基于偏微分方程的图像修复 毕业论文.doc

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1、I 摘 要 图像复原领域中的数字图像修复技术是近几年来比较热门的一个研究课题， 它利用图像中已知的有效信息，按照一定规则对破损的图像进行信息填充，得 到连续、完整、自然的图像视觉效果。该技术广泛应用于文物保护、老照片的 修复、图像中文本信息的去除以及障碍物的去除、影视特技制作以及图像压缩、 增强等方面，具有很高的实用价值。本文所做的工作主要体现在以下几个方面： （1）在阅读和查找图像修复算法的相关文献时，基于个人理解的基础上， 整理了一些经典的修复模型或算法，详细介绍和描述这些模型和及其算法原理， 如基于偏微分的修复模型包括 BSCB 模型、TV 模型、CDD 模型、调和模型等， 基于样本块的

2、纹理合成算法如 Crimini 算法，最后且对这些模型的优缺点进行 比较。 （2）在之前的基础上，结合 TV、CDD 模型优缺点,针对扩散系数进行改 进，提出了一个基于偏微分方程的修复模型，它涵盖了 TV、CDD、指数曲率 模型、对数曲率模型这些子模型，为了仿真实现方便，继而给出了该修复模型 及其子模型的离散型模型。通过 MATLAB 实现该算法，证明该修复模型对于 较小区域的图像修复和去噪有很好的效果。 （3）最后总结本论文的创新点和不足点，继而提出该论文可以后续研究探 讨的内容。 关键词：数字图像修复；偏微分；纹理合成； II ABSTRACT The digital image inpa

3、inting technique in the field of image restoration is a hot reseach topic in recent years,using the known valid image information, inpainting the missed or damaged image information according to some rules, to make the image to the extent that the inpainted image looks continuous, intact and natural

4、 perceptually. Currently, image inpainting technique has been abroad applied in image processing field, such as digital restoration of ancient paintings for conservations purposes, restoration of the old photos, text,object removalation in images for special effects, vision analysis, data compressio

5、n and enlargement and so on, which is full of pratical value. This paper attempts to research on digital image inpainting techniques base on the ensemble learning techniques. The main content of this dissertation is described as follows. (1) On the basis of personal understanding of digital image in

6、painting algorithms got in the process of seaching and reading revelent inferences, this paper reorgnizes some typical inpainting models or algorithms, introducing and describing these models and their algorithm principles in details, like as partial differential equation models including BSCB, TV,

7、CDD etc, and the texture completion exemplar-based inpainting method such as Crimini, at the last making a comparation between these models. (2) According to the previous discussion, combining with the advantages and disadvantages of TV,CDD, coming up with improvement a model based on partial diffre

8、ntial equation,which inlcuds TV model,CDD model, the exponent curvature function model,the logarithm curvature function model. To make the algorithm come true easily, then discrete models of those models are given.Through MATLBA simulink ,which proves this inpainting method has a good inpainting eff

9、ect, also in image . (3) At the end of the paper, on the basis of sumrizing up the navigations and disadvantages,it has come up with some problems for subsequent research. Key words：Digital Image Inpainting；Partial Differential Equation；Texture Synthesis; I 目 录 第一章 绪论 1 1.1 数字图像修复技术的背景、目的和意义 .1 1.2

10、数字图像修复技术国内外研究现状 .2 第二章 数字图像修复算法综述4 2.1 图像的数学描述 .4 2.2 图像修复的相关理论 .6 2.2.1 变分法.6 2.2.2 梯度和散度.8 2.2.3 卷积.9 2.2.4 纹理合成.9 2.3 数字图像修复算法 10 2.3.1 BSCB 模型 .10 2.3.2 P-LAPLACE 图像修补模型 13 2.3.3 基于样本的纹理合成算法20 2.4 各种修复模型算法比较 23 2.5 本章小结 24 第三章 TV 模型改进及其实现 24 II 3.1 预备知识24 3.2 连续型模型26 3.3 离散型模型27 3.4 模型的仿真31 3.5

