芃虿袃羂节莈蚅袈节蒁袁芆芁蚃蚄膂芀螅罿肈艿蒅螂羄芈薇羈袀芇虿螀腿莆荿羆肅莆蒁蝿羁莅薄羄羇莄螆袇芆莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羄莀莀袃袀蒀蒂蚆膈葿薅袂肄蒈螇蚅肀蒇蒇羀羆蒆蕿螃芅蒅蚁羈膁蒅螃螁肇蒄蒃羇羃膀薅蝿衿腿蚈羅膇膈莇螈膃膈薀肃聿膇蚂袆羅膆螄虿芄膅蒄袄膀膄薆蚇肆芃虿袃羂节莈蚅袈节蒁袁芆芁蚃蚄膂芀螅罿肈艿蒅螂羄芈薇羈袀芇虿螀腿莆荿羆肅莆蒁蝿羁莅薄羄羇莄螆袇芆莃蒆蚀膂莂薈袅肈莁蚀蚈羄莀莀袃袀蒀蒂蚆膈葿薅袂肄蒈螇蚅肀蒇蒇羀羆蒆蕿螃芅蒅21