11、模型的评价31 3.6 本章小结32 第四章 展望 .32 参考文献.33 致 谢.40 1 第一章 绪论 1.1数字图像修复技术的背景、目的和意义 一般情况下，一幅完整的图像是没有任何破损和杂质的。但在经历了时间、 等外在因素影响，就会导致图像发生退化，图像就会产生破损，对破损区域的 修复就是需要进行修复和补全。 欧洲文艺复兴时期，为了恢复美术作品中丢失或缺损的部分，保持作品的 整体效果，人们开始对中世纪美术作品进行修复，主要是填补美术作品上所出 现的裂痕。而这局限于手工修复，手工修复面临着一个致命的缺点，即直接在 原始作品上修改容易造成的微小失误会破坏珍贵的原作。随着美术博物馆的数 字化，

12、作品被扫描到计算机里，通常只需要简单的人际交互工作就可完成修复。 数字图像修复技术相应地带来了极大的自由，比如可避免直接在原作上进行修 复，出现错误的时候或逐步增强修补效果的时候，不会破坏珍贵的原画。毫无 疑问，数字图像修复技术为修补古老的艺术作品提供了安全便捷的途径。 数字技术的发展带动了数字图像技术在数字产品中如扫描仪、数码相机等 的广泛应用，而在获取数字图像的过程中，会有诸多因素造成数字图像局部范 围或大块信息的缺损1： (1)原本有缺损的图片经过扫描得到的图像； (2)基于某种特殊目的对图像进行一些处理而留下的空白区，如移走图像上 的目标物或文字 信息； (3)在数字图像的获取、处理、

13、压缩、传输和解压过程中，因信息丢失而造 成的信息缺损区。 所谓图像修复是对根据图像已有信息对图像上信息缺损区域按照一定规则 进行填充的过程，其目的是为了恢复有缺损的图像，使其接近或者达到原图像 的视觉效果。由于没有足够的信息可以保证唯一正确地修复破损图像，因此图 像修复是个病态问题。因此人们从视觉心理学的角度出发，提出各种假设限定 来解决这个问题。随着科学技术的发展及待修复作品客观因素的要求，图像修 复也从手工修复发展到如今的数字图像修复。 随着数字图像技术的发展，越来越多的领域期望能够对图像进行一定的修 改，因此数字图像修复技术成为当前计算机图形学和计算机视觉中的一个研究 热点，在文物保护、

14、影视特技制作、多余目标物体移除、图形缩放、图像的有 损压缩、视频通信的错误隐匿等方面有重大的应用价值。目前的一些图像处理 软件虽有专业的特效处理和图像修复处理，但这要求用户掌握必要的图像处理 知识。因此简单、自动、快速的修复算法正被人们热切期望着。 Bertalmio 等在 2000 年的一次学术会议上，首次提出数字图像修复技术这 2 个术语。现在，数字图像修复技术正被广泛研究，基于不同原理提出了各种不 同修复算法，这些算法致力于简单实用，只要求用户简单选择要修复的区域， 剩下的工作则由计算机自动完成。 1.2 数字图像修复技术国内外研究现状 目前存在两大类图像修复技术：一类用于修复小尺度缺损

15、的图像修补技术 （image inpainting technique） ，也可称为基于变分 PDE 的图像 inpainting 算法。一类用于填充图像中大块丢失信息的图像补全技术（image completion technique）,这一技术包含两种方法：基于图像分解（结构部分和纹理部分） 的修复技术和基于块的纹理合成技术。如图 1.1 所示。 Digital image inpainting （数字图像修复） Image inpainting （图像修补） Image completion （图像补全） Variation and PDE （变分和偏微分） Image division

16、 （图像分解） Texture synthesis based on block（基于 块的纹理合 成） Total variation （全变分） PDE（ 偏微分） Structure part（结构部 分） Synthesis part（纹理部 分） 图 1.1 数字图像修复方法（Method of digital image inpainting） 小尺度破损图像目前主要使用变分 PDE 方法，其主要思想是利用待修补区 域的边缘信息，确定扩散信息和扩散方向。这种基于 PDE 方法的思想首先由 Bertalmio, Sapiro, Caselles, Bellester2提出，他们利用带

17、修补区域的边 缘信息，采用一种由粗到精的方法来估计等照度线的方向，并采用传播机制将 信息传播到待修补的区域内，以便得到较好的修补效果。本质上，他是一种基 于偏微分方程（partial differential equation, PDE）的 inpainting 算法， 该类方法的主要思想是利用物理学中的热扩散方程将待修补区域周围的信息传 播到修补区域中，其典型的方法包括 BSCB2（Bertalmio, Sapiro, Caselles, Bellester）模型用三阶 PDE 来模拟平滑传输过程及 Chan-Shen 提出的用三阶 PDE 来模拟 CDD3（curvature driven

18、 diffusion）等。在这类方法中，还有一 种是基于几何图像模型的变分修补技术，该类算法的主要思路是模仿修补师手 3 工修复图像的过程，该类算法认为修补一幅缺损图片主要依赖于以下两个因素： (1) 如何观察并读懂图片的现存部分 ，其用数学语言表达，也就是如何建立图 像的数据模型（data model） ；(2) 原始图片 I 属于哪类图像，其用数学语言 表达就是，也就是如何获得图像的先验模型（image prior model） ，即通过建 立图像的先验模型和数据模型，将修补问题转化为一个泛函求极值的变分问题。 这类算法主要包括全变分（total variation, TV）模型4、Eul

19、ers elastica 模型5、Mumford-Shah 模型6,7、Mumford-Shah-Euler 模型8 等。 由于偏微分方程与变分法是可以通过变分原理相互等价推出的，因此，可把这 一类方法统称为基于变分 PDE 的图像 inpainting 算法。 另外一类是用于填充图像中大块丢失信息的图像补全技术（image completion） 。基于图像分解的技术将图像分解为结构部分和纹理部分，其中结 构部分用 inpainting 算法修补，纹理部分用纹理合成方法填充。基于块的纹理 合成技术填充丢失的信息，该种算法的主要思想，首先从待修补区域边界选择 一个元素，以其为中心，根据图像纹理

20、特征，选择大小合适的纹理块。再在待 修补区域的周围寻找与之最相配的纹理块，来替代该纹理块。 目前的数字图像修复算法也可以分为基于非纹理结构的修复算法和基于纹理结 构的图像修复算法。变分和偏微分方法都属于非纹理结构性的算法。 由于数字图像修复技术是近几年发展起来的一个课题，国外的研究正处于 初步发展阶段，国内也随后进行相关的研究，逐渐成为国际的热点研究课题。 1.3 图像修复算法的客观评价 一幅的原灰度图像，为受损图像，其复原后图像质NM ),( yxI),( 0 yxI),(yxI 量的评价测度有： (1) 均方差测度(MSE) 2 11 ,),( 1 M x N y yxIyxI MN MS

21、E (2) 信噪比测度(SNR) 2 11 11 2 ,),( ),( lg10 M x N y M x N y yxIyxI yxI SNR (3) 峰值信噪比测度(PSNR) 4 2 11 2 ,),( 1 255 lg10 M x N y yxIyxI MN PSNR (4) 改进信噪比测度(ISNR) 2 11 11 2 0 ,),( ,),( lg10 M x N y M x N y yxIyxI yxIyxI ISNR 图像修复较常用的客观评价测度为峰值信噪比测度(PSNR)和改进信噪比测度 (ISNR)，它们的值越大时，表示修复效果越好。本文仿真实验中用到的是峰值 信噪比测度(P

22、SNR)。 5 第二章 数字图像修复算法综述 2.1图像的数学描述 数字图像修复技术隶属于图像复原的研究领域。图像复原是试图利用退化 现象的某种先验知识进行重建或复原被退化的图像。一般图像复原的数学表达 式如下： (2.1) 0 IKIN 式中，为最初观察得到的图像，为原图像,为退化函数，为加性白噪 0 IIKN 声， “*”表示卷积。退化过程即一个退化函数和一个加性噪声项，图像复KN 原的目的是获得关于原始图像的近似估计值，后面文章中也同时代表修复 II 后的图像。图像退化复原整个过程模型的示意图见图 2。 图 2.1 图像退化/复原过程模型10 一幅数字图像都是二维离散图像用表示，简记为。

23、一幅缺损图片( , )I x yI 可由两个因素来描述：数据模型和图像先验模型（也称图像模型） 。数据模型用 来描述图像现存部分,图像模型用来描述原图的类型。图 3 是一幅图像修补示意 图，表示整个图像区域, D 表示息丢失需要修补的区域, 表示已知信息 D 区。 已知 D I 0 | 待修复区域 D D 图 2.2 图像修复示意图 6 对于大多数图像修补问题来说，数据模型可以描述为： (2.2) 0 |* DD IKIN 假设图像只考虑噪声，即，NIIyxNyxIyxI 00 ),(),(),(也可简记为 其中为具有零均值，方差为的高斯白噪声，即有。N 2 22) (, 0)(NENE 数据

24、模型的能量函数 E，可常用最小均方误差定义9： (2.3) 00 | () 2 D E IIIIdx 由于待修补区域无任何可用的数据，因此，图像(先验)模型对图像修补D 算法来说，比其他传统的复原问题(如去噪，去降晰)变得更为重要。图像模型 可以从图像数据中经过滤波、参数或非参数估计以及熵方法得到，这些统计方 法虽对具有丰富纹理图像的修补很重要，然而，对大多数的修补问题来说，修 补区域常常丢失的是图像的重要几何信息(如边缘)，为了重建这些几何信息， 图像模型要事先解决这些几何特征，而多数传统的概率模型则均缺乏这种特征。 幸运的是，在很多文献中，由几何信息激发的“能量”形式的确存在，如 Rudi

25、n，Osher 和 Fatermi 模型4副以及 MumfordShah 模型6,7。这就是所谓 的变分法。 在变分方法中，图像修补问题转化为一个约束最优化问题： (2.4) 02 min | E I stE II 其中，为图像先验模型的能量形式，表示高斯白噪声的方差，它可 E I 2 以用适当的统计估计器来估计。用 Lagrange 乘子法可将该约束问题转化为以下 无约束问题： (2.5) 0 min | E IE II 通常，用于均衡匹配项与正则化项。对于正则化项，即图像 0 | E II E I E I 的先验模型，常由“能量”泛函实现。比如 Sobolev 范数： ；Rudin 等的全

26、变分模型4: ;Mumford-shah 模 2 |E IId |E II d 型67：，其中表示 1 维 Hausdroff 测度， 21 ( , )|( ) D E IIdH 1 H 7 则为图像的边缘集。 （以上积分表达式中的积分实际为二重积分，） 。ddxdy 2.2 图像修复的相关理论 图像修复问题就是根据数据模型和图像先验模型，建立和求解能量泛函问 题，其修补后的图像就是该能量泛函的极值。变分法研究的是一个函数的极大 值和极小值问题，因此它可看成是一个变分问题。由于变分法和偏微分法可以 相互等价表示，下面先介绍相关的一些概念和定理。 2.2.1 变分法 (1) 泛函：设y(x)为已

27、知的类函数，如果对于这类函数的每一个函数 y(x),变 量 v 都有一个值和它对应。则变量 v 称为这类函数y(x)的泛函。记为 v=vy(x) (2) 泛函的变分定义：，其中为的近似值。0 xy FFF uxuyu ( )y x( )y x 在泛函极值的曲线上，它的变分=0.v 变分预备定理：设为某平面区域，它的边界为，函数，DD( , )()f x yC D 以及对任意函数，且，都有,则( , )()x yC D( , )|0 D x y ( , ) ( , )0 D f x yx y dxdy 在区域上，。D( , )0f x y 求解变分问题可以化为微分问题11进行求解. 泛函，函数对

28、于都是二次连续可导，也 1 ( )( , ,) b a J y xF x y y dxF, ,x y yy 是连续的。 设的增量为，变为，则泛函的值变化为：( )y xy( )y xy (2.6) ( ,)( , ,) b a b a J yyJ yF x yy yyF x y ydx FF yydx yy 上式称为泛函的变分，记为。泛函取极值的必 ( ) b a FF J y xyydx yy 8 要条件是。由分部积分法， ( )0 b a FF J y xyydx yy (2.7) () () () bb aa b b a a b a FF d y dxy dx yy dx FdF yy

29、dx ydxy dF y dx dxy 必要条件成为。 (2.8)()0 b a FdF yy dx ydxy 由变分预定理知，相应的欧拉方程即为 (2.9)()0 FdF y ydxy 泛函取决于两个函数的情况，变分问题 2 ( ), ( )y x z x 的欧拉方程为 ( , , , )0 b a JF x y z y zdx 0, 0 FdF ydxy FdF zdxz (2.10) 泛函取决于及其高阶导数的情况。例如变分问题 3 ( )y x 的欧拉方程为( , ,)0 b a JF x y y yydx (2.11) 23 23 0 FdFdFdF ydxydxydxy 泛函取决于多

30、元函数的情况。变分问题 4 ( , )u x y ( , , ,)0 xy JF x y u u udxdy 的欧拉方程为 （2.12）0 xy FFF ux uy u 附加条件下的变分问题。用欧拉方程解这类问题，可以仿照函数的条件极值 5 问题，运用 Lagrange 乘子法。 9 2.2.2 梯度和散度 (1) 方向导数：设二元数量函数在点的某邻域内有yxf, 000 , yxP 2 0 RPU 定义，为从点出发的射线，为上且含于内的任一点，以表n 0 PyxP,n 0 ()U P 示与两点之间的距离，若极限存在，则称此极P 0 P 0 00 ( )() limlim n f f Pf P

31、 限为函数在点沿方向的方向导数，记作。f 0 Pn 0 0 | ,() P n f fP n 定理：若函数在点可微，则在点处沿任一方向的方向导数都f 000 , yxPf 0 Pn 存在，则有，为方向的方向余弦， coscos 000 PfPfPf yx n cos,cosn 有。1coscos 22 (2) 梯度：若存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函yxf, 00 ,PfPf yx 数在点的梯度（gradient） ，记作。引进符号f 0 P 00 ,PfPffgrad yx （称为哈密顿算符） ，则 。 yx ,grad ff 设为单位向量，则，由梯度和方向导数的定义和定理知，n co

32、s,cosn f f ngrad f n n (3) 散度：设空间区域上的向量函数，对上每一点V yxQyxPyxF,V ，定义数量函数，称它为向量函数在的散度yx, y Q x P yxD ,Fyx, （divergence） ，记作。由散度和梯度的定义可知，yxFdivyxD, 。divFF 拉普拉斯算符：数量函数，算符的内积常记yxf, 2 2 2 2 y f x f f 作，则有，称为拉普拉斯算符。ff 10 2.2.3 卷积 两个函数,由这两个函数的积分生成第三个函数( ), ( )f t h t 称为的卷积，记作( )( ) ()z tfh td ( ), ( )f t h t 。

33、( )( ) ()( )( )( )( )z tfh tdf th tf th t 2.2.4 纹理合成 在一般的计算机图形图像的研究中，纹理出现在图像的边缘区域范围大的 图像中或图像的边缘线有规律的图像中。 Jain12给纹理下的定义如下：纹理一般是指图像的基本纹理元素纹元的 重复。而纹元一般是由几个像素构成，纹元的位置多数是呈现出周期性的、类 似周期性的或随机性的。日常研究中，自然纹理常常表现为随机性的，人造纹 理多为确定性或周期性的。纹理和图像的区别在于纹理出现在图像上，但图像 不一定都会含有纹理，也就是说纹理图像是一种特殊的图像。 如图 2.3 所示，纹理图像大致可分为三种1314：

34、（1）结构性纹理图像。指包含有机构纹理局部特性的最小纹理块，整个纹理图 像是由一系列的纹理块及摆放规则决定。 （2）随机性纹理图像。指没有规则的纹理图像。 （3）半结构性纹理图像。介于结构性纹理和随机纹理图像之间，大多数图像是 属于这一类。 （a）机构性纹理（b）随机性纹理（c）半结构性纹理 图 2.3 纹理的表现形式 其中，纹理单位(用 T 表示)是指一幅图像中具有相似视觉表现的像素或像 素的集合。 对于随机性纹理图像，具有相同颜色 C 的像素可以看作为同种纹理单位；当 c T 11 整个纹理由不同颜色构成，则可区分多种纹理单位，表达为 12 ,., n C CC 。纹理合成目标是：生成的图

35、片要以一个给定样本纹理为基础， 12 ,., n CCC TTT 形成新的且满足视觉要求的纹理图像。由于全局性是纹理的基本特征，通过对 图像纹理的描述可以了解图像上全部或局部区域所对应景物的表面性质。所以 可以得出，图像的纹理特征所描述的不仅仅是基于单个某个像素点的特征，而 是对含有图像中的区域块进行统计和计算得出的。 现有的纹理合成技术主要有三种算法：纹理映射的纹理合成算法、过程纹 理合成算法和基于样本的纹理合成算法。通常，常用的两种纹理合成的算法主 要是过程纹理合成算法和基于样本的纹理合成算法。 过程纹理合成直接通过对物理过程的仿真在曲面上生成纹理，属于物理模 拟过程，如应用在毛发、云雾、

36、木纹等。这种方法的优点是避免了纹理映射的 纹理合成所带来图像的失真，同时可以获得非常逼真的纹理。但是在面对自然 界形形色色的大量纹理时，就会可能无法得到有效的参数，导致不能有效的进 行纹理合成。 基于样本的纹理合成算法是一给定小块纹理的基础上，生成大量相似的纹 理块。该算法可以有效的克服了过程纹理的缺点，目前的基于纹理合成的算法 多采用基于样本的纹理合成方法。基于样本的纹理合成主要依据相似性，从一 小块纹理来反映整体纹理特点，从而生成在视觉上连续的大面积纹理图像。 相对于基于变分 PDE 的修复算法，基于纹理合成的图像修复算法比较简单， 运行速度较快，并且对待修复区域破损面积较大时有较好的修复

37、效果。 2.3 数字图像修复算法 以下介绍几种经典的图像修复模型和算法:BSCB，TV, CDD 模型，调和模型， 基于样本的纹理合成算法。 2.3.1 BSCB 模型 图像修复主要依赖于修复人员的主观感觉，没有一种标准的方法，一般存 在以下几种观点2。 (1)图像的整体决定了如何修复破损处，修复的目的就是为了恢复图像的完整性。 (2)修复区域中的不同区域是由等照度线来划分的，各区域的颜色和边缘外的颜 色一致。 12 (3)通过延伸边缘处的等照度线进入修复区域，实现修复区域和完好区域边缘处 的连续。 (4)细节部分必需添加，也即添加纹理。 基于以上原则，BSCB 模型就是利用偏微分方程，模拟手

38、工修复的过程，实 现归数字图像的自动修复。其算法主要体现了(2)和(3)原则。算法通过延伸边 界区域的等照度线进入修复区域而实现修复，是各向异性扩散。等照度线是指 图像中灰度在同一等级上的一系列点所组成的线。如图 2.4 所示： 图 2.4 图像修复延伸方向 N 其中，表示待修补区域，为其边界，为信息的延伸方向。L 为图像修复N 的扩散过程中传输的信息量，表示所传输信息 L 在方向上的变化。 L L N N N 表示图像在单位时间的变化量，则 BSCB 模型的信息传输过程表达式为： I t (2.13) IL L N tN 用来表示待修复的离散的二维图像，表示修复过程中的离散图像， 0( ,

39、) Ix y( , )I x y 同时也表示图像灰度函数，从手工修复技术描述，采用迭代算法，则算法可描 述为： 。 (2.14) 1( , ) ( , )( , ),( , ) nnn t Ix yIx yt Ix yx y 式中，表示修复迭代次数，表示像素坐标，表示修复时间步长，n( , )x yt 表示图像在时间 下的的修复，方程只作用在修补区域内。当( , ) n t Ix yt( , ) n Ix y 增大到一定程度时，有时，有，则算法停止。n 1( , ) ( , ) nn Ix yIx y ( , )0 n t Ix y 根据公式(2.13)，且为的离散表达式，为的离散( , )

40、n t Ix y I t ( , ) n L x yL 13 表达式，称为离散梯度。有 (2.15)( , )( , )( , ) n nn t Ix yL x yNx y 图像修复希望信息平滑延伸，即为信息平滑的估算因子。通过简单离散( , ) n L x y 拉普拉斯算子可得， (2.16)( , )( , )( , )( , ) nnnn xxyy L x yIx yIx yIx y 等照度线与平行，的最好选择就是等照度线的方向。对于某等照度线上任NN 意一点，离散梯度方向表示灰度变化最大的方( , )x y( , )(,)( , ) nn Ix yIx y xy 向。由其旋转后得到的表

41、示边界的方向即等照90( , )(,)( , ) nn Ix yIx y yx 度线的切线向量，即有 (2.17)( , )( , ) n n Nx yIx y 由公式(2.13)、(2.14)、(2.15)、(2.16)、(2.17)，BSCB 模型可表示为 （2.18）() I II t 表示信息量在方向上的变化量。() II II 该模型为了使修复过程更加清晰，并且能够保持修复边界的光滑性和噪声鲁棒， 使用各向异性扩散，该方程表示为： (2.19)( , ) ( , , )( , , ) , ( , ) I gx y k x y tI x y tx y t 其中，是修补区域内的以为半径的

42、圆域扩展。是光滑函数， ( , )gx y 表示等照度线的欧式曲率。其中， 。( , , )k x y t 1,( , ) ( , ) 0,( , ) x y gx y x y BSCB 模型是将待修复区域外部的信息沿等照度线方向扩散至修复区域，该 模型对较小破损区域可以达到较好的修复效果,如图 2.5。但是，BSCB 修复模型 的缺点缺乏稳定性，当待修复区域面积较大时，或是图像背景为纹理图案时， 容易产生模糊的现象,如图 2.6。 14 a.原图像 b.BSCB 修复结果 图 2.5 a.原始破坏图像 b.BSCB 修复结果 图 2.6 2.3.2 p-Laplace 图像修补模型 文献15

43、定义了 p-laplace 算子为,相应图像修复的 p-IIdivI p p 2 laplace 方程为定义如下： (2.20) 上在 内在 0 ,1, 0)( 0 I pIII p 其中，为含加性噪声的图像模型。其相对应的能量泛函方程为NII 0 (2.21) D p dIIdI p IJ 20) ( 2 1 对进行讨论，可得到几个比较经典的图像修复模型。p (1)时，为 TV 模型。1p Tony Chan 等人于 2002 年提出了整体变分法16（Total Variation , TV） ， TV 模型4的主要思想是在保持图像边缘的同时，向异向进行扩散，最终达到图 像信息补全的效果。基

44、于整体变分模型的图像修复方法，即 TV 模型，其本质是 将图像看成一个分段平滑函数，在有界空间上对图像建立模型。由于该模型能 够起到延长边缘的作用，从而很适合图像破损面积较小的修复。Chan 等人建立 的全变分图像修复模型为： 15 (2.22) 2 0 min 2 D J Iu dIId 式中，为拉格朗日乘子，上式为二重积分，的简写。ddxdy 根据变分原理，可求得 Euler-Lagrange 方程 (2.23) 0 ()( , )()0 D I x y II I 式中，其中 , ( , ) ( , )1( , ) 0,( , ) DD x yD x yx y x yD 。 1, ( ,

45、) 1( , ) 0,( , ) D x yD x y x yD 因此求解泛函(2.36)的最小值，等价于求解偏微分方程式(2.37)。 相对应的最速下降方程为 (2.24) 0 ()( , )() D II x y II tI 由上式可以看出，当时，就可以求出能量代价最小的。考虑到可0 I t II 能很小，有可能会接近于 0，所以(2.24)式中的为扩散项，扩散系数 I I ，可用代替，其中为一个很小的正数。它使扩 1 I 2 2 11 I I 散强度在梯度大的地方小,梯度小的地方大,这表明扩散是各项异性的,能按照与 梯度垂直的方向即等照度线方向进行信息扩散。该模型修复时仅依赖于图像的 几何特征,具有形态学不变性,可以在抑制噪声的同时平滑图像边缘，即保持边 缘和数值 PDE 实现方便，具有很好的修复效果，如图 2.7 去除目标物。相对于 BSCB 模型，其稳定性和鲁棒性也更好。 a.原图